電磁気学/電磁波の式の導出のソースを表示

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ここでは[[w:マクスウェルの方程式|マクスウェルの方程式]]から[[w:電磁波|電磁波]]の[[w:波動方程式|波動方程式]]を導く。

通常、マクスウェルの式は '''E''' を[[w:電場|電場の強度]]、'''B''' を[[w:磁束密度|磁束密度]]、'''D''' を[[w:電束密度|電束密度]]、'''H''' を[[w:磁場|磁場の強度]]、''ρ'' を[[w:電荷密度|電荷密度]]、'''j''' を[[w:電流密度|電流密度]]として、[[w:作用素|作用素]] [[w:ナブラ|&nabla;]] を用いて

:<math>\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf{B} (t,\mathbf{x})&=0 \\
\nabla \times\mathbf{E}(t,\mathbf{x}) + \dfrac{\partial\mathbf{B}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=0 \\
\nabla \cdot\mathbf{D}(t,\mathbf{x})& = \rho(t,\mathbf{x}) \\
\nabla \times\mathbf{H}(t,\mathbf{x}) - \dfrac{\partial\mathbf{D} (t,\mathbf{x})}{\partial t}&=\mathbf{j}(t,\mathbf{x})
\end{cases}</math>

と表記されるが、[[w:マクスウェルの方程式#真空中|真空中]]では[[w:E-B対応とE-H対応|E-B対応とE-H対応]]により、電束密度 '''D''' と電場 '''E''' 及び磁場の強度 '''H''' と磁束密度 '''B''' がそれぞれ
:<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}</math>
:<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}</math>
と言う関係にあるため、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]]（「&nabla;&times;」）と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]]（「&nabla;」）及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]]（「&nabla;&middot;」）と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]]（「&nabla;²」）の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]すると

:<math>\begin{cases}\operatorname{div}\mathbf{B}=0&\cdots\,(1) \\
\operatorname{rot}\mathbf{E} = - \dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}&\cdots\,(2) \\
\operatorname{div}\mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}&\cdots\,(3) \\
\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&\cdots\,(4) \end{cases}</math>
と表わせる。

まず、(2)式の両辺の[[w:ベクトル場|ベクトル場]]それぞれの回転をとり
:<math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{E})=-\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
と変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式 <math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=-\Delta\mathbf{F}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{F})</math> を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると
:<math>-\Delta\mathbf{E}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{B})</math>
となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると
:<math>\therefore-\Delta\mathbf{E}+\frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad}\rho=-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\,\cdots\,(5)</math>
となる。

また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
:<math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
と変形した後、電場の場合と同様に
:<math>-\Delta\mathbf{B}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{E})</math>
と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると
:<math>\therefore-\Delta\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\cdots\,(6)</math>
となる。

ここで、[[w:ダランベール演算子|ダランベルシアン]]を
:<math>\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta</math>
と定義すると、(5)式及び(6)式は
:&there4; <math>\begin{align}&\square\mathbf{E}=-\frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad}\rho-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\end{align}</math>
と表され、電磁波を伝播速度が
::<math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>
で表される波であると仮定すると
:&there4; <math>\begin{align}&\begin{align}\square\mathbf{E}&=-\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\operatorname{grad}\rho+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\\
&=-\mu_0\left(c^2\operatorname{grad}\rho+\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\end{align}\\
&\begin{align}\square\mathbf{B}&=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}\\
&=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{align}\end{align}</math>
となり、[[w:真空|真空]]の[[w:透磁率|透磁率]] ''&mu;''{{sub|0}} か[[w:真空の誘電率|真空の誘電率]] ''&epsilon;''{{sub|0}} のどちらか一方のみを[[w:係数|係数]]として表す事も出来る。更に、[[w:電流|電流]]が存在しなければ ''&rho;'' 及び '''j''' が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。

[[カテゴリ:電磁気学|てんしはのしきのとうしゆつ]]