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<small> [[線型代数学]] > 逆行列 </small>
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この章では逆行列の性質について議論する。

なお、行列の四則演算（和、積など）については [[線型代数学/行列概論#行列の演算|行列概論]] を参照のこと。

==逆行列の定義==
{{定義|1.1.1}}
体<math>\mathbf K</math>上のn次正方行列<math> A \in \ M(n; \mathbf K) </math>に対して、
:<math> \ AX = XA = I_n </math>
となるような行列<math>X \in \ M(n,; \mathbf K)</math> が存在するとき、行列<math> \ X</math>は行列<math> \ A </math>の逆行列（inverse matrix）であるといい、<math>\ X = \ A^{-1} </math>と書く。
{{定義終わり}}

{{定義|1.1.2}}
行列<math>\ A </math>が逆行列をもつとき　<math> \ A </math>は正則（regular）である、という。
{{定義終わり}}

逆行列という言い方のほうが馴染みがあるかもしれないが、線形代数学では、正則（せいそく）という言い方をよくするので慣れてもらいたい。

==逆行列の性質==
===逆行列の一意性===
{{定理|1.1.3}}
逆行列は一意的に定まる。
{{定理終わり}}
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">1.1.3の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;"><math>\ A </math> の逆行列として<math>\ X </math>の他に <math>\ Y </math>が存在したとすると
:<math>\ AX-AY = A(X-Y) = \mathbf 0 </math>
<math>\ A^{-1} </math>を左からかければ
:<math>\ X-Y = \mathbf 0 </math>
∴<math>\ X = Y </math>　である。□</div></div>

===逆行列であるための条件===
{{定理|1.1.4}}
次のうちどちらかの条件（<math>\ AX = I_n </math>　または　<math>XA = I_n </math>）が成り立てば、<math> \ A</math> は正則であり、<math> \ X </math>は　<math> \ A </math>の逆行列である。
{{定理終わり}}

証明は後述する。（定理1.1.4の証明の手段として、まず、これから説明する定理1.1.5と補題1.1.6を先に証明する。）

===逆行列に関する演算===
{{定理|1.1.5}}
条件<math> \ A,P_1,\ldots ,P_m \in \ M(n; \mathbf K) </math> をみたす行列<math> \ A</math>、行列<math> P_1</math>・・・、行列<math> P_m</math>がそれぞれ正則であるとき、以下が成り立つ。
#<math> \ A = P_1 \cdots P_m \Rightarrow \ A^{-1} = P_m^{-1} \cdots P_1^{-1} </math>
#<math> \ (^tA)^{-1} = ^t(A^{-1}) </math>
{{定理終わり}}
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">1.1.5の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
#逆行列の一意性より明らか
#<math>I = AA^{-1} = {}^t(A^{-1}) {}^tA</math>であるので、<math>(^tA)^{-1}</math>を右から掛ければ<math> \ (^tA)^{-1} = ^t(A^{-1}) </math>
</div></div>

===逆行列であるための条件の証明===
ここから先は[[線型代数学/行列の基本変形#基本行列|行列の基本変形]]を理解しているものとして話を進める。

まず、次の補題を示す。
{{補題|1.1.6}}
<math> \ C = \begin{pmatrix} \ A & \mathbf 0_{n,m} \\ \mathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} </math> が正則。　<math> \Leftrightarrow  \ A, \ B </math> が正則。　　　　（ ただし<math>\ A \in \ M(n;\mathbf K)</math> ,かつ <math>\ B \in\ M(m;\mathbf K)</math> ）
{{補題終わり}}

<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">補題1.1.6の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
:<math>(\Rightarrow) \ C </math> の逆行列を　<math> \ Y </math> とすると、
:<math> \ CY = \begin{pmatrix} \ A & \mathbf 0_{n,m} \\ \mathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ AY_{n,n} & \ AY_{n,m} \\ \ BY_{m,n} & \ BY_{m,m}\\ \end{pmatrix} = I_{n+m} </math>
:<math> \ YC = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ A & \mathbf 0_{n,m} \\ \mathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} A & \ Y_{n,m} B \\ \ Y_{m,n} A & \ Y_{m,m} B\\ \end{pmatrix} = I_{n+m}</math>

したがって、<math> \ AY_{n,n} = Y_{n,n}A = I_n ,\ BY_{m,m} = Y_{m,m}B = I_m </math>  が成り立つので、<math> \ A, \ B </math> は正則。□
:<math>(\Leftarrow)  \begin{pmatrix} \ A^{-1} & \mathbf 0_{n,m}\\ \mathbf 0_{m,n} & \ B^{-1}\\ \end{pmatrix} </math> は、

<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則。□</div></div>

それでは、定理1.1.4を証明することにする。
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">定理1.1.4の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
数学的帰納法で示す。

<math>\ n = 1 </math>のとき、　<br >
行列はただの数字となるので、正しい。

<math>\ n = k </math>のとき定理は正しいと仮定する。

<math>\ A,X \in \ M(k+1; \mathbf K) </math> が　<math>\ AX = I_{k+1} </math> をみたしているとき、

<math>\ A \neq \mathbf 0</math>　なので、基本行列の積　<math>\ P,Q \in \ M(k+1;\mathbf K) </math> が存在して、
:<math>\ PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\mathbf 0 \\ \mathbf 0 & \ B \\ \end{pmatrix}</math> と変形できる。（ただし <math> \mathbf 0 \in \mathbf K^{k} </math> ）
また、
<math>\ Q^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\mathbf v\\ \mathbf w & \ X' \end{pmatrix}  </math> とおけば、（ただし <math>u \in \mathbf K,\mathbf v,w \in \mathbf K^{k},\ X' \in \ M(k; \mathbf K)  </math> ）   
:<math> \ I_{k+1} = PAQQ^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\mathbf v\\ \ B\mathbf w & \ BX'\\ \end{pmatrix}</math> より
:<math>  u = 1,^t\mathbf v = \mathbf 0,B\mathbf w = \mathbf 0,BX' = I_{k} </math>   となる。

ここで、帰納法の仮定と補題より<math> BX' = I_k \Leftrightarrow B </math> は正則。　<math>\Leftrightarrow PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\mathbf 0 \\ \mathbf 0 & \ B \\ \end{pmatrix} </math>  は正則。（ ただし <math> \mathbf 0 \in \mathbf K^{k} </math> ）

<math> \ P,Q </math> は正則だから　<math>\ A</math> も正則。

以上より<math>\ n = k+1</math> のときも定理は正しい。<math>\ XA = I_{k+1} </math> のときも同様である。□</div></div>

==逆行列の求め方==
===方法===
以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。

なぜなら、仮に行列<math> \ A \in M(n;\mathbf K) </math> が正則であるとすれば、このとき、正則の定義より、関係式
:<math>\ PAQ = I_n </math>

をみたす基本行列の積の行列　<math>\ P \in M(n; \mathbf K) </math>と <math>\ Q \in M(n; \mathbf K) </math>とが、それぞれ存在する。<math>\ P, \ Q </math>は、それぞれ正則だから
:<math>\ A = P^{-1}Q^{-1}</math> ,および <math>\ A^{-1} = QP </math>
が成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが分かる。
 
すなわち、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。

以上のことから次の定理が成り立つ。
{{定理|1.1.7}}
仮に行列<math>\ A \in \ M(n; \mathbf K) </math> が正則行列のとき、
:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix}  </math>
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
:<math>\begin{pmatrix} \ I_n & \ B \\ \end{pmatrix} </math>　（ただし<math> \ B \in \ M(n;\mathbf K)</math>）
このとき、<math> \ A^{-1} = B </math>　である。
{{定理終わり}}

===例題===
<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 1& 1\\ -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math> の逆行列を求めよ。<br /><br />

解法の手順<br />
# まず <math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math> を用意する。
# （第2行の-2倍を第1行に、2倍を第3行に加える）<math> \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
# （第2行と第1行を入れ替える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
# （第2行を第1行に加え、第2行の2倍を第3行に加える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
# （第3行を第2行に加え、さらに第2行を－1倍する）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>

よって逆行列は、<math>\begin{pmatrix}  1 & -1 & 0\\ -3 & 4 & -1\\ 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>

===練習問題===
逆行列を以下の（１）,（２）の行列について求めよ。

（１） <math>\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ \end{pmatrix} </math> 　
（２） <math>\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}  </math>


答え　（１） <math>\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\ 3 & -5 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}</math> 　
（２） <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}</math>

[[Category:線形代数学|きやくきようれつ]]