線型代数学/行列と行列式/第三類/外積のソースを表示


内積があるのなら外積があってもいいのでは，と思っている人もいることだろう．
単に「外積」と呼ばれることもある，3次元実数ベクトルについての外積，すなわち「ベクトル積」を紹介する．

<!-- def:003:start -->
<strong>定義3</strong>
<strong>外積</strong>

<math>R^3</math>のベクトル <math>\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
</math>
に関して、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> を次で定める．

<math>\vec{a} \times \vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)
</math>

[[File:Example.jpg|border|]]

ベクトル積は 3 次元ベクトルの場合のみについて定義される演算である。

定義のとおりだが、実際の計算は図に示したように第 1 成分を下に付け加え，
×の形に積を取り，使っていない成分に押し込むという感じで技化しておくとよい．

ベクトル積に関して次の計算法則が成り立つ．
交換法則が成り立たないことに注意する．
<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> で <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> を入れ替えると，符号が逆になる．


<!-- th:004:start -->
<strong>定理4</strong>
<strong>ベクトル積の計算法則</strong>

(1) <math> \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})</math>

(2) <math>k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})</math>

(3) <math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>

(4) <math>(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math>

<strong>証明</strong>

(1)

<math>\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
</math> にて <math>\vec{b} \times \vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      yc-zb \\
      za-xc \\
      xb-ya
    \end{array}
  \right)
=
 \left(
    \begin{array}{c}
      -(bz-cy) \\
      -(cx-az) \\
      -(ay-bx)
    \end{array}
  \right)
= -
 \left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)
= -\vec{a} \times \vec{b}</math>．

(2)

<math>k(\vec{a} \times \vec{b}) =
  \left(
    \begin{array}{c}
      k(bz-cy) \\
      k(cx-az) \\
      k(ay-bx)
    \end{array}
  \right)
=
 \left(
    \begin{array}{c}
      kbz-kcy \\
      kcx-kaz \\
      kay-kbx
    \end{array}
  \right)
=
 \left(
    \begin{array}{c}
      (kb)z-(kc)y \\
      (kc)x-(ka)z \\
      (ka)y-(kb)x
    \end{array}
  \right)
=
(k\vec{a}) \times \vec{b}</math>．

同様に
<math>k(\vec{a} \times \vec{b}) =
 \left(
    \begin{array}{c}
      kbz-kcy \\
      kcx-kaz \\
      kay-kbx
    \end{array}
  \right)
=
 \left(
    \begin{array}{c}
      b(kz)-c(ky) \\
      c(kx)-a(kz) \\
      a(ky)-b(kx)
    \end{array}
  \right)
= \vec{a} \times (k\vec{b})</math>．


(3)

<math>\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2 \\
      a_3
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\vec{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      b_2 \\
      b_3
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\vec{c} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      c_1 \\
      c_2 \\
      c_3
    \end{array}
  \right)
</math> にて


<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) =
\left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2 \\
      a_3
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
      b_1 + c_1 \\
      b_2 + c_2 \\
      b_3 + c_3
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 + c_2) \\
      a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 + c_3) \\
      a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 + c_1)
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 \\
      a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 \\
      a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1
    \end{array}
  \right)</math>


<math>=
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 - a_3b_2 + a_2c_3  - a_3c_2 \\
      a_3b_1 - a_1b_3 + a_3c_1  - a_1c_3 \\
      a_1b_2 - a_2b_1 + a_1c_2  - a_2c_1
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2b_3 - a_3b_2 \\
      a_3b_1 - a_1b_3 \\
      a_1b_2 - a_2b_1
    \end{array}
  \right)
+
\left(
    \begin{array}{c}
      a_2c_3  - a_3c_2 \\
      a_3c_1  - a_1c_3 \\
      a_1c_2  - a_2c_1
    \end{array}
  \right)
= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>．

 
(4)

<math>
(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}
= - \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})
= - (\vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b})
= - ( -\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c} )
= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}
</math>

<math>\blacksquare</math>
<!-- th:004:end -->


2次元ベクトル，3次元ベクトルの内積は，図形的な解釈が可能であった．
ベクトル積が図形的には何を表しているかを紹介する．


<!-- th:005:start -->
<strong>定理5</strong>
<strong>ベクトル積の意味</strong>

(1)
<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> は，<math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math> の両方と直交する．

(2)
<math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> が張る平行四辺形の面積 <math>S</math> は，<math>S = |\vec{a} \times \vec{b}|</math>

(3)
<math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math>，<math>\vec{c}</math> が張る平行六面体の体積 <math>V</math> は，<math>V = |(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}|</math>

<strong>証明</strong>

<math>\vec{a} = \vec{OA} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)
</math>，
<math>\vec{b} = \vec{OB} =
\left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)
</math>
とする．

(1)

<math>\vec{a}</math> と <math>\vec{a} \times \vec{b}</math> の内積をとる．


<math>\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 
\left(
    \begin{array}{c}
      a \\
      b \\
      c
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right)
= a(bz - cy) + b(cx - az) + c(ay - bx)
= abz -acy + bcx -abz +acy - bcx</math><br />
<math>= {\cancel{\color{red}abz}} - {\cancel{\color{blue} acy}} + \cancel{\color{green} bcx} - {\cancel{\color{red}abz}} + {\cancel{\color{blue}acy}} - \cancel{\color{green}bcx}
= 0</math>．

同様に

<math>\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 
\left(
    \begin{array}{c}
      x \\
      y \\
      z
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right)
= x(bz - cy) + y(cx - az) + z(ay - bx) = bxz - cxy + cxy - ayz + ayz - bxz</math><br />
<math>= \cancel{\color{red}bxz} - \cancel{\color{blue}cxy} + \cancel{\color{blue}cxy} - \cancel{\color{green}ayz} + \cancel{\color{green}ayz} - \cancel{\color{red}bxz}
= 0</math>．

よって，<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> は <math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math> の両方と直交する．


(2)

<math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math> のなす角を <math>\theta</math> とすると，内積の性質より，

<math>|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \vec{a}\cdot\vec{b} = ax + by + cz</math>

<math>\mathrm{OA}</math> を底辺としたときの <math>\mathrm{B}</math> の高さを <math>h</math> とすると，

<math>S = \mathrm{OA} \times h = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta(\because h =  |\vec{b}|\sin\theta)</math>


と表されるので，


<math>S^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2 \theta)

= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta</math>

<math>|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta = (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = (ax + by + cz)^2</math>，また <math>|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)</math> だから，

<math>S^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (ax + by + cz)^2</math>
 

<math>= a^2x^2 + a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + b^2y^2 + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 + c^2z^2 - ( a^2x^2 + abxy + acxz + abxy + b^2y^2 + bcyz + acxz + bcyz + c^2z^2)</math><br />

<math>= {\cancel{\color{red}a^2x^2}} + a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + {\cancel{\color{blue}b^2y^2}} + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 + {\cancel{\color{green}c^2z^2}} - ( {\cancel{\color{red}a^2x^2}} + abxy + acxz + abxy + {\cancel{\color{blue}b^2y^2}} + bcyz + acxz + bcyz + {\cancel{\color{green}c^2z^2}})</math><br />

<math>= {\color{red}a^2y^2} + {\color{blue}a^2z^2} + {\color{red}b^2x^2} + {\color{green}b^2z^2} + {\color{blue}c^2x^2} + {\color{green}c^2y^2} - ({\color{red}abxy} + {\color{blue}acxz} + {\color{red}abxy} + {\color{green}bcyz} + {\color{blue}acxz} + {\color{green}bcyz})</math><br />

<math>= (b^2z^2 -2bcyz + c^2y^2) + (c^2x^2 - 2acxz + a^2z^2) + (a^2y^2 -2abxy + b^2x^2)</math>

<math>=(bz-cy)^2 + (cx - az)^2 + (ay - bx)^2</math>

<math>=|\vec{a} \times \vec{b}|^2</math>


なぜならば <math>|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (\vec{a} \times \vec{b})\cdot(\vec{a} \times \vec{b}) =
\left(
    \begin{array}{c}
      bz-cy \\
      cx-az \\
      ay-bx
    \end{array}
  \right)\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
      bz - cy \\
      cx - az \\
      ay - bx
    \end{array}
  \right) = (bz-cy)^2 + (cx - az)^2 + (ay - bx)^2
</math>

よって，<math>S = |\vec{a} \times \vec{b}|</math>


(3)
<math>\vec{c} = \mathrm{OC}</math> とする．
<math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math> が張る平面を平行四辺形の底面としてみたときの
<math>\mathrm{C}</math> の高さを <math>l</math>，
<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> のなす角を <math>\varphi</math>
とすると，

<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> は <math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math> が張る平行四辺形に垂直なので，

<math>l = |\mathrm{OC} \cos \varphi | = |\vec{c}| \cdot |\cos \varphi|</math> だから，

<math>V = Sl = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot |\cos \varphi|

= \left | |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos \varphi \right |

= \left |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \right | </math>．

<math>\blacksquare</math>
<!-- th:005:end -->


<!-- ex:001:start-->
<div id="ex:1">
<strong>演習1.</strong><math>\quad</math>

<math>\vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      -3 \\
      2
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      2 \\
      -2 \\
      3
    \end{array}
  \right)
</math>
， 
<math>\vec{c} = 
\left(
    \begin{array}{c}
      -1 \\
      -1 \\
      0
    \end{array}
  \right)
</math>
のとき，

(1)
<math>\vec{a} \times \vec{b}, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> を求めよ．

(2)
<math>\vec{a}, \vec{b}</math> の両方と直交する単位ベクトルを求めよ．

(3)
<math>\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}, \vec{\mathrm{OC}} = \vec{c}</math> とするとき，三角錐 <math>\mathrm{O-ABC}</math> の体積を求めよ．

<strong>解答例</strong>

(1)
<math>\vec{a} \times \vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       1 \\
      -3 \\
       2
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
       2 \\
      -2 \\
       3
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
       (-3) \cdot 3 - 2 \cdot (-2) \\
       2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\
       1 \cdot(-2) - (-3) \cdot 2
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
</math>．

<math>(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} =
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       -1 \\
       -1 \\
       0
    \end{array}
  \right)
= -5\cdot(-1) + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 0
= 4
</math>.

(2)
<math>\vec{a} \times \vec{b}</math> は <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> に垂直なので，<math>\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b}</math> を単位化する.

<math>\pm \frac{1}{|\vec{d}|} \vec{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 4^2}}</math>
<math>
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
= \pm \frac{1}{\sqrt{42}}
\left(
    \begin{array}{c}
       -5 \\
       1 \\
       4
    \end{array}
  \right)
</math>．(解となるベクトルは二つ）

(3)
<math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> が張る平行六面体の体積 <math>V</math> は，

<math>V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = |4| = 4</math>

<math>\vec{a}, \vec{b}</math> が張る平行四辺形の面積を <math>S</math>，<math>\vec{a}, \vec{b}</math> が張る平行四辺形を底面として見たときの平行六面体の高さを <math>h</math> とすると <math>V = Sh</math> であり，

（三角錐 <math>\mathrm{O-ABC}</math> の体積）<math> = \frac{1}{3} \left ( \frac{1}{2} S \right) h = \frac{1}{6}V = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}</math>． 

<math>\blacksquare</math>
<!-- ex:001:end-->

[[カテゴリ:線形代数学]]