電気回路理論/過渡状態の回路素子のソースを表示

[[../回路素子|回路素子]]の節で見たとおり、線形素子の中でも、インダクタやキャパシタは電流と電圧との間に時間積分や時間微分の関係がある。スイッチを切った回路について、ある時刻にスイッチをオンにして電流を流し始めると、抵抗では電流を流した瞬間にオームの法則にしたがった一定の電圧が発生するが、インダクタやキャパシタはそのようにはならず、時間変動する電流・電圧を生じる。十分に時間が経過すれば、前章までに見たような時間変動のない[[../交流回路の基礎#定常状態と過渡状態|定常状態]]をとるが、それまでの時間変動がある状態を'''過渡状態'''という。この章では、電気回路の過渡状態に注目して学ぶことにする。

== 微分方程式・積分方程式 ==
これまでは、特にインダクタやキャパシタを含む直流回路について、[[電気回路理論/直流回路の計算法|直流回路の計算法]]で見たように回路素子を導線の短絡や開放に置き換えて考えることができた。交流回路ではこれまで定常状態のみを考えたため、[[電気回路理論/インピーダンス|インピーダンス]]などの量を用いて簡単に考えることができた。しかし、電気回路の過渡状態を考察するためには、インダクタやキャパシタの電流・電圧の時間変動そのものが問題になる以上、これらの微分や積分を考慮しなくてはならない。

過渡状態においても、[[電気回路理論/キルヒホッフの法則|キルヒホッフの法則]]は常に成り立つ。そこで、過渡状態を考察するためには、キルヒホッフの法則と[[電気回路理論/回路素子|回路素子]]の節で見た電流・電圧の関係を利用して回路方程式を立てて解けばよい。

例えば、起電力''V''の直流電圧源に自己インダクタンス''L''のコイルと抵抗''R''を直列に接続した簡単な回路を考える。この回路に流れる電流を''i(t)''とすれば、コイルの両端に発生する電圧''v''は、[[電気回路理論/回路素子|回路素子]]の節で見たように、
:<math>v = L\frac{di(t)}{dt}</math>
であるから、結局、KVLより
:<math>Ri(t) + L\frac{di(t)}{dt} = V</math>
が成り立つ。

過渡状態においてKVLやKCLを用いて方程式を立てると、多くの場合その式にはこのような微分項または積分項が含まれる。微分項を含む方程式を'''微分方程式'''、積分項を含む方程式を'''積分方程式'''といい、両者とも含む方程式を'''微積分方程式'''などと呼ぶことがある。

積分方程式は、方程式の両辺を適切な回数だけ微分することにより、微分方程式に帰着させることができる。したがって微分方程式を解くということがこれ以降の目標となる。微分方程式の理論に関しては[[微分方程式]]の教科書を参照されたい。

[[カテゴリ:電気工学|かとしようたいのかいろそし]]