解析学基礎/δの選び方のソースを表示

== &delta;の選び方 ==
===形式的な極限の定義===

任意(∀)の正の数&epsilon;に対し、ある(∃)数&delta;が存在し
:<math>0 < \left| x - c \right| < \delta</math>
ならば
:<math>\left| f(x) - L \right| < \epsilon</math>
となるとき、''L''は、''x''を''c''に近付けた時の ''f(x)''の極限といいます。

言い換えれば、正の数&epsilon;が与えらると、適当な&delta;を選ぶ事によって
:<math>0 < \left| x - c \right| < \delta</math>
ならば
:<math>\left| f(x) - L \right| < \epsilon</math>
となることが証明できます。

さらに言えば、このような証明が'''全ての(∀)'''&epsilon; &gt; 0に対して可能です。


この形式的な定義は、極限を求めるには少し不便です。極限''L''を'''見つける'''ための方法論は与えず、ある数値が極限であるかどうかを判定するのにだけ使えます。直感的な極限の定義や、似たような問題からの類推、或いは、ロピタルの定理などの定理を用いて極限を予想し、形式的な定義を用いて、その値が極限であるか否かを示すことができます。

∀：全称記号。任意、全て

∃：存在記号。存在、ある

===例1===
''x''を ''c''=9に近付けた時の、''f(x)''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;5 の極限を探す事を考えます。極限''L'' は 9+5=14 であることが分かっていて、これは次のように証明できます。


&delta; = &epsilon; と選べば　（この選び方がこのページの主題です。）
:<math>\left| x - 9 \right| < \delta</math>
ならば
:<math>\begin{matrix}
\left| (x + 5) - 14 \right| & = & \left| x - 9 \right| \\
\ & < & \delta \\
\ & = & \epsilon \end{matrix}</math>
ということが証明できるわけです。

実は、証明の式を逆に辿る事によって、&delta;を選びました。
:<math>\left| f(x) - L \right| < \epsilon</math>
この場合、
:<math>\left| x - 9 \right| < \epsilon</math>
から
:<math>\left| x - 9 \right| < \delta</math>
となります。

したがって&delta; = &epsilon;と選べば、証明自体もこのように簡単にできます。この例はとても簡単な例なので、一般にはそう上手くはは行きません。


===例2===
''x''を 2に近付けたとき、''f(x)'' = ''x''&sup2; - 9 の極限が''L'' = &minus;5であることを証明します。

:<math>\left| x - 2 \right| < \delta</math>
ならば
:<math>\left| f(x) - L \right| = \left| x^2 - 4 \right| < \epsilon</math>
を示すことが必要です。

ここでも、逆に辿って&delta;を探します。まず最初に、''x''を使わずに &delta;と &epsilon;の関係を表すことを考えます。


:<math>\left| x^2 - 4 \right|  <  \epsilon </math>
:<math>\left| x - 2 \right| \cdot \left| x + 2 \right|  <  \epsilon </math>
また三角不等式を用いて
:<math>\left|x + 2 \right| = \left|x-2+4\right| < \left|x-2\right|+4 = \delta + 4 </math>
となることを考えれば
:<math>\left| x - 2 \right| \cdot \left| x + 2 \right|  <  \delta \cdot (\delta +4) </math>
となるので
:<math>(\delta) \cdot (\delta + 4)  =  \epsilon </math>
を満たすように &delta;を選べばいいと分かります。この最後の方程式は、論理的に出てきたわけではなく、それぞれの不等式を見比べて単にこのように選べば、証明が上手くいくというだろうという直感的なテクニックです。この方程式の解として&delta;を選んでおき、証明の最後の段階で、この'''逆に辿って得られた'''方程式を使用します。


:この例では、''x''を&delta;に、不等号 &lt; を、等号 = に置き換えました。蛇足ですが |x-2| = &delta;ではなく|x-2| < &delta;なので、こういう &delta;の選び方が可能になります。上の方程式を元に、証明を辿ると、このような&delta;の選び方でいいということがよくわかるでしょう。

&delta;の二次方程式だと思って、&delta;が正の数であることに注意して解くと

:<math>\delta = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot \epsilon}}{2 \cdot 1} = -2 + \sqrt{4 - \epsilon}</math>

となります。

<!-- ここらへんの Noteは疑わしいのである程度飛ばす -->

この値を用いて、極限であることの証明を行います。


:<math>\left| x - 2 \right| < \delta</math>
ならば
:<math>\begin{matrix}
\left| f(x) - L \right| & = & \left| x^2 - 4 \right| \\
\ & = & \left| x - 2 \right| \cdot \left| x + 2 \right| \\
\ & \le & (\delta) \cdot (\delta + 4) \\
\ & < & (\sqrt{4 - \epsilon} - 2) \cdot (\sqrt{4 - \epsilon} + 2) \\
\ & = & (\sqrt{4 - \epsilon})^2 - (2)^2 \\
\ & = & \epsilon \end{matrix}</math>


===例3===
''x''を 0に近付けたとき ''f(x)'' = <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> の極限が ''L'' = 1 になることを示してください。


===例4===
''x''を0に近付けたとき、''f(x)'' = 1/''x'' が 極限を持たないことを示してください。

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