線型代数学/行列と行列式/第三類/行列の定義・和・差のソースを表示

線形代数では、行列と呼ばれるものを扱う．

数字を長方形の形に並べて括弧で括ったものを行列という．
横に並んだ数の並びを行と呼び，上から第 1 行，第 2 行，<math>\cdots</math>，
縦に並んだ数の並びを列と呼び，左から第 1 列，第 2 列，<math>\cdots</math> と数える．
<math>m</math> × <math>n</math> の長方形に並んだものを，<math>m</math> 行 <math>n</math> 列の行列，
または <math>(m, n)</math> 型行列という．

<math>n</math> 元列ベクトルは <math>(n, 1)</math> 型行列，
<math>n</math> 元行ベクトルは <math>(1, n)</math> 型行列とみなすことができる．

例えば <math>(3, 4)</math> 型行列があって、その第 2 行、第 3 列に書かれている数が <math>4</math> であるとき、
これを <math>(2, 3)</math> 成分が <math>4</math> であると表現する．

縦と横に並んだ数の個数が等しいとき，つまり正方形の形に並ぶとき，正方行列という．
<math>(n, n)</math> 型の正方行列を <strong><math>n</math> 次正方行列</strong> という．
正方行列において，<math>(1, 1), (2, 2), (3, 3), \cdots</math> の成分を<strong>対角成分</strong>という．
対角成分以外の成分が <math>0</math> である行列を <strong>対角行列</strong> という．
成分が <math>0</math> のところは書かないで済ます場合もある．

ベクトルを一つの文字で置いたように，行列も一つの文字で置いて表す．
<math>A, B</math> など大文字で置かれるのが通例である．

同じ型の行列に対して，和，差を計算することができる．
たとえば，
<math>A = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
,
B=
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
</math> のとき，

<math>A + B = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 + 1   & 3 + (-2) \\
      2 + (-3) & -1 + 5
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      -3  & 1 \\
      -1  & 4
    \end{array}
  \right)
</math>


<math>A - B = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 & 3 \\
      2  & -1
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      -4 - 1   & 3 - (-2) \\
      2 - (-3) & -1 - 5
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      -5  & 5 \\
      5  & -6
    \end{array}
  \right)
</math>

というように，成分ごとに和，差を取る．また行列の実数倍は，

<math>3A = 3
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      3\cdot(-4) & 3\cdot3 \\
      3\cdot2    & 3\cdot(-1)
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      -12 & 9 \\
      6   & -3
    \end{array}
  \right)
</math>

というように，各成分を定数倍して求める．
行列の和，差，実数倍はベクトルと同じようにして計算するわけである．
すべての成分が <math>0</math> の行列を<strong>零行列</strong> といい <strong><math>O</math></strong> で表す．

この行列の演算（和，差，実数倍）について，行列を文字で表すと次のような計算法則が成り立つ．


<!-- th:006:start -->
<strong>定理6</strong>
<strong>行列の計算法則</strong>

<math>A, B, C</math> を同じ型の行列，<math>k, l</math> を実数とすると次が成り立つ．

(1) <math>(A + B) + C = A + (B + C)</math><br />
(2) <math>A + B = B + A</math><br />
(3) <math>k(A + B) = kA + kB</math><br />
(4) <math>(k + l)A = kA + lA</math><br />
(5) <math>(kl)A = k(lA)</math><br />

これらが成り立つことは，ベクトルの計算法則から容易に想像がつくだろう．
ベクトルであっても行列であっても，和は成分どうしの和，実数倍は成分ごとの実数倍だからである．

<math>\blacksquare</math>
<!-- th:006end -->


計算問題をしてみよう．

<!-- ex:004:start-->
<div id="ex:4">
<strong>演習4.</strong><math>\quad</math>

<math>A=
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right), B=
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
</math> のとき，<math>2A-B-(3A-2B)</math> を求めよ．


<strong>解答例</strong>

与式に直接代入してもかまわないが，せっかく計算法則があるのだから，同類項をまとめてから代入する．

<math>2A-B-(3A-2B) = 2A - B - 3A + 2B = -A + B</math><br />
<math>=-
\left(
    \begin{array}{c}
      -4  & 3 \\
      2   & -1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      1  & -2 \\
      -3 & 5
    \end{array}
  \right)
</math><br />
<math>=
\left(
    \begin{array}{c}
      -(-4) + 1  & 3 - 2 \\
      -2-3   & -(-1)+5
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      5  & 1 \\
      -5 & 6
    \end{array}
  \right)
</math>

<math>\blacksquare</math>
<!-- ex:004:end-->

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