線形代数学/逆行列の一般型のソースを表示

<small> [[線型代数学]] > 逆行列の一般型 </small>
----

==逆行列の一般型==

逆行列は、

<math>
A^{-1} = \frac 1 {\det A} C
</math>
で書かれる。
ここでCは、Aの余因子行列である。


'''導出'''

第''l''行について考える。(l = 1 , ... , n)
このとき、l行l列について
ACを考えると、
<math>
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} c _{ml}
</math>
<math>
=\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ l} b _{lm}
</math>,
(<math>b _{lm}</math>は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。)
<math>
=\det A
</math>
(式の展開の逆)
また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について
ACを考えると、
<math>
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} c _{mi}
</math>
<math>
\sum  _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ i} b _{im}
</math>
これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。
行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、
その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。
(導出?)
よってi列からの寄与は0に等しい。
よって求める行列
ACは、
<math>
\det (A ) E
</math>
となり、
<math>
\frac 1 {\det A} C
</math>
は、(CはAの余因子行列)
Aの逆行列に等しいことが分る。


実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので
実用的な計算には用いられない。
実用的な計算にはガウスの消去法が
用いられることが多い。
<!-- ガウスの消去法は計算機科学か線形代数か... -->
<!-- 線形代数だろうな、やっぱり...。 -->

[[Category:線形代数学|きやくきようれつのいつはんけい]]