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==はじめに==

電磁気学がからんでくる現象は数多いが、
これらの現象のうちの多くは
次の2つの方程式によって記述される。

ガウス単位系では、
:<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu} = 4\pi J _\mu
</math>
:<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
ここで、
:<math>
F _{\mu\nu} = \partial _\mu A _\nu -\partial _\nu A _\mu
</math>
:<math>
=
\begin{pmatrix} 
0 &E _x&E _y&E _z\\
- E _x&0&-B _z& B _y\\
- E _y&B _z&0&-B _x\\
- E _z&-B _y&B _x&0\\
\end{pmatrix} 
</math>
でありまた、
:<math>
J _\mu = 
\begin{pmatrix}
\rho \\
\vec j \\
\end{pmatrix} 
</math>
である。
更に、
:<math>
A _{, \mu} = \partial  _\mu  A = \frac{\partial{{}}}{\partial{{x^\mu}}} A
</math>
(Aは、
:<math>
x^\mu = t,x,y,z
</math>
のある関数。)
となる。

note:
実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、
SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。)
ただし、特殊相対論と組み合わせた
電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、
こちらを用いている。

ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。

comment:
過去の遺物である Gauss単位系を今さら用いるのは、教育的
見地からしても問題である。
Gauss単位系が相対論に適合しているというのは誤解である。
（たとえば電荷保存則を見れば明らかである。）

==Gaussの法則==


空間中に電荷を置くと、
その回りには、
等方的に
:<math>
\vec E = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac q {r^2} \vec e  _r
</math>
の電界が生じる。
ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、
ガウス単位系では、
:<math>
\vec E =  \frac q {r^2} \vec e  _r
</math>
と書かれる。
放射状に電界が広がるという描像は変化していない
ことに注意。
これを一般化すると、
ある表面積分を行なったとき、
:<math>
4\pi r^2 \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac q {r^2} \vec e _r
</math>
:<math>
\iint d\vec S \vec E = \frac 1 {\epsilon _0} \iiint d V \rho
</math>
が成り立つ。
ここで、
:<math>
\iiint d V \rho = q
</math>
である。(電荷密度の定義)
ここで、
:<math>
\rho
</math>
は電荷密度である。
ガウスの定理を用いて
この式の
左辺を空間積分で書き変えると、
:<math>
\iint d\vec S \vec E 
</math>
:<math>
=\iiint dV \textrm{div} \vec E
</math>
:<math>
= \iiint d V \rho
</math>

よって、
:<math>
\textrm {div}\vec E = \frac \rho {\epsilon  _0}
</math>
が成り立つ。
同じ計算をすると、ガウス単位系では
:<math>
\textrm {div}\vec E =  4 \pi \rho 
</math>
となることが分る。

ここで、
:<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu} = 4\pi J _\nu
</math>
の第0成分を書き変えると、
(
:<math>
\partial ^\mu = (0,- \partial _x ,- \partial _y, - \partial _z )
</math>
:<math>
F _{\mu 0}= (0 , -E _x ,-E _y ,-E _z ) 
</math> 
に注意。
)
:<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu}
</math>
:<math>
= \textrm{div}  \vec E  = 4 \pi \rho 
</math>
となり、確かに現象と一致する。

==単極磁子は存在しない。==

上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを
述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが
実験的に知られている。
(一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。)
このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると
:<math>
\iint d\vec S \vec B 
</math>
:<math>
=\iiint dV \textrm{div} \vec B
</math>
:<math>
= 0
</math>
(これは磁荷密度が常に0であることによる。)
上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、
:<math>
\textrm {div}\vec B = 0
</math>
が成り立つことが分る。

ここで、
:<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
で、
:<math>
\mu = 1,\nu=2, \rho=3
</math>
と選ぶと、
:<math>
\textrm{lhs }=  \partial _z B _z + \partial  _y B _y + \partial  _x B _x
</math>
:<math>
= \textrm{div } \vec B 
</math>
:<math>
= rhs = 0
</math>
となり確かに式が現象を説明することがわかる。
(この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)

==電磁誘導==

磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が
レンツの法則として、知られている。
:<math>
\vec E = - \frac 1 {2\pi a} \frac{\partial{\Phi}}{\partial{t}}
</math>
(SI単位系での式)
これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、
そうでないときに一般化すると、
:<math>
 2\pi a \vec E = - \frac{\partial{\Phi}}{\partial{t}}
</math> 
:<math>
\int d\vec l \cdot \vec E  = -\frac{\partial{\Phi}}{\partial{t}}
</math>
:<math>
=- \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} \iint dS \vec n\cdot  \vec B
</math>
ストークスの定理を用いて書き変えると、
:<math>
\int d\vec l \vec E  = \iint dS \vec n \cdot  \textrm{rot } \vec E
</math>
よって、
:<math>
\textrm {rot} \vec E = - \frac{\partial{{}}}{\partial{t}}\vec B
</math>
が従う。
Gauss単位系では
:<math>
\textrm {rot} \vec E = - \frac 1 c \frac{\partial{{}}}{\partial{t}}\vec B
</math>
となる。

ここで、
:<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
で例えば、
:<math>
\mu=0,\nu=1,\rho=2
</math>
と置くと、
:<math>
\textrm{lhs} = \partial  _y E _x + \partial  _x (-E _y) - \partial  _t B _z
</math>
:<math>
= - \textrm{rot} \vec E | _z - \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} B _z
</math>
:<math>
= \textrm {rhs} = 0 
</math>
となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。
x成分、y成分はそれぞれ
:<math>
\mu=0,\nu=2,\rho=3
</math>
,
:<math>
\mu=0,\nu=3,\rho=1
</math>
と置くと求めることが出来る。
よってこの場合も式が現象を説明することが
わかる。


==電流の回りの磁場と変位電流==

直線的に流れる電流の回りには、
:<math>
\vec B = \frac {\mu _0} {2\pi} \frac I a
</math>
の磁束密度が生じることが知られている。
(SI単位系での式。)
(aは電線からの距離。)
<!-- 直線の電線を用いた場合には円形の -->
<!-- 磁束密度が現われるが、 -->
これを一般化すると、
:<math>
\int d\vec l \cdot \vec  B = {\mu _0} I = {\mu _0} \iint d \vec S \cdot \vec j
</math>
となる。
ストークスの定理を用いて線積分を
面積分に変換すると、
:<math>
\int d\vec l \cdot \vec  B 
</math>
:<math>
= \iint d \vec S \cdot \textrm{rot} \vec B
</math>
よって両辺を比べることで、
:<math>
\textrm{rot} \vec B = \mu _0 \vec j
</math>
が得られる。実際にはこの式が
上で得られた式と一致するには
もう1つ現象を付け加える必要がある。
例えば、平板
コンデンサに対して電荷が蓄積していくとき、
コンデンサの間の空間には電場の時間変化が現われる。
このとき、%電荷の時間変化には
コンデンサの間の空間には(電流からの寄与が無くても)
磁場が生じることが知られている。
この項は、通常の電流と比べて変位電流と呼ばれる。
数式では、(SI単位系では)
:<math>
\vec j \rightarrow \epsilon _0 \frac{\partial{{ }}}{\partial{t}}\vec E
</math>
としたものに等しい。
これら2つの寄与を足し合わせると、式
:<math>
\frac 1 {\mu _0} \textrm{rot} \vec B =  \vec j + \epsilon _0 \frac{\partial{{}}}{\partial{t}}\vec E
</math>
が得られる。
ガウス単位系では、
:<math>
\textrm{rot} \vec B =  4\pi \vec j + \frac 1 c  \frac{\partial{{}}}{\partial{t}}\vec E
</math>

ここで、
:<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu} = 4\pi J _\nu
</math>
で例えば、
:<math>
\nu = 1
</math>
を代入すると、
:<math>
\frac 1 c \frac{\partial{{E _x}}}{\partial{t}} - \partial  _y {(B _z)} - \partial  _z {-B _y} = - 4\pi j _x
</math>
:<math>
 \frac 1 c \frac{\partial{{E _x}}}{\partial{t}} - \textrm{rot} \vec B| _x  = 4\pi j _x
</math>
:<math>
 - \textrm{rot} \vec B| _x  = - 4\pi j _x - \frac 1 c  \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} E _x
</math>
:<math>
  \textrm{rot} \vec B| _x  =  4\pi j _x + \frac 1 c  \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} E _x
</math>
となり確かに一致する。
y,z方向については
:<math>
\nu = 2
</math>
,
:<math>
\nu = 3
</math>
とおけばよい。


==電磁波の伝搬==

真空中では、
:<math>
J^\mu = 0
</math>
が成り立つので、
:<math>
\partial _\mu F^{\mu\nu} = 0
</math>
:<math>
\partial  _\mu (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu ) = 0
</math>
が得られる。
ここで、
:<math>
A^{\mu}
</math>
がゲージの自由度を持つことを考慮して
この方程式を簡単にすることが出来る。
ここでは、
:<math>
\partial _\mu A^\mu = 0
</math>
(ローレンツゲージ)
をとる。
すると、上の式は簡単になって、
:<math>
\partial ^2 A^\mu = 0
</math>
となる。
ここで、
:<math>
\partial ^2 = \partial _\mu \partial ^\mu = (\frac 1 {c^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{{t}}^2} - \frac{\partial ^2}{\partial \vec x^2})
</math>
である。
この式は速度cで伝搬する波の波動方程式であり、
真空中を電場や磁場が光の速さで伝搬することが分る。
実際にはこのことから光がこのような波(電磁波と呼ぶ)の
一種であることが知られた。
電磁波は振動数によって様々な名前で呼ばれる。

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