線型代数学/行列の対角化のソースを表示

''n'' 次正方行列 ''A'' があるとします。 ''n'' 次正則行列 ''P'' を上手くとって、 ''P'' とその逆行列とをそれぞれ右と左から掛けて（このようにサンドイッチにすることを相似変換といいます）、
: <math> P^{-1} A P = D </math>
のように ''n'' 次対角行列 ''D'' にすることを、行列 ''A'' の'''対角化'''といいます。対角化はできる場合とできない場合があるので、できる場合を'''対角化可能'''といいます。後に理由が明らかになりますが、対角化のことを'''固有値分解'''とも言います。対角化は固有値と非常に深い関係があるのです。

== 対角化可能であるための必要十分条件 ==
定義式を成分で表示してみると、
: <math>P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
  \lambda_1 &         0 &  \dots &         0 \\
          0 & \lambda_2 &  \dots &         0 \\
     \vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\
          0 &         0 &  \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}</math>

両辺に左から''P''を掛けると:

: <math>AP = P\begin{pmatrix}
  \lambda_1 &         0 &  \dots &         0 \\
          0 & \lambda_2 &  \dots &         0 \\
     \vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\
          0 &         0 &  \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}</math>

ここで、''P''を列ベクトル <math>\vec{\alpha}_{i}</math> を並べて表記すると

:<math>P = \begin{pmatrix}\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2 & \cdots & \vec{\alpha}_n\end{pmatrix}</math>

となるので、定義式は次のように書き直すことができます。

:<math>A\vec{\alpha}_i = \lambda_i\vec{\alpha}_i\qquad(i=1,2,\cdots,n)</math>

つまり、''P'' の構成する各列ベクトルは ''A''の'''固有ベクトル'''であり、対応する対角成分はその固有ベクトルに対応する'''固有値'''になっているのです。

行列 ''P'' が正則であることは、これらの固有ベクトルが線形独立である（＝ ''n''次元ベクトル空間の基底になっている）ことを意味します（「行列のランク」で習ったことを思い出しましょう）。

ここまでの議論は完全に逆向きにたどることができます。つまり、 '''行列''A''の固有ベクトルだけで ''n'' 次元ベクトル空間の基底が構成できる'''ならば、それら縦ベクトルを横に並べた行列 ''P'' は正則行列となり、
: <math> P^{-1} A P = D </math>
が成り立ち、 ''D'' の対角成分には ''A'' の固有値が並ぶのです。

これが対角化できるためのひとつの必要十分条件です。同時に、実際に対角化を行うための手順にもなっています。

== 計算例 ==
次の行列は対角化可能かどうか判断し、可能な場合は対角化しなさい。
:<math>A=\begin{pmatrix}
 1& 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{pmatrix}</math>

固有値と固有ベクトルを計算すると、

:<math> \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1 </math>
:<math>v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>

固有ベクトルを並べた

:<math>P= \begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math>

の行列式は0でないため、これを使って'''対角化できます'''。実際に計算すると、

:<math>P^{-1}AP =
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0  & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math>
:<math>=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

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