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n次元ベクトル(vector)とは、n個の複素数の組

<math>a=(a_1, a_2,,, a_n)</math>
の事である。n次元ベクトル(∀n &isin; '''N''')を総じてベクトルという。
<math>a_1,a_2,,,a_n</math>は、ベクトルaの要素(element)と呼ばれていて、要素がすべて実数のベクトルを特に実ベクトルと言う。対して、要素がすべて複素数のベクトルを特に複素ベクトルと言う。ベクトルには大きさも定義されていて、それは||a||で表され、
:<math>||a||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} a_i^2}</math>
と、定義される。これをaのノルムと言う。

例
:<math>a=(3,5,6,2,4)</math>
:<math>||a||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt 10</math>

演習
:次のベクトルのノルムを求めよ
:<math>(1)a=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)</math>
:<math>(2)a=(2,4,6,8,0,9,3)</math>
:<math>(3)a=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)</math>
:<math>(4)a=(3,4)</math>
:<math>(5)a=(a,\sqrt a,3a,\sqrt 3a)</math>

二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間<math>(R^2)</math>三次元空間<math>(R^3)</math>
内の、大きさと方向を持った量を表し、通常矢印で表される。このベクトルを特に空間ベクトルと言う。
空間ベクトルの中でも特に、点の座標を表すものを位置ベクトルという。
空間ベクトル、位置ベクトルにおけるノルムは、それぞれ長さ、距離と呼ばれ|a|と表記される。
一般にベクトルには和、差、内積、外積が定義されている。
それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。
==ベクトルの和==
:<math>a=(a_1, a_2,,, a_n)</math>
:<math>b=(b_1, b_2,,, b_n)</math>
とすると、
:<math>a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2,,, a_n+b_n)</math>
==ベクトルの差==
:<math>a=(a_1, a_2,,, a_n)</math>
:<math>b=(b_1, b_2,,, b_n)</math>
とすると、
:<math>a-b=(a_1-b_1, a_2-b_2,,, a_n-b_n)</math>

==ベクトルの内積==
:<math>a=(a_1, a_2,,, a_n)</math>
:<math>b=(b_1, b_2,,, b_n)</math>
とすると、
:<math>(a,b) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math>

位置ベクトルにおいては、その交角をθとすると特に、
:<math>(a,b)=|a||b|\cos \theta</math>
と表される。

演習
:空間ベクトル(1,1,1)とπ/6,(1,1,4)とπ/4を交角とするベクトルを求めよ

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