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==基底==
===定義===
<math>\ V </math> を'''K'''上のベクトル空間とする。

<math> <\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n> ,\mathbf e_i \in \ V   (1 \leq i \leq n)</math> が次の２つをみたすとき、
<math> <\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n> </math>は<math>\ V </math> の基底であるという。

１）<math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n </math>　は線型独立。

２）任意の<math>\ V </math>の元は　<math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n </math>　の線型結合で表わされる。

つまり一言でいえば、'''任意の<math>\ V </math>の元は　<math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n </math>　の線型結合によって一意的に表わされる'''、ということである。

===例===
<math>\R^3 </math> を考えてみよう。

このとき、<math>\mathbf e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\mathbf e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}
,\mathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} </math>

は<math>\R^3 </math>　の基底となっている。また、

<math>\mathbf e_1 = \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix},\mathbf e_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}
,\mathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} </math>

などとしても<math>\R^3 </math>　の基底となっている。

このように、基底となるベクトルの組み合わせは無数に存在する。しかし、ベクトルの個数には変化がない。

このことは、次の項目「次元」と関係している。

==次元==
次の定理は次元の概念を与えてくれる。

===定理===
<math>\ V </math>を'''K'''上のベクトル空間とする。

<math> <\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n> ,\mathbf e_i \in \ V   (1 \leq i \leq n)</math> 、
<math> <\mathbf f_1,\mathbf f_2,\cdots,\mathbf f_m> ,\mathbf f_i \in \ V   (1 \leq i \leq m)</math>　がどちらも<math>\ V </math>の基底であるとする。

このとき、<math> \ m = n </math> である。

（証明）まず、次の補題を示す。

''補題''　

<math> \ A \in \ M(m,n; \mathbf K), \ B \in \ M(n,m; \mathbf K) </math>が次の2式をみたすとする。
:<math>\ AB = I_m , \ BA = I_n</math>
このとき、<math>\ m = n </math>であり、<math> \ A,B </math>は正則。

この定理から、基底をなすベクトルの個数は基底によらず不変であることがわかった。

そこで、次元を次のように定義する。

===定義===
<math>\ V </math>を'''K'''上の線型空間とする。

<math>\ V </math>の基底をなすベクトルの数 <math>\ n </math> を <math>\ V </math> の'''次元'''といい、
:<math>\ dimV = n </math>
と書く。（dimは dimensionの略）

また、有限個のベクトルで基底がつくられるとき、'''有限次元'''であるという。（そうでない場合は無限次元）

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