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== 線型方程式 ==

線型方程式（連立1次方程式）とは、<math> a_{i,j},b_i \in \mathbf K (1 \leq i \leq m,1 \leq j \leq n)  </math> を用いて

:<math>\begin{cases}
a _{1,1}x _1 + \cdots + a _{1,n}x _n = b _1 \\
\vdots \\
a _{m,1}x _1 + \cdots + a _{m,n}x _n = b _m 
\end{cases}</math>

で表わされる方程式である。

上の連立方程式は、
:<math>
A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ 
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 a_{m,1} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} , 
x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} , 
b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}</math>
とおけば
<math>
\ Ax = b
</math>
と行列を用いて書ける。

仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、
この式の一般解は、
<math>
\ x = A^{-1} b
</math>
となる。

しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ（正しくは線形結合）として表わされることもある。

この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。

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