線型代数学/行列と行列式/第三類/内積のソースを表示

中等課程では，<math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> の内積 <math>\vec{a} \cdot \vec{b}</math> を，
矢印ベクトル <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> のなす角を <math>\theta</math> として，
:<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta</math>
と定義した．
これは平面ベクトルの場合でも，空間ベクトルの場合でもそうだった．
また，この式が成分計算では成分ごとの積の和に等しいこと（例えば，
<math>
\vec{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      a_2
    \end{array}
  \right)
,
\vec{b} = \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      b_2
    \end{array}
  \right)
</math> であれば，<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2</math>）を、余弦定理などにより示した<ref>
平面上の三角形 <math>\bigtriangleup OAB, A \ne B</math> において，<math>\vec{OA}</math> と <math>\vec{OB}</math> の成す角を <math>\theta</math> と置くとき，<br />
<math>\vec{OA}</math> と <math>\vec{OB}</math> の内積を <math>\vec{OA}\cdot\vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta</math> …① と定義する．<br />
このとき余弦定理により <math>|\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 +  |\vec{OB}|^2 - 2|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta</math>…②<br />
また，<math>\vec{OA}</math> の成分表示を <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y\end{pmatrix}</math>，同様に <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y\end{pmatrix}</math><br />
とすれば，①②をもとに内積 <math>\vec{OA}\cdot\vec{OB} = a_xb_x + a_yb_y</math> であることを以下に示す．すなわち <br /><br />
①②より <br />
<math>|\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OA}\cdot\vec{OB}</math><br />
<math>\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \frac{1}{2}\left( |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - |\vec{AB}|^2 \right)</math>…③<br />
ここで③の右辺の <math>|\vec{OA}|^2, |\vec{OB}|^2, |\vec{AB}|^2</math> を成分表示に展開すると、<br />
<math>|\vec{OA}|^2 = a_x^2 + a_y^2,\ \  |\vec{OB}|^2 = b_x^2 + b_y^2,\ \  |\vec{AB}|^2 = (a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2</math><br />
すなわち、<br />
<math>\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \frac{1}{2}\left\{ a_x^2 + a_y^2 +  b_x^2 + b_y^2 -  (a_x - b_x)^2 - (a_y - b_y)^2 \right\}</math><br />
<math>= \frac{1}{2}\left\{ a_x^2 + a_y^2 +  b_x^2 + b_y^2 - ( a_x^2 + b_x^2 - 2a_xb_x + a_y^2 + b_y^2 - 2a_yb_y ) \right\}</math><br />
<math>= \frac{1}{2}\left\{ {\cancel{a_x^2}} + \cancel{a_y^2} +  \cancel{b_x^2} + \cancel{b_y^2} - (\cancel{a_x^2} + \cancel{b_x^2} - 2a_xb_x + \cancel{a_y^2} + \cancel{b_y^2} - 2a_yb_y ) \right\}</math><br />
<math>= a_xb_x + a_yb_y</math><br />
<br />
</ref>．

線形代数では，成分計算の定義の方が先になる．成分で定義しておけば，次元が <math>4</math> 次以上のときベクトルのなす角のことを想像しなくても済む．


<!-- def:002:start -->
<strong>定義2</strong>
<strong>内積と大きさ</strong>

<math>n</math> 次元実数ベクトル <math>\mathbf{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      \vdots \\
      a_n
    \end{array}
  \right)
</math>
，
<math>\mathbf{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      \vdots \\
      b_n
    \end{array}
  \right)
</math>
に関して、内積、大きさを次のように定める．

内積 <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}</math> は，<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 
 \left(
    \begin{array}{c}
      a_1 \\
      \vdots \\
      a_n
    \end{array}
  \right)
\cdot
 \left(
    \begin{array}{c}
      b_1 \\
      \vdots \\
      b_n
    \end{array}
  \right)
= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n</math>．…①

<math>\mathbf{a}</math> の大きさ <math>|\mathbf{a}|</math> は，
<math>|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2}</math>．…②

すると，<math>|\mathbf{a}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}</math> が成り立つ．…③

また，<math>\mathbf{a} \ne 0, \mathbf{b} \ne 0</math> である <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math> について，<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0</math>
のとき，「<math>\mathbf{a}</math> と <math>\mathbf{b}</math> は直交する」といい，「<math>\mathbf{a} \bot \mathbf{b}</math>」と書く．

<math>\blacksquare</math>
<!-- def:002:end -->

<math>n = 2, 3</math> のとき，<math>\vec{a}</math> の大きさ <math>|\vec{a}|</math> は，矢印ベクトルで言えば始点から終点までの長さを表していた．
<math>n</math> が <math>4</math> 以上の場合もこれに倣って，同じような成分計算で表された <math>|\mathbf{a}|</math> を大きさというわけである．


こうして定義した内積に関して，次のような計算法則が成り立つ．これも平面ベクトル・空間ベクトルでの経験から納得してもらえるだろう．


<!-- th:002:start -->
<strong>定理2</strong>
<strong>内積の計算法則</strong>

<math>n</math> 次元ベクトル <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> と実数 <math>k</math> に関して次が成り立つ． 

(1) <math>(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})</math>

(2) <math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}</math>

(3) <math>(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}</math>

<strong>証明</strong>

(1) の証明．<math>(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n (ka_i)b_i,\quad k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = k \sum_{i=1}^n a_ib_i,\quad \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b}) = \sum_{i=1}^n a_i(kb_i)</math>．そして <math> \sum_{i=1}^n (ka_i)b_i =  k \sum_{i=1}^n a_ib_i =  \sum_{i=1}^n a_i(kb_i)</math> より <math>(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})</math>．

(2)の証明．<math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \sum_{i=1}^n a_i(b_i + c_i) = \sum_{i=1}^n (a_ib_i + a_ic_i) = \sum_{i=1}^n a_ib_i + \sum_{i=1}^n a_ic_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}</math>．

(3)の証明．<math>(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)c_i = \sum_{i=1}^n (a_ic_i + b_ic_i) = \sum_{i=1}^n a_ic_i + \sum_{i=1}^n b_ic_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}</math>．

<math>\blacksquare</math>
<!-- th:002end -->

<math>0</math> でないベクトル <math>\mathbf{a}</math> をその大きさで割ったベクトル <math>\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}</math> は，大きさが <math>1</math> になる．

:<math>\left| \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a} \right|^2 = \left( \frac{1}{ |\mathbf{a}| } \mathbf{a} \right) \cdot \left( \frac{1}{ |\mathbf{a}| } \mathbf{a} \right)</math><ref>
<math>(\because </math> 定義2③<math>)</math></ref><math>= \frac{1}{|\mathbf{a}|^2}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})</math><ref>
<math>\left( \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a} \right) \cdot \left( \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a} \right) = \frac{1}{|\mathbf{a}|} \left(\mathbf{a} \cdot \left( \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a} \right) \right) (\because </math>定理2(1)第1項と第2項 <math>)</math>
<math>= \frac{1}{|\mathbf{a}|} \left( \frac{1}{|\mathbf{a}|} \left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \right) \right)(\because </math>定理2(1)第2項と第3項<math>)</math>
<math>= \frac{1}{|\mathbf{a}|^2}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})</math>（式の整理）
</ref><math>=\frac{1}{|\mathbf{a}|^2}|\mathbf{a}|^2 = 1</math>

:<math>\therefore \left| \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a} \right| = 1</math>


<math>\pm \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}</math> のことを'''単位化'''したベクトル，あるいは'''正規化'''したベクトルという．

平面ベクトルと空間ベクトルでの内積の定義は <math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta</math> であった．
ここで，定義よりも突っ込んだ内積の図形的な意味を確認しておく．

<math>\vec{a}=\mathrm{OA}, \vec{v}=\mathrm{OB}</math> として図を描く．
<math>\mathrm{A}</math> から 直線 <math>\mathrm{B}</math> に下ろした垂線の足を <math>\mathrm{H}</math> とする．
<math>\mathrm{OB}</math> を左回りに回転して <math>\mathrm{OA}</math> に重なる角を <math>\theta</math> とする．<ref>
「<math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> とのなす角を <math>\theta</math> とする」をより正確に記述した．
</ref>

<math>\mathrm{OB}</math> に数直線<ref>「目盛りがついたものさし」のイメージである．</ref>を重ね合わせ，
<math>\mathrm{O}</math> に数値 <math>0</math> を割り当て目盛りを振ると，<math>\mathrm{H}</math> の目盛りは三角関数の定義から、
<math>\mathrm{OA}\cos\theta</math> となる．

[[File:Example.jpg|border|]] [[File:Example.jpg|border|]]

内積の式は，

:<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = (|a|(\cos\theta)|\vec{b}| = (\mathrm{OA}\cos\theta)\mathrm{OB} = (\mathrm{H}</math> の目盛り <math>) \times \mathrm{OB}</math>

と見なすことができる．

特に <math>\vec{b}</math> が単位ベクトル <math>\vec{e}</math> のときを考える．<math>\vec{b}</math> をあらためて <math>\vec{e}</math> とおく．

<math>\mathrm{OB} = |\vec{b}| = |\vec{e}| = 1</math> だから <math>\vec{a}\cdot\vec{e}</math> は <math>\mathrm{H}</math> の目盛りを表すことになる．
<math>\vec{a}</math> と単位ベクトル <math>\vec{e}</math> との内積は <math>\vec{a}</math> の <math>\vec{e}</math> 方向の成分を表している．


<!-- th:003:start -->
<strong>定理3</strong>
<strong><math>\vec{a}\cdot\vec{b}</math> の意味</strong>

<math>\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \quad \vec{\mathrm{OB}} = \vec{e}, \quad \vec{e}</math> は単位ベクトルとする．直線 <math>\mathrm{OB}</math> に重ねた数直線に <math>\mathrm{A}</math> から下ろした垂線の足を <math>\mathrm{H}</math> とすると、 

:<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = (\mathrm{H}</math> の目盛り）

<strong>証明</strong>
すでに記述した．

<math>\blacksquare</math>
<!-- th:003end -->



<references />

[[カテゴリ:線形代数学]]