解析学基礎/連続関数のソースを表示

ここでは、有界閉区間上で連続な関数が持つ性質について学ぶ。

== 連続関数の和差積商、合成 ==
<b>定理</b>  f(x)、g(x)を閉区間I=[a,b]上で連続な関数とすると、その和および差f(x)±g(x)、積f(x)g(x)、商f(x)/g(x) (ただしg(x)&ne;0)も区間I上で連続である。<br/>

これは、極限の性質より明らかである。

== 有界性定理 ==
<b>定理</b>  f(x)が閉区間I=[a,b]上で連続ならば、f(x)の値域f(I)={f(x)|x&isin;I}は有界である。

<b>証明</b><br/>f(x)が有界でないと仮定すると、自然数nに対して、f(x<sub>n</sub>)>nとなるx<sub>n</sub>がとれ、数列{x<sub>n</sub>}は有界なので、収束部分列{x<sub>n<sub>k</sub></sub>}がとれる。区間Iが閉なのでその極限値&alpha;は区間Iに含まれている。f(x)の連続性より<math> \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f( \alpha )</math>。アルキメデスの原理よりf(&alpha;)より大きい自然数Nが存在し、n<sub>k</sub>>Nならば、f(x<sub>n<sub>k</sub></sub>)>n<sub>k</sub>>N>f(&alpha;)より、矛盾が発生する。よって、f(x)は有界である。

== 最大値・最小値の定理 ==
<b>定理</b>  f(x)が閉区間I=[a,b]上で連続ならば、f(x)はその区間で最大値、および最小値をとる。

<b>証明</b><br/>最大値を持つことを示す（最小値についても同様である）。有界性定理から、f(x)の値域には上限Mが存在する。f(x)=M、a&le;x&le;bを満たすxが存在しないと仮定すると、F(x)=M-f(x)はI上で0をとらない。よって、<math> \frac{1}{F(x)} = \frac{1}{M-f(x)} </math>はI上で連続である。また、上限の定義から、任意の&epsilon;>0に対して、f(c)=M-&epsilon;を満たすc&isin;Iが存在する。このとき、<math> \frac{1}{F(c)}= \frac{1}{ \epsilon }</math>であるから、1/F(x)は有界ではない。これは、有界性定理に反する。

<b>例題</b>  f(x)=x<sup>4</sup>-4x<sup>2</sup>+1は区間[-2,1]上で最大値、および最小値を持つか、また、その値を求めよ。
:解 (最大値)=1、(最小値)=-3
== 中間値の定理 ==
<b>定理</b>  f(x)が閉区間I=[a,b]上で連続ならば、任意のf(a)とf(b)の間の実数cに対して、f(d)=c、a&le;d&le;bを満たす実数dが少なくとも一つ存在する。

<b>証明</b><br/>

<b>例題</b>  x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+5x-2+2sin(πx)=0は区間[0,2]で解をもつか。
:解 (左辺)=f(x)とおくと、f(x)は連続である。f(0)=-2かつf(2)=4より、中間値の定理から、f(x)=0を満たすxが[0,2]に少なくとも一つ存在する。
:※実際には解は3つ存在する。
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