線型代数学/固有値と固有ベクトルのソースを表示

<small>[[線型代数学]] > 固有値と固有ベクトル　</small>
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ある線型変換 <math>\ f</math> に対して、<math>\ f(\mathbf v) = \alpha \mathbf v </math>　のような元<math>\mathbf v </math>が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような<math>\ \alpha ,\mathbf v</math>（固有値・固有ベクトル）について議論をする。
[[ファイル:Mona Lisa eigenvector grid.png|サムネイル|[[w:せん断写像|せん断写像]]と言う種類の線形写像でモナリザの絵を変換した。このとき赤のベクトルは方向を変えたが、青のベクトルは変換後も方向を変えていない。この青のベクトルが固有ベクトルである。]]
'''注意'''
ここから先の議論は全て複素数体 <math>\Complex </math> 上の議論である。

==はじめに==
本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

'''定理'''（代数学の基本定理）

複素数係数の任意のn次多項式
:<math>\ f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n </math>
は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は[[複素解析学#リウヴィルの定理]]を参照のこと。

==固有値・固有ベクトル==
まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

'''定義'''  

<math>\ V : \Complex </math> 上の線型空間、<math>\ f \in \ End(V) </math> とする。

このとき、<math> \mathbf v \in \ V (\mathbf v \neq \mathbf 0), \alpha \in \Complex </math> が
:<math>\ f(\mathbf v) = \alpha \mathbf v </math>
の関係をみたすとき、<math>\ \alpha </math> を''固有値'' （eigen value）、<math> \mathbf v </math> を''固有ベクトル'' （eigen vector）という。


では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？
まずは、<math>\Complex^n </math>の線型変換である行列について考えてみよう。

===行列の場合===
まず、固有多項式を次のように定義する。

====固有多項式====
'''定義'''
<math>A \in \ M(n,\mathbf K)</math>に対して
:<math>\Phi_A(t) = \det(A - tI_n) = \pm (t - \alpha_1)^{\nu_1}(t - \alpha_2)^{\nu_2} \cdots (t - \alpha_r)^{\nu_r}</math>
を<math>\ A</math> の''固有多項式'' （eigen polynomial）という。また、<math>\nu_i (1 \leq i \leq r)</math> を　<math>\alpha_i \in \Complex </math> の''重複度'' （multiplicity）という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。 


すると、次の定理が成り立つ。

''定理''

<math>\ \alpha </math> が固有値　<math> \Leftrightarrow \ \alpha </math> は固有多項式の根

（証明）

<math>\ A \in \ M(n;\mathbf K) </math> に対して、<math>\ \alpha \in \Complex </math> が固有値であるとする。このとき、 
:<math> \ A\mathbf x = \alpha \mathbf x </math>
をみたす、<math>\mathbf x \neq \mathbf 0</math> が存在する。

上の式を書き直すと、 <math>(\ A - \alpha I_n)\mathbf x = \mathbf 0 </math>  であるから、<math>(\ A - \alpha I_n)</math> の階数がｎより小さいということと同値である。

つまり、<math>\ \det(\ A - \alpha I_n) = 0 </math> でなければならない。

以上をまとめると、

<math>\ \alpha </math> が固有値　<math> \Longleftrightarrow (A - \alpha I_n)\mathbf x = \mathbf 0 </math> が非自明な解をもつ。 <math> \Longleftrightarrow \ rank(\ A - \alpha I_n) < n \Longleftrightarrow \det(A - \alpha I_n) = 0</math> □

==== 例 ====
[[ファイル:Eigenvectors.gif|サムネイル|行列<math>A</math>によって引き起こされる線形変換。]]
行列<math>A = \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)</math>の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列<math>A</math>の固有値と固有ベクトルを求める。

<math>|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}
=\lambda^2 -4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)</math>

なので、方程式<math>(\lambda-1)(\lambda-3)=0</math>を解いて、行列<math>A</math>の固有値は1と3である。

次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、<math>(A-\lambda I)\mathbb x = 0</math>を満たすベクトル<math>\mathbb x</math>を求めれば良い。

<math>\lambda = 1</math>に対応する固有ベクトルは、<math>A-I=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>であることから、<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0</math>を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは<math>\mathbb x = \binom{1}{-1}</math>及び、これを任意の定数倍したものである。

<math>\lambda = 3</math>に対応する固有ベクトルは、<math>A-3I= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math>であることから、<math>\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0</math>を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは<math>\mathbb x = \binom{1}{1}</math>及び、これを任意の定数倍したものである。

右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトル<math>\binom{1}{-1}</math>に平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトル<math>\binom{1}{1}</math>に平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。

次に、固有空間を以下のように定義する。

====固有空間====
'''定義'''
<math>\ A \in \ M(n;\mathbf K) </math> の<math>\alpha \in \Complex </math> に対する''固有空間'' （eigen space）とは
:<math>E(\alpha) = (\mathbf x \in \Complex^n| (A - \alpha I_n)\mathbf x = \mathbf 0) = \ker(A - \alpha I_n) </math>
で表わされる部分空間のことである。


この定義から明らかなように、

<math>\ \alpha </math> が固有値　<math> \Longleftrightarrow \ E(\alpha) </math> は<math>\mathbf 0</math> でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル

である。

===一般の線型変換の場合===
<math>\ V : \Complex </math> 上の線型空間、<math><\mathbf e_1,\cdots ,\mathbf e_n> </math> を<math>\ V </math> の基底、<math>\ f \in End(V) </math> に対して　<math>\ \alpha </math>　は固有値であるとする。

また、<math><\mathbf e_1,\cdots ,\mathbf e_n> </math> に対する　<math>\ f </math>　の表現行列を <math> \ A \in \ M(n;\mathbf K) </math> とする。 

このとき、行列の場合と同様に、
:<math>\ f(\mathbf v) = \alpha \mathbf v </math>
を充たす<math> \mathbf v \neq \mathbf 0 </math> が存在する。<math>\ V </math> の恒等変換（identity transformation）を <math>\ I_V </math> とすると、
:<math>\ (f - \alpha I_V) (\mathbf v) = \mathbf 0 </math>
と変形できる。これは、<math> \ rank(f - \alpha I_V) < n </math>　と同値である。<math> \ (f - \alpha I_V)</math> の表現行列は　<math>\ A - \alpha I_n </math>　であるから、 <math>\ rank (\ A - \alpha I_n) < n </math>

以上より、<math>\ f </math> の固有値は<math> \ A </math> の固有多項式の根であることがわかる。

また、正則行列<math> \ P \in \ M(n;\mathbf K) </math> に対して
:<math>\ \det(A - tI_n) = \det(A - tI_n) \det(P) \det(P^{-1}) = \det(P^{-1}) \det(A - tI_n) \det(P) = \det(P^{-1}AP - tI_n) </math>
より、固有多項式は<math>\ V</math> の基底の取り方によらない。

====固有空間====
固有空間も行列の場合と同様に定義される。

'''定義'''
<math>\ f \in \ End(V) </math> の<math>\alpha \in \Complex </math> に対する''固有空間''とは
:<math>E(\alpha) = (\mathbf v \in V| (f - \alpha I_V)\mathbf v = \mathbf 0) = \ker(f - \alpha I_V) </math>
で表わされる部分空間のことである。

===固有空間の和===
最後に、次の命題を証明しておく。

''命題''

<math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r </math> は <math>\ A \in \ M(n;\mathbf K) </math> の相異なる固有値とする。このとき、
:<math>\ E(\alpha_1) + E(\alpha_2) + \cdots + E(\alpha_r) = \ E(\alpha_1) \oplus E(\alpha_2) \oplus \cdots \oplus E(\alpha_r) </math>
（証明）

<math>\mathbf x_i \in \ E(\alpha_i) (1 \leq i \leq r)</math> は　<math> \mathbf x_1 + \mathbf x_2 + \cdots +\mathbf x_r = \mathbf 0 </math>　をみたすとする。

この等式に、<math>\ f, \ f^2, \cdots ,\ f^{r-1} </math>  を作用させると、
:<math>\begin{pmatrix} 1&1& \cdots &1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_1^{r-1} & \alpha_2^{r-1} & \cdots & \alpha_r^{r-1}\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\mathbf x_1 \\ \mathbf x_2 \\ \vdots \\ \mathbf x_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf 0 \\ \mathbf 0 \\ \vdots \\ \mathbf 0 \\ \end{pmatrix} </math>

左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、
:<math>\det{\begin{pmatrix} 1&1& \cdots &1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_1^{r-1} & \alpha_2^{r-1} & \cdots & \alpha_r^{r-1}\\ \end{pmatrix}} = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j) \neq 0 </math>
したがって、この行列は正則。

よって、<math>\mathbf x_1 = \mathbf x_2 = \cdots = \mathbf x_r = \mathbf 0 </math> □

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