高等学校物理/万有引力のソースを表示

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== 歴史 ==

== 惑星の運動 ==
★公転周期Ｔと軌道長半径α
{| class="wikitable"
|惑星
|Ｔ（年）
|α（天文単位）
|-
|水星
|0.241
|0.387
|-
|金星
|0.615
|0.723
|-
|地球
|1
|1
|-
|火星
|1.88
|1.52
|-
|木星
|11.9
|5.20
|-
|土星
|29.5
|9.55
|-
|天王星
|84
|19.2
|-
|海王星
|165
|30.1
|}

== 万有引力 ==
== 重力 ==

: <big><math>mg=G \frac{M m}{R^2}   </math></big>

変形して

<big><math>g= \frac{G M m}{R^2m}  </math></big>

<big><math>g= \frac{G M }{R^2} </math></big>

: <big><math>G M = gR^2 </math></big>

== 人工衛星 ==
●証明

運動方程式（質量×加速度＝力）を使って導きます。

: <math>
m \vec a = \vec F 
</math>
人工衛星は地球の周りを回っているので、円運動の加速度（加速度＝速度×速度÷半径）になります。

: <math>
a=\frac{v^2}{r}
</math>

力については、万有引力の公式（力＝万有引力定数×大きい方の質量×小さい方の質量÷［距離×距離］）を使います。

: <math>F = G \frac{M m} {r^2}</math>

以上を１つにまとめます。
: <math>
m \frac{v^2}{r} = G \frac{M m} {r^2}
</math>
ここから先はvを求めるために変形します。
: <math>
v^2 \frac{m}{r} = G \frac{M m}{r^2}
</math>
移項します。移項すると割り算になりますが、掛け算に直すために逆数にしてみましょう。
: <math>
v^2  = G \frac{M m r}{r^2 m}
</math>
約分して
: <math>
v^2  = G \frac{M} {r}
</math>
平方根を付けて、
: <math>
v  = \sqrt{\frac{GM} {r}} 
</math>
になります。

== 万有引力の位置エネルギー ==
★証明１

無限等比級数を使います。こちらの方が初学者に分かりやすいかもしれません。

: <math>
W = -G \frac {Mm} r
</math>
: <math>
U = -G \frac {Mm} r
</math>

★証明２

一般的な証明をします。面積に関する数学単元（積分）を使うので、難しい証明方法になります。

<math>W=\int_{\infty}^{r} G\frac{Mm}{r^2}dr</math>

<math>W=GMm\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^2}dr</math>

<math>W=GMm\int_{\infty}^{r} {r^-2}dr</math>

<math>W=GMm\int_ {\infty}^{r} [\frac{1}{-2+1}r^{-2+1}]</math>

<math>W=GMm\int_ {\infty}^{r} [\frac{1}{-1}r^{-1}]</math>

<math>W=GMm\int_ {\infty}^{r} [-\frac{1}{r}]</math>

<math>W=GMm\left ( -\frac{1}{r}-0 \right )</math>

<math>W = -G \frac {Mm} r</math>

<math>
U = -G \frac {Mm} r
</math>

== 資料出所 ==

* 『改訂　物理』、東京書籍、2020年(2017年検定)
* 『物理　改訂版』、新興出版社啓林館、2020年(2017年検定)
* 『高等学校 改訂　物理』、第一学習社、2020年(2018年検定)
* 『高校の物理が1冊で丸ごとわかる』小川慎一郎著　2022年 ベレ出版
* 『東京大学の先生伝授 文系のためのめっちゃやさしい 物理』松尾 泰著　2021年 ニュートンプレス
* 『始まりから知ると面白い物理学の授業』左巻 健男著　2020年　山と渓谷社
* 『チャート式シリーズ新課程　新物理 物理基礎・物理』都築嘉弘ほか著　2023年　数研出版