確率論のソースを表示

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現代確率論は[[測度論]]を土台として定式化されている。
そこで本項では、高等学校で習うような数え上げによるラプラス流の確率論を経て、測度論的確率論へ向かっていく。

=='''確率とは'''==

まず、確率とはどういうものかを明らかにしておく。
本項では、
'''確率'''(probability)とは「''考える対象のうち、ある特定の現象が起こる割合''」のこととする。
世の中では絶えず様々な現象が生起しているので、
まずは興味をもつ対象・区域を明確に定める必要がある。
数学的に言えば、確率を考えるには[[集合]]をまず定めなければいけない、ということである。

===例１(サイコロ投げ)===

各面に自然数 <math>1,2,3,4,5,6</math> が一回ずつ描かれた立方体、すなわち６面のサイコロを考える。
したがって、ここで考える対象は「６面のサイコロ」ということになる。

:(１) サイコロを一回投げる場合

=='''確率空間と確率変数'''==
一般に任意の集合<math>\Omega</math>の部分集合族にたいして確率を定義することができないことは[[測度論]]より知られている。そこで、部分集合族に制限を与える。
===集合族についての予備知識===

====ブール環====
ある集合<math>\Omega</math>とその部分集合の族<math>R</math>が以下の条件を満足する時ブール環(Boolean Ring) と呼ぶ。

:(ⅰ) <math>R \ne \phi </math><br>
:(ⅱ)  <math> A,B\in R \Rightarrow A\cup B \in R, A-B \in R</math>

====ブール代数====
ある集合<math>\Omega</math>とその部分集合の族<math>\mathbf{A}</math>が以下の条件を満足する時ブール代数(Boolean Algebra) と呼ぶ。

:(ⅰ) <math>\mathbf{A} \ne \phi </math><br>
:(ⅱ)  <math> A,B\in \mathbf{A} \Rightarrow A\cup Y \in \mathbf{A}</math>
:(ⅲ)  <math> A\in \mathbf{A} \Rightarrow A^c\in \mathbf{A}</math>

[[カテゴリ:確率|ろん]]