解析学基礎/微分可能関数のソースを表示

== ロルの定理 ==
* 関数<math>f(x)</math>が閉区間<math>[a,b]</math>上で連続、開区間<math>(a,b)</math>上で微分可能で、<math>f(a)=f(b)</math>ならば、<math>f'(c)=0</math> かつ<math>c \in (a,b)</math>を満たす<math>c</math>が存在する。<br/>

<b>証明</b><br/>
<math>f(x)</math>が<math>[a,b]</math>上で定数なら、どの<math>c \in (a,b)</math>についても、<math>f'(c)=0</math>である。<br/>
<math>f(x)</math>が<math>[a,b]</math>上で、<math>f(a)</math>より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、ある<math>c \in (a,b)</math>が存在して、任意の<math>x \in [a,b]</math>に対して、<math>f(c) \ge f(x)</math>となる。このとき、<math>f(x)</math>の微分可能性から、
:<math> \lim_{h \to +0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}  \le 0 </math>
:<math> \lim_{h \to -0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}  \ge 0 </math>
であるから、<math>f'(c)=0</math>となる。

<math>f(x)</math>が<math>[a,b]</math>上で定数でなくかつ<math>f(a)</math>より大きい値を取らないなら、<math>f(a)</math>より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)

== ラグランジュの平均値の定理 ==
* 関数<math>f(x)</math>が閉区間<math>[a,b]</math>上で連続、開区間<math>(a,b)</math>上で微分可能ならば、<math> \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) </math>　　<math>\  (c \in (a,b) )</math>を満たす<math>c</math>が存在する。

<b>証明</b><br/>
<math>F(x)=f(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} x</math>とおく。このとき、<math>F(a)=F(b)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}</math>であるから、ロルの定理より、<math>F'(c)=0 (c \in (a,b))</math>を満たす<math>c</math>が存在し、<math>F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>であるから、定理は成立する。(証明終)

<b>例</b> <math>f(x)=x^2 (x \in [3,5])</math>について、定理が成立していることを確かめよ。<br/>
:<math>\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=8, f'(x)=2x</math>なので、<math>f'(x)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}</math>なら、<math>x=4</math>である。これは確かに区間<math>(3,5)</math>上に存在している。

== コーシーの平均値の定理 ==
* 関数<math>f(x),g(x)</math>が<math>[a,b]</math>上連続かつ<math>(a,b)</math>上微分可能で、<math>g(a) \ne g(b)</math>であり、また任意の<math>c \in (a,b)</math>に対して<math>g'(c) \ne 0</math>であるとする。このとき、<math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>　　<math>\ (c \in (a,b))</math>　を満たす実数<math>c</math>が存在する。

<b>証明</b><br/>
<math>g(b)-g(a) \ne 0</math>であるから、<math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=k</math>　とおくことができる。<math>f(b)-f(a)-k(g(b)-g(a))=0</math> であるから、関数<math>\phi(x)</math>を<math>\phi(x)=f(x)-f(a)-k(g(x)-g(a))</math> と定めると、<math>\phi(a)=\phi(b)=0</math> となる。したがってロルの定理より、<math>\phi'(c)=0 \ (c \in (a,b))</math> を満たす実数cが存在する。

ここで<math>\phi'(x)=f'(x)-kg'(x)</math>であることに注意すると、<math>\phi'(c)=f'(c)-kg'(c)=0</math>である。<math>g'(c) \ne 0</math>であるから、<math>k=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>が成り立つ。(証明終)

== 平均値の定理の書き換え ==
平均値の定理中の　<math> c \in (a,b)</math>　は不等式　<math>a<c<b</math>　と同義である。ここで　<math>a=x_0 , b=x_0 +\Delta x,c=x_0 +\theta \Delta x</math>　とおけば、<math>\Delta x>0</math>であり、<math>x_0 <x_0 +\theta \Delta x<x_0 +\Delta x</math>より<math>0<\theta<1</math>が得られる。ここで、<math>\theta =\frac{c-x_0}{\Delta x}</math>　である。

これらをラグランジュの平均値の定理に現れる式に代入すれば
:<math>\frac{f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0 +\theta \Delta x)</math>
が得られる。この式や、分母を払った式
:<math>f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0 +\theta \Delta x)\Delta x</math>
を用いると便利なことがある。

無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり
:<math>\frac{f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)}{g(x_0 +\Delta x)-g(x_0)}=\frac{f'(x_0 +\theta \Delta x)}{g'(x_0 +\theta \Delta x)}</math>
なる等式が導かれる。ただし　<math>0<\theta<1</math>　すなわち　<math> \theta \in (0,1)</math>　である。

== テイラーの定理 ==
* f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、<br/><math> \quad f(b)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b-a)^k +\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p} (b-a)^p \ </math>　　<math> (c \in (a,b))</math><br/>を満たすcが存在する。

<b>証明</b><br/>
<math>f(b)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b-a)^k +R(b-a)^p</math> を満たすRを考える。<math>F(x)=f(x)+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k +R(b-x)^p</math> とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c&isin;(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、<br/>
<math>F'(x)=f'(x)+ \sum_{k=1}^{n-1} \left ( \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!} (b-x)^k - \frac{f^{(k)} (x)}{(k-1)!} (b-x)^{k-1} \right ) -pR(b-x)^{p-1} </math><br/>
:<math>=f'(x)+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!} (b-x)^k - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)} (x)}{(k-1)!} (b-x)^{k-1} -pR(b-x)^{p-1}  </math><br/>
:<math>= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!} (b-x)^k - \sum_{k=0}^{n-2} \frac{f^{(k+1)} (x)}{k!} (b-x)^k  -pR(b-x)^{p-1} :</math><br/>
:<math>= \frac{f^{(n)} (x)}{(n-1)!} (b-x)^{n-1} -pR(b-x)^{p-1}</math>
なので、F'(c)=0のとき、
<math> R= \frac{f^{(n)} (c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p}</math> である。(証明終)

テイラーの定理中の <math> \frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p} (b-c)^{n-p} (b-a)^p </math> のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算や[[解析学基礎/テイラー級数|テイラー級数]]などに応用される。

[[カテゴリ:関数]]