特殊相対論 4元運動量のソースを表示

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==4元運動量==

解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が
示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの
保存則が導き出される。
そのため、
<math>
x^\mu = 
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z 
\end{pmatrix}
</math>
のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、
<math>
p^\mu = 
\begin{pmatrix}
\epsilon / c \\
p _x \\
 p _y \\
 p _z 
\end{pmatrix}
</math>
によって、4元ベクトルを作ることが出来る。
ここで、
<math>
\epsilon 
</math>
はエネルギーである。
この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。
ある静止した物体については
<math>
\vec p = 0
</math>
が成り立つので、
<math>
p^\mu = 
\begin{pmatrix}
\epsilon / c \\
0\\
0 \\
0 
\end{pmatrix}
</math>
となる。
このときの <math>\epsilon</math> の値を、ある質量mをもつ物体に対して、
mc と置く。
<math>
\epsilon / c = mc 
</math>
つまり,
<math>
\epsilon = mc^2
</math>
に注意。
(エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように
選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることに
よっているものと思われる。)
<!--  ? -->
このとき、
<math>\epsilon</math>と
<math>
| \vec p |
</math>
の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから
<math>
p^\mu p _\mu =\epsilon ^2 /c^2 - \vec p^2 = m^2 c^2
</math>
となる。
よって、
<math>
\epsilon =c \sqrt {|\vec p |^2 + m^2 c^2 }
</math>
が得られる。
<math> \vec p ^2 </math> が小さいとしてテイラー展開を行なうと、
<math>
\epsilon = mc^2 + \frac {\vec p^2} {2m} + O (\vec p^4) 
</math>
が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式
<math>
\epsilon = \frac {\vec p^2} {2m}
</math>
と、定数<math>mc^2</math>を除いて一致する。
定数<math>mc^2</math>を静止エネルギーと呼ぶことがある。

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