線型代数学/計量ベクトル空間のソースを表示

このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。

2、3次元の数ベクトルの場合は、[[高等学校数学B ベクトル#ベクトルの長さ|高等学校数学B ベクトル]]を参照のこと。

== 数ベクトルのノルム・内積 ==
=== ノルム ===
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは<math>||a||</math>で表され、
:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math>
と定義される。これをaの'''ノルム''' （norm）と言う。

'''例'''
:<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 3\\
 5\\
 6\\
 2\\
 4\\
\end{pmatrix}</math>

:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt 10</math>

'''演習'''
:次のベクトルのノルムを求めよ

#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 2\\
 4\\
 8\\
 6\\
 3\\
\end{pmatrix}</math>
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
 a\\
 \sqrt a\\
 3a\\
 \sqrt 3a\\
\end{pmatrix}</math>

=== 内積 ===
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math>
を'''a'''と'''b'''の''内積'' （inner product）という。

特に2,3次元空間ベクトル'''a'''と'''b'''との内積は、'''a'''と'''b'''のなす角をθとすると、
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b})=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta</math>
と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

*('''a''','''a''')=||a||<sup>2</sup>
*'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0<ref>なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。</ref>
*c('''a''','''b''')=(c'''a''','''b''')=('''a''',c'''b''')
*('''a''','''b'''+'''c''')=('''a''','''b''')+('''a''','''c''')
*('''a'''+'''b''','''c''')=('''a''','''c''')+('''b''','''c''')
*('''a''','''b''')=('''b''','''a''')
*||'''a'''||+||'''b'''||≧||'''a'''+'''b'''||（三角不等式）
*|('''a''','''b''')|≦||'''a'''||||'''b'''||(シュワルツの不等式）

<references/>

'''演習'''

空間ベクトル
:<math>\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 1\\
 1\\
 1\\
\end{pmatrix}</math>
とのなす角が<math>\pi\over6</math>であり、かつ
:<math>\mathbf{y}=
\begin{pmatrix}
 1\\
 1\\
 4\\
\end{pmatrix}</math>
とのなす角が<math>\pi\over4</math>であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

==<math>\R,\Complex</math> 上の線型空間でのノルム・内積==
次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
===定義===
<math>\ V</math>を<math>\R </math>または<math>\Complex</math>上の線型空間とする。（以下、<math>\mathbf K</math> は一般の体ではなく、実数体 <math>\R </math>または複素数体 <math>\Complex</math>を指すことにする ）

<math> \mathbf x,\mathbf y \in \ V </math> に対して、<math> \mathbf K </math> の元をかえすような演算<math> (\mathbf x, \mathbf y)</math>が次の'''（Ⅰ）'''～'''（Ⅳ）'''の性質をみたすとき、<math> (\mathbf x, \mathbf y)</math>を'''内積'''という。

;（Ⅰ）<math>(\mathbf x,\mathbf y_1 + \mathbf y_2) = (\mathbf x,\mathbf y_1) + (\mathbf x,\mathbf y_2)</math>  :<math>(\mathbf x_1 +\mathbf x_2, \mathbf y) = (\mathbf x_1,\mathbf y) + (\mathbf x_2,\mathbf y) </math>

;（Ⅱ）<math>(c\mathbf x,\mathbf y) = c(\mathbf x,\mathbf y)  ,(\mathbf x,c\mathbf y) = \bar c(\mathbf x,\mathbf y) </math> :（<math>\bar c </math>は<math>\ c</math> の複素共役）

;（Ⅲ）<math>(\mathbf x,\mathbf y) = \overline {(\mathbf y,\mathbf x)} </math>

;（Ⅳ）<math>(\mathbf x, \mathbf x) \geq 0 </math> :<math>(\mathbf x,\mathbf x) = 0 </math> が成り立つのは、<math>\mathbf x = \mathbf 0 </math> のときに限る。

また、
:<math>|| \mathbf x || = \sqrt{(\mathbf x ,\mathbf x)}</math>
で定義される量を'''x'''の'''ノルム'''という。

このように、内積が定義された線型空間を'''計量ベクトル空間'''（'''計量線型空間'''）という。

===例===
１．<math> \ V = \Complex^n ,\mathbf x,\mathbf y \in \Complex^n</math> のとき、
:<math> (\mathbf x,\mathbf y) = \sum^{n}_{i=1} x_i\bar y_i </math>
とすれば、これは内積になっている。

２．<math>\ V = \ M(m,n;\R) ,\ A,\ B \in \ M(m,n;\R)</math>　のとき、
:<math>(\ A,\ B) = \ Tr(^tA \ B)</math>
とすれば、これは内積になっている。（Trについては[[線型代数学/行列概論#その他|行列概論]]を参照）

３．<math>\ V = </math>{<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数} ,<math>\ f(x),\ g(x)</math> は<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数のとき、
:<math>(\ f(x),\ g(x)) = \int^{1}_{0} f(x)g(x) dx </math>
とすれば、これは内積になっている。

===三角不等式・シュワルツの不等式===
ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

''定理''　<math>\forall \mathbf x,\forall \mathbf y \in \ V </math> に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１）<math> |(\mathbf x,\mathbf y)| \leq ||\mathbf x|| \cdot ||\mathbf y|| </math>（シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、<math>\mathbf x = \alpha \mathbf y</math>と書ける場合のみ。

（２）<math>|| \mathbf x + \mathbf y || \leq || \mathbf x || + || \mathbf y || </math>

等号が成り立つのは、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\mathbf y = \beta \mathbf x </math> と書ける場合のみ。

（証明）（１）<math>\ a,b \in \mathbf K </math>　とすると
:<math> 0 \leq ||a\mathbf x + b\mathbf y||^2 = (a\mathbf x + b\mathbf y,a\mathbf x + b\mathbf y) = |a|^2||\mathbf x||^2 + a\bar b(\mathbf x,\mathbf y) + \bar a b(\mathbf y,\mathbf x) + |b|^2||\mathbf y||^2 </math>
ここで、<math>\ a = ||\mathbf y||^2 ,\ b = -(\mathbf x,\mathbf y)</math> とおけば、
:<math>\begin{align} 0 & \leq ||\mathbf y ||^4 ||\mathbf x||^2 - ||\mathbf y||^2 \overline{(\mathbf x,\mathbf y)} (\mathbf x,\mathbf y) - ||\mathbf y||^2 (\mathbf x,\mathbf y)\overline{(\mathbf x,\mathbf y)} + |(\mathbf x,\mathbf y)|^2||\mathbf y||^2 \\ &= ||\mathbf y||^2(||\mathbf x||^2||\mathbf y||^2- |(\mathbf x,\mathbf y)|^2)\\ \end{align}</math>

両辺を　<math> ||\mathbf y||^2 </math> で割り、正の平方根をとれば、

<math> |(\mathbf x,\mathbf y)| \leq ||\mathbf x|| \cdot ||\mathbf y|| </math>　　となる。

等号が成り立つのは、<math> 0 = ||a\mathbf x + b\mathbf y||^2 </math>  すなわち、<math>\mathbf 0 = a\mathbf x + b\mathbf y </math> となるときだから、<math>\mathbf x = \alpha \mathbf y</math>　と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

（２）<math>\begin{align} ||\mathbf x + \mathbf y||^2  = (\mathbf x + \mathbf y,\mathbf x + \mathbf y) & = ||\mathbf x||^2 + (\mathbf x, \mathbf y) + (\mathbf y,\mathbf x) + ||\mathbf y||^2\\  &  \leq  ||\mathbf x||^2 + 2|(\mathbf x, \mathbf y)|+ ||\mathbf y||^2 \\
                                                                               & \leq ||\mathbf x||^2 + 2||\mathbf x|| ||\mathbf y|| + ||\mathbf y||^2 \\&= (||\mathbf x + \mathbf y||)^2\\ \end{align}</math>

したがって、正の平方根をとれば　<math>|| \mathbf x + \mathbf y || \leq || \mathbf x || + || \mathbf y || </math>　となる。

1つ目の等号は <math> (\mathbf x, \mathbf y) </math> が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　<math>\mathbf x = \alpha \mathbf y</math>　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\mathbf y = \beta \mathbf x </math> と書けるときのみ等号が成立する□

==基底の直交化==

==== 正規直交系 ====
計量ベクトル空間<math>V</math>のベクトル<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、<math>(x_i,x_j) = \begin{cases} 1& (i=j) \\0 & (i\neq j) \end{cases}</math>であるとき、ベクトル<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>は'''正規直交系'''(orthonormal system)であるという。'''ONS'''とも表される。

==== 正規直交基底 ====
計量ベクトル空間<math>V</math>の正規直交系<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>が、<math>\left \langle x_1,x_2,\cdots,x_n \right \rangle = V</math>であるとき、<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>は、'''正規直交基底'''(orthonormal basis)または、'''完全正規直交系'''(complete orthonormal system)であるという。'''CONS'''とも表される。

==== グラム・シュミットの直交化法 ====
[[ファイル:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|サムネイル|グラム・シュミットの直交化法のイメージ]]
計量ベクトル空間<math>V</math>の線形独立なベクトル<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>を使って正規直交系を作ることができる。

<math>\begin{align}
\boldsymbol u_1 &= \boldsymbol v_1
\\
\boldsymbol u_2 &= \boldsymbol v_2 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_2)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
\\
\boldsymbol u_3 &= \boldsymbol v_3 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)}\boldsymbol u_1 - \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
\\
&\vdots
\\
\boldsymbol u_n &= \boldsymbol v_n - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
- \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
- \dotsb - \frac{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol u_{n-1})} \boldsymbol u_{n-1}\\
\end{align}</math>

とすると、<math>u_1,u_2,\cdots,u_n</math>は互いに直行するベクトルとなる。

<math>e_i = \frac{u_i}{||u_i||}</math>とすると、<math>e_1,e_2,\cdots,e_n</math>は正規直交系となる。

これを'''グラム・シュミットの直交化法'''(Gram–Schmidt orthonormalization)という。

==種々の特徴的な変換==
===随伴変換===
===ユニタリ変換と直交変換===
===エルミート変換と対称変換===

[[Category:線形代数学|けいりようへくとるくうかん]]