解析学基礎/数列の極限のソースを表示

== 定義 ==
数列<math>\{a_n\}</math>が、実数''α''に収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ<math> \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha ,  \lim_{n \to \infty}a_n = \infty ,  \lim_{n \to \infty}a_n = -  \infty </math>と書き、それぞれの定義を次のようにする。
*<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \  \exists N \in \mathbb{N} \  \ n>N \Rightarrow |a_n - \alpha | < \epsilon </math>
*<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall K \  \exists N \in \mathbb{N} \  \ n>N \Rightarrow a_n > K </math>
*<math>\lim_{n \to \infty} a_n = - \infty \Leftrightarrow \forall K \  \exists N \in \mathbb{N} \   \ n>N \Rightarrow a_n < K </math>

<b>例</b> 数列<math>a_n=n^p (p \in \mathbb{Z})</math>について、<br/><math>
\lim_{n \to \infty} a_n =
\begin{cases} 
\infty,  & p \ge 1 \\
1, & p=0 \\
0, & p \le -1 
\end{cases}</math><br/>

[1]<math>p \ge 1</math>のとき
:任意の<math>K>0</math>に対して、アルキメデスの原理より、<math>\sqrt[p]{K} < N </math>を満たす''N''が存在する。<math>n>N</math>ならば、<math>p \ge 1</math>より<math>n^p>K</math>。よって、<math>a_n</math>は正の無限大に発散する。

[2]<math>p=0</math>のとき
:任意のε>0に対して、<math>|a_n-1|=0<\epsilon</math>。よって<math>a_n</math>は1に収束する。

[3]<math>p<0</math>のとき
:任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、<math> \sqrt[p]{\epsilon} <N</math>を満たす自然数''N''が存在する。<math>n>N</math>ならば、<math>p<0</math>に注意すると、<math>0<|n^p|<\epsilon</math>。よって、<math>a_n</math>は0に収束する。

== 性質 ==
=== 数列の和差積商の極限 ===
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha , \lim_{n \to \infty} b_n = \beta </math>のとき、次の等式が成立する。
*<math>\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta </math>
*<math>\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta </math>
*<math>\lim_{n \to \infty} c a_n = c \alpha \  ( c \in \mathbb{R} ) </math>
*<math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} \  ( \beta \neq 0) </math>
証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。

=== その他の基本的性質 ===
*<math> \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha , \lim_{n \to \infty} a_n = \beta </math>ならば、&alpha; = &beta;
<b>証明</b><br/>
任意の&epsilon;>0に対して、ある''N''が存在して<math>n>N</math>ならば<math>|a_n - \alpha | < \frac{\epsilon}{2} , |a_n - \beta | < \frac{\epsilon}{2} </math>なので、<br/> <math> | \alpha - \beta | \le | \alpha - a_n | + |a_n - \beta| \le \epsilon </math><br/>&epsilon;は任意より、&alpha;=&beta;


*<math>a_n \le b_n ,\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha,\lim_{n \to \infty} b_n = \beta </math>ならば<math>\alpha \le \beta</math>
<b>証明</b><br/>
任意の &epsilon;>0に対して、ある''N''が存在して<math>n>N</math>ならば<math>\alpha - \epsilon < a_n < \alpha + \epsilon , \beta - \epsilon < b_n < \beta + \epsilon </math>なので、<br/> <math>\alpha - \epsilon < a_n \le b_n < \beta + \epsilon \  \therefore \alpha - \beta < 2 \epsilon </math><br/>&epsilon;は任意の正の数なので、&alpha;&le;&beta;


*<math> a_n \le b_n \le c_n ,\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha ,\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha </math>ならば、<math>\lim_{n \to \infty} b_n = \alpha</math>
証明は関数の極限と同じなので省略する。

=== 実数の連続性に関わる性質 ===
*有界な単調数列は収束する。
<b>証明</b><br/>
<math>\{a_n\}</math>が有界な単調増加列とし、<math>\sup a_n = \alpha </math>とおく。上限の定義より、任意の&epsilon;に対し、<math>\alpha - \epsilon < a_N</math>を満たす自然数''N''が存在し、<math>n>N</math>のとき、単調増加性より、<math>\alpha - \epsilon < a_N < a_n \le \alpha </math>。つまり、数列<math>a_n</math>は収束する。

*<math>a_n , b_n</math>をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数''i''について<math>a_i<b_i</math>かつ、<math> \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) =0</math>ならば、実数cが存在して、<math> \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n =c </math>（区間縮小法の原理）
<b>証明</b><br/>
<math>a_1 \le a_n<b_n \le b_1</math>より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値を&alpha; , &beta;とおくと、条件より&beta;-&alpha;=0 &there4; &alpha; = &beta;

*有界な数列は収束部分列を持つ。（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)
<b>証明</b><br/>
数列<math>\{a_n\}</math>を有界とする。<math>m_1 < a_n < M_1,I_1=[m_1,M_1]</math>とおく。<math>[m_1, \frac{m_1+M_1}{2}],[\frac{m_1+M_1}{2},M_1]</math>のうち、有限個の{a<sub>n</sub>}の項しか含んでいない方でない方を<math>I_2=[m_2,M_2]</math>とおく。
このようにして数列<math>m_n,M_n</math>を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。
また、すべての自然数kに対して、<math>m_k<a_{n_k}<M_k</math>を満たす自然数<math>n_k</math>が存在し、はさみうちの原理から部分列<math>\{a_{n_k}\}</math>は収束する。

*<math>\forall \epsilon >0 \  \exists N \in \mathbb{N} \  \  n>N \land m>N \Rightarrow |a_n-a_m|< \epsilon </math>（これを満たす数列をコーシー列という）なら、数列<math>\{a_n\}</math>は収束する。
<b>証明</b><br/>
&epsilon;<sub>1</sub>を固定して、&epsilon; =&epsilon;<sub>1</sub>のときの''N''を''N''<sub>1</sub>とおくと、n>N<sub>1</sub>のとき、<math>a_{N_1}- \epsilon _1 <a_n<a_{N_1}+\epsilon _1</math>より、数列は有界で、前性質より収束する部分列<math>\{a_{n_k}\}</math>を持つ。この収束値を&alpha;とおくと、ある自然数''N''が存在して、<math>n_k,n>N \Rightarrow |a_{n_k} - \alpha |< \frac{\epsilon}{2} \land |a_n - a_{n_k} |< \frac{\epsilon}{2} </math>が成り立つので、三角不等式より、<math>|a_n - \alpha | <|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}- \alpha | < \epsilon </math>
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