特殊相対論テンソルのソースを表示

<small>[[ 特殊相対論 ]]> テンソル </small>

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==テンソル==


ここからはテンソルという量を用いる。
数学的には、通常物理で扱う
3次元のベクトルは、
SO(3)群という群の表現の1つとなっている。
ここでいうローレンツ不変性は、
ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、
これも群の表現が良く知られている。

まず、
ローレンツ変換で変化しない量を
スカラーと呼ぶ。
次に、ローレンツ変換に対して、
<math>
{A'} ^\mu = \Lambda ^\mu  _\nu A^\nu
</math>
となる量をベクトルと呼ぶ。

<math>
\Lambda ^\mu  _\nu 
</math>
は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては
<math>
\Lambda ^\mu  _\nu 
</math>
は、
<math>
B _1 =\gamma
\begin{pmatrix} 
1 &\beta &0&0\\
\beta &1 & 0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
</math>
,
<math>
B _2 = \gamma
\begin{pmatrix} 
1&0&0&0\\
0&1 &\beta &0\\
0&\beta &1 & 0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
</math>
,
<math>
B _3 =\gamma
\begin{pmatrix} 
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0 &0&1 &\beta \\
0 &0&\beta &1 
\end{pmatrix}
</math>
,
<math>
R _1 =
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0&0\\
0 &1 & 0&0\\
0&0&\cos a & -\sin a\\
0&0&\sin a &\cos a
\end{pmatrix}
</math>
,
<math>
R _2 =
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0&0\\
0&\cos a &0& \sin a\\
0 &0 & 1&0\\
0&-\sin a &0&\cos a
\end{pmatrix}
</math>
,
<math>
R _3 =
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0&0\\
0&\cos a & -\sin a&0\\
0&\sin a &\cos a&0\\
0 &0 &0&1\\
\end{pmatrix}
</math> 
で与えられる。
ただし、ここで
<math>
\beta = \frac v c
</math>
<math>
\gamma = \frac 1 {\sqrt { 1 - v^2/c^2}}
</math>
を用いた。
<!-- 安易なコピーアンドペーストは...。 -->
(ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは
数学の"リー群"で与えられる。)
<!-- (ローレンツ群は古典リー群に含まれないことに注意。 -->
<!-- そのため数学の(少なくともリー群の)教科書には、含まれないかも知れない。 -->
特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を
得るには
<math>
p'^\mu = \gamma
\begin{pmatrix}
1&\beta&0&0\\ 
\beta&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
p^\mu
</math>
となる。特にx方向だけに注目するときには
変化が起こらないy、z方向を無視して
変換行列を
<math>
\gamma
\begin{pmatrix}
1&\beta\\ 
\beta&1
\end{pmatrix}
</math>
と短く書くことがある。

ここから、例えば、
<math>
{A'} ^\mu {A'} ^\nu
</math>
というような量を作ると、
この量は
<math>
{A'} ^\mu {A'} ^\nu  =\Lambda ^\mu  _\rho A^\rho \Lambda ^\nu  _\sigma A^\sigma
</math>
というように変換することが分る。
<!-- ?? -->
ここで、
<math>
T^{\mu\nu} = \Lambda ^\mu  _\rho \Lambda ^\nu  _ \sigma T ^{\rho \sigma}
</math>
というように振舞う量を
2階のテンソルと呼ぶ。
これは添字が2つあることによる。
また、ベクトルは1階のテンソル、
スカラーは0階のテンソルということもできる。 
(特に添字が上にあるものを反変テンソル
と呼ぶことがある。)

ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを
定義する。
<math>
\eta^{\mu\nu} = 
\eta _{\mu\nu} = 
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}
</math>
ここで、この量を用いてベクトルの2乗
<math>
\begin{matrix}
(A^\mu) ^2 = \eta  _{\mu\nu} A^\mu A^\nu\\
= (A^0)^2-(A^1)^2 -(A^2)^2 -(A^3)^2
\end{matrix}
</math> 
を取る。
 
それぞれの添字は
同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、
打ち消すことが出来る。
例えば、
<math>
A^\mu A _\mu = \sum  _ {m =0} ^3 (A^m )^2 
</math>

下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する
反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。

これらの添字は、
計量テンソル
<math>
\eta^{\mu\nu} = 
\eta _{\mu\nu} = 
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}
</math>
によって、上下に移動させることが出来る。
例えば、
<math>
x  _\mu = \eta  _{\mu\nu} x^\nu
</math>
となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。
特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。
また、
上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと
呼ぶことがある。

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