物理数学II/特殊関数のソースを表示

== 球函数 ==

=== Legendre 函数 ===
Legendre の微分方程式

<math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x \frac{dw}{dx} + \nu (\nu+1)w = 0</math>

は、<math>z = \frac{1-x}{2}</math> と変換すると、

<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2} + (1-2z)\frac{dw}{dz} + \nu(\nu+1)w = 0</math>

となる。これは、Gauss の超幾何微分方程式で、<math>\alpha = \nu+1,\beta = -\nu,\gamma = 1</math> とした場合だから、微分方程式の解は超幾何函数を使って、

<math>w = F(\nu+1,-\nu,1,z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k</math>

とかける。これを <math>\nu</math> 次 Legendre 函数 <math>P_\nu(x)</math> という。

次に、<math>P_\nu(x)</math> に線型独立なもう一つの解を定数変化法で求める。

<math>w = P_\nu(x) v(x) </math>

とおいて、Legendre の微分方程式に代入すると、

<math>(1-x^2)P_\nu v'' + \{2(1-x^2)P_\nu' -2xP_\nu \}v' = 0</math>

これは、<math>v'</math> に対する微分方程式として

<math>\frac{dv'}{v'} + \frac{dx\{2(1-x^2)P_\nu'P_\nu-2x{P_\nu}^2 \}}{(1-x^2){P_\nu}^2} = 0</math>

即ち、

<math>\frac{dv'}{v'} + \frac{d[(1-x^2)P_\nu^2]}{(1-x^2){P_\nu}^2} = 0</math>

と変形できる。

これを積分して、

<math>v' = \frac{C}{(1-x^2){P_\nu}^2}</math>

を得る。もう一度積分すると、

<math>v(x) = C\int \frac{dx}{(1-x^2){P_\nu}^2} + C'</math>

となるから、

<math>w(x) = P_\nu(x) v(x) = CP_\nu(x)\int\frac{dx}{(1-x^2){P_\nu}^2} + C' P_\nu(x)</math>

である。今求めているのは、<math>P_\nu(x)</math> に独立な解であるから <math>C' = 0</math> としていい。<math>C = 1</math> とし、積分範囲を <math>\int_\infty^x</math> と取るときの <math>w(x)</math> を第二種 Legendre 函数 <math>Q_\nu(x)</math> と定義する。

すなわち、

<math>Q_\nu(x) = P_\nu(x)\int_\infty^x\frac{dx}{(1-x^2){P_\nu(x)}^2} </math>

である。

=== Legendre 多項式 ===
<math>k > n   </math> ならば、<math>(-n)_k = 0  </math>となるから、Legendre 函数 <math>P_\nu(x) </math> は <math>\nu </math> が非負整数 <math>n </math> のとき多項式になる。

<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(n+1)_k(-n)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^n \frac{(n+1)_k(-n)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k</math>

Pochhammer 記号について、

<math>(n)_k = n(n+1)\cdots (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}  </math>

<math>(-n)_k = (-n)(-n+1)\cdots(-n+k-1) = (-1)^kn(n-1)\cdots(n-k+1) = (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!}</math> (ただし、<math>k \le n  </math> のとき)

となる性質を用いると、

<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^k   </math>

を得る。Legendre 多項式は Rodrigues の公式

<math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n</math>

によっても定義される。

実際、

<math>\begin{align}P_n(x) &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \{(x-1)^n(2+x-1)^n\} \\
&= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} (x-1)^{n+k} \\
&= \frac{1}{2^n n!} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n+k)!}{k!} 2^{n-k} (x-1)^{k} \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^k \\
\end{align}</math>

となる。

次に、Legendre 多項式の <math>x</math> の冪での表示を求める。Rodrigues の公式を展開して、

<math>\begin{align}P_n(x) &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \\
&= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}(-1)^k x^{2n-2k} \\
&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-k)!} \frac{(2n-2k)!}{(n-2k)!}x^{n-2k} 
\end{align}</math>

ここで、いくつかの項は微分で落ちる。項が残る条件は <math>n - 2k \ge 0</math> で、 <math>k</math> が整数だから、 <math>\left[\frac n 2\right] \ge k</math> である。

さらに、

<math>\begin{align}
P_n(x) &= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \\
&= \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \\
&= \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2n-2k-1)!!}{k!(n-2k)!} x^{n-2k}
\end{align}</math>

として Legendre 多項式の表示が得られる。ここで、<math>(2k)!! = 2^kk!, (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{(2k)!!} = \frac{(2k)!}{2^kk!}</math> となることを使った。

Rodrigues の公式に Goursat の公式を使うと、

<math>P_n(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_x \left\{\frac{t^2-1}{2(t-x)}\right\}^n \frac{dt}{t-x}</math>

となる。ここで、<math>\frac{t^2-1}{2(t-x)} = \frac{1}{\zeta}</math> と変換をすると、<math>\zeta t^2 -2t + 2x - \zeta = 0</math> となるから、<math>t</math> について解いて、 <math>t = \frac{1-\sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}}{\zeta} = \frac{1-R}{\zeta}</math> となる。ここで、<math>R = \sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}</math> と置いた。<math>dR = \frac{\zeta - x}{R}d\zeta</math> となるから、<math>t  </math> の微分は<math>dt =-\frac{d\zeta}{\zeta^2}(1-R) - \frac{dR}{\zeta} = \frac{1-R-x\zeta}{\zeta^2R}d\zeta   </math> となる。<math>t - x = \frac{1-R-x\zeta}{\zeta}    </math> であったから、<math>\frac{dt}{t-x} = \frac{d \zeta}{R\zeta}. </math>

<math>P_n(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_0 \frac{1}{\sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}}\frac{d\zeta}{\zeta^{n+1}}</math>

これは、

<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math>

ということを意味する。すなわち、これが Legendre 多項式の母函数である。

=== Legendre の陪函数 ===
Legendre の陪微分方程式

<math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x\frac{dw}{dx} + \left\{n(n+1) - \frac{m^2}{1-x^2}\right\} w = 0</math>

の解を求めたい。

Legendre の微分方程式

<math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x \frac{dw}{dx} + n(n+1)w = 0</math>

で

<math>w = (1-x^2)^{\frac m 2} v</math>

とおいて、Legendre の陪微分方程式に代入すると、

<math>\frac{dw}{dx} = (1-x^2)^{\frac m 2} v' -mx(1-x^2)^{\frac m 2} v</math>

<math>\frac{d^2w}{dx^2} = (1-x^2)^{\frac m 2}v'' - 2mx(1-x^2)^{{\frac m 2}-1}v' + m(1-x^2)^{{\frac m 2}-1} v + m(m -2)x^2(1-x^2)^{{\frac m 2}-2} v</math>

となるから、<math>(1-x^2)^{\frac m 2}</math> で割って、<math>\frac{x^2}{1-x^2} = -1 + \frac{1}{1-x^2}</math> に注意して計算すると、

<math>(1-x^2)v'' - 2(m+1)v' + (n-m)(n+m+1)v = 0</math>

を得る。

次に、Legendre の微分方程式を <math>w</math> の代わりに <math>u</math> とおいて、一回微分すると、

<math>(1-x^2)\frac{d^3u}{dx^3} - 2(1+1)x \frac{d^2u}{dx^2} + \{n(n+1) - 2\}\frac{du}{dx} = 0</math>

もう一回微分すると、

<math>(1-x^2)\frac{d^4u}{dx^3} - 2(1+1+1)x \frac{d^3u}{dx^2} + \{n(n+1) - 2 - 4\}\frac{d^2u}{dx^2} = 0</math>

すなわち、Legendre の微分方程式を <math>m</math> 階微分すると、<math>2(1+2+\cdots +m) = m(m+1)</math> となるから、

<math>(1-x^2)\frac{d^{m+2}u}{dx^{m+2}} - 2(m+1)x \frac{d^{m+1}u}{dx^{m+1}} + (n-m)(n+m+1)\frac{d^mu}{dx^m} = 0</math>

である。

よって、

<math>v = \frac{d^mu}{dx^m}</math>

の関係があることがわかる。ここで、<math>u</math> は Legendre の微分方程式の解だから、

<math>u = P_n(x),Q_n(x)</math>

を代入して、

Legendre の陪微分方程式の解として、

<math>w = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mP_n}{dx^m},(1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mQ_n}{dx^m}</math>

を得る。この解をLengendre 陪函数として、

<math>P^m_n(x) = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mP_n}{dx^m},\, Q^m_n(x) = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mQ_n}{dx^m}</math>

と定義する。

=== 球面調和函数 ===
Laplace 方程式

<math>\triangle \Psi = 0</math>

を球座標で表すと、

<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \Lambda \Psi = 0</math>

となる。だたし、

<math>\Lambda = \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial} {\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}</math>

である。<math>\Psi</math> が <math>C^2</math> 級函数で、

<math>\Psi(r,\theta, \varphi) = r^nY_n(\theta,\varphi)</math>

の形であるとき、<math>Y_n(\theta, \varphi)</math> を <math>n</math> 次の球面調和函数という。これを Laplace 方程式に代入すると、<math>Y_n(\theta, \varphi)</math> の方程式として

<math>-\Lambda Y_n = n(n+1)Y_n</math>

すなわち、

<math>\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial Y_n} {\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y_n}{\partial \varphi^2} + n(n+1)Y_n = 0</math>

を得る。

<math>Y_n(\theta, \varphi) = \Theta(\theta)\Phi(\varphi)</math>

と変数分離を仮定して、

<math>\frac{1}{\Theta \sin \theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) + n(n+1) = -\frac{1}{\Phi \sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}</math>

あるいは、

<math>\frac{\sin \theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d\Theta}{d \theta}\right) + n(n+1) \sin^2 \theta = -\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2} = m^2</math>

となる。両辺は <math>\theta ,\varphi</math> のいずれにも依存しないから、定数であるからこれを <math>m^2</math> と置くと、

<math>\frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2} = -m^2\Phi</math>

この解は、

<math>\Phi = C_1 \sin m \varphi + C_2 \cos m \varphi</math>

となる。<math>\Phi(\varphi)</math> は一価函数であるから、<math>\Phi(\varphi + 2\pi) = \Phi(\varphi)</math> より、 <math>m</math> は整数である。また、 <math>m,-m</math> は同じ函数を与えるから、<math>m \ge 0</math> とする。

次に、 <math>\Theta</math> に関する微分方程式

<math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta}\right) + n(n+1)\Theta - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\Theta = 0</math>

は、 <math>x = \cos \theta</math> と変換すると、

<math>\frac{d}{dx}\left\{(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right\} + \left\{n(n+1)- \frac{m^2}{1-x^2} \right\}\Theta = 0</math>

となる。これは、Legendre の陪微分方程式だから、

<math>\Theta = P^m_n(x)</math>

あるいは、

<math>\Theta(\theta) = P^m_n(\cos \theta)</math>

を得る。ここで、<math>\Theta(\theta) = Q^m_n(\cos \theta)</math> も陪微分方程式の解であるが、<math>\theta = 0</math> で連続ではない。

結局、<math>n</math> 次球面調和函数として、

<math>Y_n(\theta,\varphi) = P_n(\cos\theta), P^m_n(\cos\theta) \begin{align} \cos m \varphi \\ \sin m \varphi \end{align}</math>   (<math>m = 1,2,\cdots , n</math>)

の <math>2n+1</math> 個の解を得る。

== 円柱函数 ==

=== Bessel 函数 ===
電磁気学や量子力学などで、微分方程式

<math>\frac{d^2w}{dz^2} + \frac 1 z \frac{dw}{dz} + \left(1 - \frac{\nu^2}{z^2}\right)w = 0 </math>

を解く必要が発生する。この微分方程式の解を Bessel 函数という。

<math>w = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{\rho + k}</math>

の形の級数展開を仮定する。

このとき、

<math> \frac{d^2w}{dz^2} =\sum_{k=0}^\infty (\rho + k)(\rho + k - 1)c_k z^{\rho + k-2} </math>

<math> \frac 1 z \frac{dw}{dz} =\sum_{k=0}^\infty (\rho + k)c_k z^{\rho + k-2} </math>

であるから、微分方程式は、

<math>\sum_{k=0}^\infty \left[\{(\rho+k)^2 - \nu^2\}c_kz^{\rho+k-2} + c_kz^{\rho + k}\right] = 0</math>

となる。

<math>\frac{1}{z^2}</math> の項は、<math>(\rho^2 - \nu^2)c_0 = 0</math> であるから、<math>\rho = \pm \nu</math>.

<math>\frac{1}{z}</math> の項は、<math>\{(\rho+1) - \nu^2\}c_1 = 0</math> であるから、<math>c_1 = 0</math>.

<math>k \ge 0</math> について、<math>-c_{k-2} = \{(\rho+k)^2 - \nu^2\}c_k</math> を得る。これより、<math>c_{2k+1} = 0</math> がわかる。

<math>\rho = \nu</math> のときは、

<math>c_{2k} = \frac{-c_{2(k-1)}}{2(\nu+k)\cdot 2k}</math>

であるから、

<math>c_{2k} = \frac{(-1)^k}{2^{2k}k!(\nu+k)(\nu+k-1)\cdots(\nu+1)} = \frac{(-1)^k\Gamma(\nu+1)}{2^{2k}k!\Gamma(\nu+k+1)}</math>

である。すなわち、

<math>w = c_0\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\Gamma(\nu+1)}{2^{2k}k!\Gamma(\nu+k+1)} z^{2k}</math>

ここで、<math>c_0 = \frac{1}{2^{\nu} \Gamma(\nu+1)}</math> に選んだものを <math>\nu</math> 次 Bessel 函数 <math>J_\nu(z)</math> とする。

すなわち、

<math>J_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k+\nu} </math>

である。<math>\rho = -\nu</math> のときも同様に計算することで、同じ式になる。

==== 性質 ====
負の整数 <math>-n</math> 次の Bessel 函数について、

<math>J_{-n}(z) = \sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(-n+k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k-n} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\Gamma(k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k+n} = (-1)^nJ_{n}(z) </math>

Bessel 函数の母函数は、

<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n &= \sum_{n=0}^\infty J_n(z)t^n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^nJ_n(z)t^{-n} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!(n+m)!} \left(\frac z 2\right)^{2m+n}t^n + \sum_{n=1}^\infty \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^{l+n}}{l!(n+l)!} \left(\frac z 2\right)^{2l+n}t^{-n}
\end{align}</math>

ここで、第一の総和で、<math>l = m + n</math> 、第二の総和で、<math>m = l + n</math> と置くと、

<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n &= 
\sum_{m=0}^\infty \sum_{l=m}^\infty \frac{(-1)^m}{m!l!} \left(\frac z 2\right)^{m+l}t^{l-m} + \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=l+1}^\infty \frac{(-1)^{m}}{l!m!} \left(\frac z 2\right)^{l+m}t^{l-m}\\
&= \sum_{m,l = 0}^{\infty} \frac{1}{m!l!} \left(\frac{zt}{2}\right)^l \left(-\frac{z}{2t}\right)^m \\
&= \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{l!} \left(\frac{zt}{2}\right)^l \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!}\left(-\frac{z}{2t}\right)^m \\
&= e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)}
\end{align}</math>

となる。



また、母函数を <math>t^{n+1}</math> で割ると、

<math>\frac{e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)}}{t^{n+1}} = \frac{J_n(z)}{t} + \sum_{k=-\infty,k \neq n}^\infty J_k(z)t^{k-n-1} </math>

となるから、<math>t</math> について原点反時計回りに積分すると、

<math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_0 \frac{e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)}}{t^{n+1}} dt</math>

が得られる。<math>t = e^{i\theta}</math> とすると、

<math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{z\frac{e^{i\theta}- e^{-i\theta}}{2}}e^{-in\theta}d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{iz\sin\theta - in\theta}d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[\cos(z\sin\theta - n\theta) + i\sin(z\sin\theta - n\theta)]d\theta</math>

ここで、<math>\sin(z\sin\theta - n\theta)</math> は奇函数だから積分は0。<math>\cos(z\sin\theta - n\theta)</math> は偶函数だから、

<math>J_n(z) = \frac 1 \pi \int_0^\pi\cos(n\theta - z\sin\theta)d\theta</math>

を得る。Bessel はこの積分により Bessel 函数を定義した。

また、

<math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{iz \sin \theta - i n \theta} d\theta</math>

で、<math>\theta = \varphi + \frac \pi 2</math> と変換すると、積分範囲は被積分函数の周期性より変更する必要はないから、

<math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_{-\pi}^{\pi} e^{iz \cos \varphi}(\cos n\varphi - i \sin n\varphi) d\varphi</math>

となる。前のように奇函数と偶函数の性質を利用すると、

Hansen の積分表示

<math>J_n(z) = \frac{1}{\pi i^n} \int_{0}^{\pi} e^{iz \cos\varphi}\cos n \varphi \, d\varphi</math>

を得る。

母函数に<math>t=1</math> を代入すると、

<math>\sum_{k=-\infty}^{\infty} J_k(z) = 1</math>

あるいは、

<math>J_0(z) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(z) =1</math>

を得る。


<math>e^{\frac{x+y}{2}(t-1/t)} = e^{\frac{x}{2}(t-1/t)}e^{\frac{y}{2}(t-1/t)}</math>

であるから、Bessel 函数の加法定理

<math>J_n(x+y) = \sum_{m=-\infty}^\infty J_{n-m}(x)J_m(y)</math>

を得る。

上昇演算子と <math>\overset{(\nu)}{T}  </math> 下降演算子 <math>\underset{(\nu)}{T}  </math> を次のように定義する。

<math>\overset{(\nu)}{T} = z^\nu\frac{d}{dz}z^{-\nu} =\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z}  </math>

<math>\underset{(\nu)}{T} = z^{-\nu}\frac{d}{dz}z^\nu = \frac{d}{dz} + \frac{\nu}{z}  </math>

ここで、右辺は、<math>\overset{(\nu)}{T}f = z^\nu\frac{d}{dz}(z^{-\nu}f) = z^\nu\left(-\nu z^{-\nu-1}f+ z^{-\nu}\frac{df}{dz} \right) =\left(\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z}\right)f  </math> から成り立つ。下降演算子についても同様である。

これを Bessel 函数に作用させると、

<math>\begin{align}\overset{(\nu)}{T} J_\nu(z) &= z^\nu \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{2^{2k+\nu}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\
&= z^\nu \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k-1}}{2^{2k+\nu-1}(k-1)!\Gamma(\nu+k+1)} \\
&= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1+\nu}}{2^{2k+\nu+1}k!\Gamma(\nu+1+k+1)} \\
&= -J_{\nu+1}(z)
\end{align} </math>

となる。また、

<math>\begin{align}\underset{(\nu)}{T} J_\nu(z) &= z^{-\nu} \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+2\nu}}{2^{2k+\nu}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\
&= z^{-\nu} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (k+\nu) z^{2k+2\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}k!\Gamma(\nu+k)} \\
&= J_{\nu-1}(z)
\end{align} </math>

である。すなわち、

<math>J^'_\nu(z) - \frac{\nu}{z}J_\nu(z) = -J_{\nu+1}(z)</math>

<math>J^'_\nu(z) + \frac{\nu}{z}J_\nu(z) = J_{\nu-1}(z) </math>

二式を辺々加えて、

<math>2J^'_{\nu}(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z) </math>

または、辺々引いて、

<math>\frac{2\nu}{z}J_\nu(z) = J_{\nu-1}(z) + J_{\nu+1}(z) </math>

を得る。

ところで、明らかに

<math>\underset{(\nu+1)}{T}\overset{(\nu)}{T}J_\nu(z) = - J_\nu(z)</math>

となる。この式は二階の微分方程式であるから、Bessel の微分方程式に帰着するはずである。実際、左辺を展開すると、

<math>\underset{(\nu+1)}{T}\overset{(\nu)}{T} = \left(\frac{d}{dz} +\frac{\nu+1}{z}\right) \left(\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z}\right) = \frac{d^2}{dz^2} +\frac{1}{z}\frac{d}{dz} - \frac{\nu^2}{z^2} </math>

となる。逆に考えると、昇降演算子とは微分方程式を因数分解したものだとも考えられる。

=== 第二種 Bessel 函数 ===
<math>\nu</math> が非整数のときは、<math>J_\nu(z),J_{-\nu}(z)</math> が独立な2解を与えるが、整数のときは、<math>J_{-n}(z) = (-1)^nJ_{n}(z) </math> という関係があるから、独立ではない。そこで、位数 <math>n</math> のときの Bessel の微分方程式の独立なもうひとつの解が存在する。Bessel の微分方程式を <math>\nu </math> で偏微分すれば、

<math>\frac{d^2}{dz^2} \left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} + \frac 1 z \frac{d}{dz}\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} + \left(1 - \frac{n^2}{z^2}\right) \left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} = 0 </math>

となるから、<math>\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} </math> は微分方程式の解である。<math>\left.\left(\frac{\partial J_{-\nu}(z)} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} </math> も同じ微分方程式を満たすから、その線形結合として、

<math>Y_n(z) = \frac 1 \pi \left(\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} - (-1)^n \left.\left(\frac{\partial J_{-\nu(z)}} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} \right) </math>

を定義すると、<math>J_n (z) </math> に独立な解を与える。非整数の <math>\nu </math> に対しては、

<math>Y_\nu (z) = \frac{\cos \nu \pi J_\nu (z) - J_{-\nu} (z)}{\sin \nu \pi} </math>

と定義すると、 <math>\nu \rightarrow n </math> の極限として、 <math>Y_n(z) </math> を得ることができる。

第一種、第二種 Hankel 函数をそれぞれ

<math>H^{(1)}_\nu(z) = J_\nu(z) + i Y_\nu(z)</math>

<math>H^{(2)}_\nu(z) = J_\nu(z) - i Y_\nu(z) </math>

で定義する。

== 楕円積分と楕円函数 ==
第一種完全楕円積分 <math>K(k)</math> と第二種完全楕円積分 <math>E(k)</math> は

<math>K(k) = \int_0^{\frac \pi 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}</math>

<math>E(k) = \int_0^{\frac \pi 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta</math>

で定義される。

Taylor 展開して、

<math>\begin{align}K(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\
&=  \int_0^{\frac \pi 2} \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 1 2}{n}(-1)^n k^{2n}\sin^{2n}\theta d\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}k^{2n}\int_0^{\frac \pi 2}\sin^{2n}\theta d\theta \\
&= \frac \pi 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}\right)^2 k^{2n} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}E(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta \\
&=  \int_0^{\frac \pi 2} \sum_{n=0}^\infty \binom{\frac 1 2}{n}(-1)^n k^{2n}\sin^{2n}\theta d\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{-(2n-1)!!}{{(2n-1)(2n)!!}} k^{2n}\int_0^{\frac \pi 2}\sin^{2n}\theta d\theta \\
&= \frac \pi 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2n} \\
\end{align}</math>

となる。あるいは、超幾何函数を使うと、

<math>K(k) = \frac \pi 2 F\left(\frac 1 2, \frac 1 2; 1; k^2 \right)</math>

<math>E(k) = \frac \pi 2 F\left(\frac 1 2, -\frac 1 2; 1; k^2 \right)</math>

となる。この変形に、

<math>\left(\frac 1 2 \right)_n = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1+2}{2}\right)\cdots \left(\frac{1+2n-2}{2}\right) = \frac{(2n-1)
!!}{2^n}</math>

<math>\left(-\frac 1 2 \right)_n = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1+2}{2}\right)\cdots \left(\frac{1+2n-4}{2}\right) = -\frac{(2n-3)
!!}{2^n} </math>

を使う。

=== Theta函数 ===
<math>\vartheta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}</math>

<math>\vartheta_{01}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi in^2\tau + 2\pi in\left(z+\frac 1 2\right)} = \vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math>

<math>\vartheta_{10}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\left(n + \frac 1 2 \right)^2\tau + 2\pi i\left(n+\frac 1 2\right)z} = e^{\frac 1 4 \pi i \tau + \pi i z}\vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math>

<math>\vartheta_{11}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\left(n + \frac 1 2 \right)^2\tau + 2\pi i\left(n+\frac 1 2\right)\left(z+\frac 1 2\right)} = e^{\frac 1 4 \pi i \tau + \pi i \left(z + \frac 1 2\right)}\vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math>

と定義する。<math>\vartheta_{00}(z,\tau) = \vartheta(z,\tau)
</math> とする。

<math>\vartheta(z+1,\tau) = \vartheta(z,\tau)</math>

<math>\vartheta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta(z,\tau)</math>

さらに、

<math>\vartheta_{00}(z+1,\tau) = \vartheta_{00}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{01}(z+1,\tau) = \vartheta_{01}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{10}(z+1,\tau) = -\vartheta_{10}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{11}(z+1,\tau) = -\vartheta_{11}(z,\tau)</math>

また、

<math>\vartheta_{00}(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta_{00}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{01}(z+\tau,\tau) = -e^{-\pi i (\tau + 2z)} \vartheta_{01}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{10}(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta_{10}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{11}(z+\tau,\tau) = -e^{-\pi i (\tau + 2z)} \vartheta_{11}(z,\tau)</math>


<math>\vartheta_{00}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = \vartheta_{01}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{01}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = \vartheta_{00}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{10}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = -\vartheta_{11}(z,\tau)</math>

<math>\vartheta_{11}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = -\vartheta_{10}(z,\tau)</math>


=== 楕円函数 ===
Jacobi の楕円函数を

<math>\operatorname{sn} u = -\frac{\vartheta_{00} \vartheta_{11}(\zeta)}{\vartheta_{10}\vartheta_{01}(\zeta)}</math>

<math>\operatorname{cn} u = \frac{\vartheta_{01} \vartheta_{10}(\zeta)}{\vartheta_{10}\vartheta_{01}(\zeta)}</math>

<math>\operatorname{dn} u = \frac{\vartheta_{01} \vartheta_{00}(\zeta)}{\vartheta_{00}\vartheta_{01}(\zeta)}</math>

で定義する。ただし、<math>k = \left(\frac{\vartheta_{10}}{\vartheta_{00}}\right)^2</math> ,<math>u = \pi \vartheta_{00}^2 \zeta</math> である。


第一種不完全楕円積分<math>u(x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{\sqrt{1-z^2} \sqrt{1-l^2z^2}} (l \in [0, 1])</math>を用いると、

<math>\operatorname{sn} x = u^{-1} (x)</math>

<math>\operatorname{cn} x = \sqrt{1 - ( \operatorname{sn} x )^2 }</math>

<math>\operatorname{dn} x = \sqrt{1 - (l \operatorname{sn} x )^2 }</math>

と定義することもできる。


定義より

<math>( \operatorname{sn} x )^2 + ( \operatorname{cn} x )^2 = 1</math>

<math>( \operatorname{sn} x )^2 + ( l \operatorname{dn} x )^2 = 1</math>

は直ちに成り立つ。


また、以下の加法定理が成り立つ。

<math>\operatorname{sn} (x+y) = \frac{\operatorname{sn} x \operatorname{cn} y \operatorname{dn} y - \operatorname{sn} y \operatorname{cn} x \operatorname{dn} x}{1-(l\operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math>

<math>\operatorname{cn} (x+y) = \frac{\operatorname{cn} x \operatorname{cn} y - \operatorname{sn} x \operatorname{sn} y \operatorname{dn} x \operatorname{dn} y}{1 - (l \operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math>

<math>\operatorname{dn} (x+y) = \frac{\operatorname{dn} x \operatorname{dn} y - l^2 \operatorname{sn} x \operatorname{sn}y \operatorname{cn} x \operatorname{cn} y}{1-(l\operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math>


それぞれの函数の微分は以下のようになる。

<math>\frac{d}{dx} \operatorname{sn} x = \operatorname{cn} x \operatorname{dn} x</math> 

<math>\frac{d}{dx} \operatorname{cn} x = - \operatorname{sn} x \operatorname{dn} x</math>

<math>\frac{d}{dx} \operatorname{dn} x = -l^2 \operatorname{sn} x \operatorname{cn} x</math>


先ほどの第一種不完全楕円積分の式において、<math>l = 0</math>を代入すると<math>u (x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}} = \arcsin x</math>となる。このとき、<math>\operatorname{sn} x = \sin x, \operatorname{cn} x = \cos x</math>が恒等的に成り立つ。

今度は<math>l=1</math>を代入すると、<math>u(x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{1-z^2} = \mathrm{artanh} x</math>となる。このとき、<math>\operatorname{sn} x = \tanh x, \operatorname{cn} x = \operatorname{dn} x = \frac{1}{\cosh x}</math>が恒等的に成り立つ。

すなわち、三角関数と双曲線関数は楕円函数の一種である。

== 参考文献 ==

* 寺沢寛一『自然科学者のための数学概論(増訂版)』岩波書店、1983年。
* 高木貞治『定本 解析概論』岩波書店、2010年。
* 犬井鉄郎『特殊函数』岩波書店、1962年。
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[[Category:物理数学]]