Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computationのソースを表示

== はじめに ==
'''PETSc'''（Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation）は、科学技術計算のための高性能な数値計算ライブラリです。並列計算をサポートし、線形代数、非線形方程式、微分方程式の解法など、幅広い数値計算問題に対応しています。このハンドブックでは、PETScの基本的な使い方から応用例までを解説します。

== PETScの概要 ==

=== PETScとは ===
PETScは、C言語で書かれたライブラリで、以下の特徴を持っています。
* '''並列計算''': MPIを利用した分散メモリ並列計算をサポート。
* '''拡張性''': 新しいソルバーやデータ構造を簡単に追加可能。
* '''柔軟性''': 線形代数、非線形方程式、微分方程式など、多様な問題に対応。

=== 主な機能 ===
* '''線形代数''': 疎行列や密行列の操作、線形ソルバー。
* '''非線形方程式''': 非線形ソルバーと最適化ツール。
* '''微分方程式''': 時間依存および時間非依存の微分方程式ソルバー。

== PETScのインストール ==

=== 必要なソフトウェア ===
* '''MPI''': 並列計算用のライブラリ（例: OpenMPI, MPICH）。
* '''BLAS/LAPACK''': 線形代数計算用のライブラリ。
* '''コンパイラ''': C/C++コンパイラ（例: GCC, Clang）。

=== インストール手順 ===
# PETScのソースコードをダウンロード:
#:<syntaxhighlight lang=bash copy>
git clone https://gitlab.com/petsc/petsc.git
cd petsc
</syntaxhighlight>
# 設定とビルド:
#:<syntaxhighlight lang=bash copy>
./configure --with-mpi-dir=/path/to/mpi --with-blas-lapack-dir=/path/to/blas-lapack
make all
make install
</syntaxhighlight>

== PETScの基本操作 ==

=== 初期化と終了 ===
PETScを使用する前に、<code>PetscInitialize</code>で初期化し、終了時に<code>PetscFinalize</code>を呼び出します。

==== 例 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
#include "petsc.h"

int main(int argc, char **argv) {
 PetscInitialize(&argc, &argv, NULL, NULL);
 // PETScのコード
 PetscFinalize();
 return 0;
}
</syntaxhighlight>

=== ベクトルの操作 ===
PETScでは、<code>Vec</code>型を使ってベクトルを操作します。

==== 例: ベクトルの作成と設定 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
Vec x;
PetscInt n = 10;
VecCreate(PETSC_COMM_WORLD, &x);
VecSetSizes(x, PETSC_DECIDE, n);
VecSetFromOptions(x);

PetscScalar value = 1.0;
VecSet(x, value);
VecAssemblyBegin(x);
VecAssemblyEnd(x);
</syntaxhighlight>

=== 行列の操作 ===
PETScでは、<code>Mat</code>型を使って行列を操作します。

==== 例: 疎行列の作成と設定 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
Mat A;
PetscInt m = 10, n = 10;
MatCreate(PETSC_COMM_WORLD, &A);
MatSetSizes(A, PETSC_DECIDE, PETSC_DECIDE, m, n);
MatSetFromOptions(A);
MatSetUp(A);

PetscInt row = 0, col = 0;
PetscScalar val = 1.0;
MatSetValue(A, row, col, val, INSERT_VALUES);
MatAssemblyBegin(A, MAT_FINAL_ASSEMBLY);
MatAssemblyEnd(A, MAT_FINAL_ASSEMBLY);
</syntaxhighlight>

== 線形ソルバー ==

=== 線形方程式の解法 ===
PETScは、線形方程式 <math> Ax = b </math>を解くためのさまざまなソルバーを提供しています。

==== 例: 線形ソルバーの使用 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
KSP ksp;
KSPCreate(PETSC_COMM_WORLD, &ksp);
KSPSetOperators(ksp, A, A);
KSPSetFromOptions(ksp);
KSPSolve(ksp, b, x);
</syntaxhighlight>

=== 前処理 ===
PETScは、前処理（Preconditioner）をサポートしており、収束性を向上させます。

==== 例: 前処理の設定 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
PC pc;
KSPGetPC(ksp, &pc);
PCSetType(pc, PCJACOBI);
</syntaxhighlight>

== 非線形ソルバー ==

=== 非線形方程式の解法 ===
PETScは、非線形方程式 <math> F(x) = 0 </math> を解くためのソルバーを提供しています。

==== 例: 非線形ソルバーの使用 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
SNES snes;
SNESCreate(PETSC_COMM_WORLD, &snes);
SNESSetFunction(snes, r, FormFunction, NULL);
SNESSetJacobian(snes, J, J, FormJacobian, NULL);
SNESSetFromOptions(snes);
SNESSolve(snes, NULL, x);
</syntaxhighlight>

== 時間依存問題 ==

=== 時間ステッピング ===
PETScは、時間依存問題を解くための時間ステッピングソルバーを提供しています。

==== 例: 時間ステッピングの使用 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
TS ts;
TSCreate(PETSC_COMM_WORLD, &ts);
TSSetProblemType(ts, TS_NONLINEAR);
TSSetRHSFunction(ts, NULL, FormRHSFunction, NULL);
TSSetFromOptions(ts);
TSSolve(ts, x);
</syntaxhighlight>

== 応用例 ==

=== 熱方程式の解法 ===
熱方程式を解くためのPETScのコード例を示します。

==== 例: 熱方程式 ====
:<syntaxhighlight lang=c copy>
// 初期化と設定
PetscInitialize(&argc, &argv, NULL, NULL);

// ベクトルと行列の作成
Vec u;
Mat A;
// ... (省略)

// 線形ソルバーの設定
KSP ksp;
KSPCreate(PETSC_COMM_WORLD, &ksp);
KSPSetOperators(ksp, A, A);
KSPSetFromOptions(ksp);

// 時間ステッピングの設定
TS ts;
TSCreate(PETSC_COMM_WORLD, &ts);
TSSetProblemType(ts, TS_NONLINEAR);
TSSetRHSFunction(ts, NULL, FormRHSFunction, NULL);
TSSetFromOptions(ts);

// ソルバーの実行
TSSolve(ts, u);

// 終了処理
PetscFinalize();
</syntaxhighlight>

== 練習問題 ==
# '''ベクトル操作''': サイズ100のベクトルを作成し、すべての要素を2.0に設定するプログラムを作成してください。
# '''行列操作''': 10x10の疎行列を作成し、対角要素を1.0、非対角要素を0.0に設定するプログラムを作成してください。
# '''線形ソルバー''': 線形方程式 <math> Ax = b </math> を解くプログラムを作成し、解を表示してください。
# '''非線形ソルバー''': 非線形方程式 <math> F(x) = x^2 - 2 = 0 </math> を解くプログラムを作成してください。

== まとめ ==
PETScは、科学技術計算のための強力なツールキットです。並列計算をサポートし、線形代数、非線形方程式、微分方程式の解法など、幅広い問題に対応しています。このハンドブックを通じて、PETScの基本的な使い方から応用例までを学び、実際の問題に適用できるようになりましょう。
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'''次章の予告''': 第X+1章「PETScの高度な機能」では、カスタムソルバーの作成や性能チューニングなど、より高度なトピックについて解説します。
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