線形代数学/余因子行列のソースを表示

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==余因子行列==
===余因子===
正方行列<math>A</math>に対して、 行列の<math>i</math>行目と<math>j</math>列目を取り除いて得られる行列を<math>A_{ij}</math>と表す。このとき、

<math>\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} | A_{ij} |</math>
を<math>A</math>の<math>(i,j)</math>'''余因子'''という。

;例
<math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 8 \\
1 & 9 & 3 \\
7 & 5 & 2
\end{pmatrix}</math>
の<math>(2,2)</math>余因子は、<math>(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = -46</math>である。

===余因子展開===
次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。

<math>|A| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn} (1 \le j \le n)</math>

<math>|A| = a_{1i} \tilde a_{1i} + a_{2i} \tilde a_{2i} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{ni} (1\le i \le n)</math>

ただし、<math>A</math>は<math>n</math>次正方行列である。

これを、'''余因子展開'''という。

'''証明'''

<math>A = \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}</math>

とする、このとき、

:<math>|A| = \begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}</math>
である、ここで、行列<math>A</math>の<math>j</math>列目<math>\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}</math>は、
<math>a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math>と表すことができ、
(1)式は、
<math>
\left| \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}, \cdots, a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix}a_{n1} \\ a_{n2} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \right|
</math>と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、
<math>
a_{1j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 1 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} +
a_{2j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 1 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} + \cdots +
a_{nj} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} \cdots (2)
</math>
である。

ここで、<math>\begin{vmatrix} 
a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in}  \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}</math>について考える。

この行列の<math>i</math>行目と、<math>i-1</math>行目を入れ替る。<math>i-1</math>行目と、<math>i-2</math>行目を入れ替える。・・・<math>2</math>行目と、<math>1</math>行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。
<math> (-1)^{i-1} \begin{vmatrix} 
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in}  \\
a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i-1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i-1,n}  \\
a_{i+1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i+1,n}  \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}
</math>

行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は<math>-1</math>倍されるのだった。この操作では、<math>i-1</math>回の入れ替えを行うので、この式は、<math>(-1)^{i-1}</math>倍されている。

次に、同じように、<math>j</math>列目と、<math>j-1</math>列目を入れ替える。<math>j-1</math>列目と、<math>j-2</math>列目を入れ替える。・・・<math>2</math>列目と、<math>1</math>列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。<br>

<math> (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} 
1 & a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{in}  \\
0 & a_{11} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{12} & \cdots & a_{2,j-1}&a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}  \\
0 & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{nn} 
\end{vmatrix}
</math>

<math>(-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}</math>であることについての説明は不要であろう。
これを、行列式の定義に従って展開する。

一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。
なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>|A_{i,j}|</math>と一致する。
よって、この行列式は、<math>(-1)^{i+j} |A_{ij}| = \tilde a_{ij}</math>である。



これを、(2)式に代入すれば、<math>|A| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn}</math>となり、証明された。

これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。

===余因子行列===

<math>\tilde A = (\tilde a_{j,i})</math>をAの余因子行列という。

余因子行列には、以下の性質がある。
:<math>A \tilde A = \tilde A A = |A|E</math>

'''証明'''

<math>\tilde A A = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \cdots & \tilde a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde a_{1n} & \cdots & \tilde a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>なので、
行列<math>\tilde A A</math>の<math>(i,j)</math>成分は、

<math>a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} \cdots (1)</math>である。


(i)<math>i=j</math>のとき
:(1)式は、行列<math>A</math>の<math>i</math>列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式は<math>i=j</math>のとき、<math>|A|</math>である。<br>
(ii)<math>i\neq j</math>のとき
:行列<math>A</math>の<math>i</math>列目が行列<math>A</math>の<math>j</math>列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。<br>
:<math>
\begin{vmatrix} 
a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1j} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2j} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{nj} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
</math>

:この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。
:同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、<math>i\neq j</math>のとき、0である。 <br>
まとめると、<math>a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} =
\begin{cases} 
|A| (i=j) \\
0 (i \neq j) \\
\end{cases}
</math>である。
よって<math>\tilde A A = |A|E</math>である。同様の議論を行えば、<math>A \tilde A = |A|E</math>も導くことができる。

===逆行列の計算===
<math>|A| \neq 0</math>のとき<math>A^{-1}</math>が存在するので、<math>\tilde A A = |A|E</math>に<math>A^{-1}</math>を右からかけ<math>|A|</math>で割れば、
<math>A^{-1} = \frac{\tilde A}{|A|}</math>である事がわかる。
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