特殊相対論速度の合成則のソースを表示

<small> [[特殊相対論]] > 速度の合成則</small>	
----
==速度の合成則==

ある速度<math>v _1</math>を持つ物体1から見たときに
ある速度<math>v _2</math>を持つ物体2を
、静止している観測者から見たときの
速度を計算する。
(Newton力学では <math>v _1 +v _2</math>となることに注意。)

ローレンツ群の性質から
<math>v _1</math>を使った変換と
<math>v _1</math>を使った変換を合わせて使うことで、
静止した観測者から見た場合の物体2の速度が
求まることを用いると、

<math>
\gamma _1
\begin{pmatrix}
1&\beta _1\\
\beta _1&1
\end{pmatrix}
\times
\gamma _2
\begin{pmatrix}
1&\beta _2\\
\beta _2&1
\end{pmatrix}
=
\gamma _3
\begin{pmatrix}
1&\beta _3\\
\beta _3&1
\end{pmatrix}
</math>
となることが分かる。
左辺の1行1列成分を計算すると、
<math>
= \gamma _1 \gamma _2 (1+\beta _1\beta _2)
</math>
となることがわかる。
右辺の1行1列成分と見くらべると、
<math>
 \gamma _1 \gamma _2 (1+\beta _1\beta _2) = \gamma _3 
</math>
が得られる。
両辺を2乗すると、
<math>
\frac 1 {1 - v _3^2/c^2} = \frac 1 {1 - v _1^2/c^2}\frac 1 {1 - v _2^2/c^2}
(1+ v _1 v _2 /c^2)^2
</math>
両辺の逆数を取ると、
<math>
1 - v _3^2/c^2 =  (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2)
\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}
</math>
よって、
<math>
\begin{matrix}
(v _3/c )^2 =  
1 - \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2)\\
= \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}
((1+ v _1 v _2 /c^2)^2- (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2))\\
=\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(2 v _1 v _2 /c^2 -(- v _1^2 /c^2 - v _2^2 /c^2 ))\\
=\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(v _1/c + v _2/c ) ^2
\end{matrix}
</math>

これらから
<math>
v _3 /c = \frac {( v _1/c + v _2/c )} {1+ v _1 v _2 /c^2} 
</math>
が得られる。
ここで<math>v _2=c</math>とおくと、
<math>
v _3 /c = \frac {( v _1/c + 1 )} {1+ v _1 /c} 
</math>
つまり、
<math>
v _3 = c
</math>
が得られる。
これは、ある速さ<math>v _1</math>を持った観測者1が、観測者1から見て
光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは
光速cより速くなることは無いということを示している。

[[Category:特殊相対論|そくとのこうせいそく]]