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=== カルノーサイクル ===
[[File:Carncyklus.png|thumb|カルノーサイクル.]]

等温変化や断熱変化の考察で求まった公式を用いて、熱機関の理論的な効率を調べよう。
まず、熱源として、高温熱源T1と低温熱源T2を用意する。熱サイクルとして、
:高温熱源による等温膨張　→　断熱膨張　→　低温熱源による等温収縮　→　断熱圧縮
というサイクルを考える。
このようなサイクルを'''カルノーサイクル'''（Carnot cycle）という。

なぜ、このようなサイクルなのかというと、まず高温熱源から熱を貰う間は、気体温度は高温熱源の温度と均衡してるとして、等温膨張としよう。
高温熱源から熱をもらい終わったあと、低温圧縮される前に、等温変化以外で仕事をして、内部気体の温度を低温熱源の温度まで下げるとしよう。（収縮時も気体の温度が熱源と同じほうが理論的に扱いやすい。）
等温変化の膨張のあとの変化は、あまり余計なエネルギー源を増やしたくないので、理論的に扱いやすいのは、断熱変化とするのが、扱いやすい。（定積変化や定圧変化にすると、機関が外部からエネルギーを貰うことになるので、変数が増えて、面倒になる。）

ともかく、カルノーサイクルで行われる仕事を求めよう。

まず図の点1から点2の間の仕事W12は等温膨張での仕事なので、高温熱源の温度をT2とすれば、公式より、
:<math>W_{12}=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}</math>
である。

図の点2から点3の間の仕事W12は断熱膨張での仕事であり、ポアソンの公式
<math>pV^{\gamma}=K_1</math>
より（K1は定数とする）、

:<math>W_{23}=\int_{V_2}^{V_3}pdV=K_1\int_{V_2}^{V_3}V^{-\gamma}dV=  \frac{K_1}{1-\gamma}[V^{1-\gamma}]_{V_2}^{V_3}</math>
:<math>=\frac{K_1}{\gamma -1}[V^{1-\gamma}]_{V_3}^{V_2}=\frac{K_1}{\gamma -1}[\frac{1}{V^{\gamma -1}}]_{V_3}^{V_2}=\frac{K_1}{\gamma -1}(\frac{1}{V_3^{\gamma -1}}-\frac{1}{V_2^{\gamma -1}})=\frac{1}{\gamma -1}(p_3V_3-p_2V_2)=\frac{1}{\gamma -1}(nRT_1-nRT_2)</math>
である。

図の点3から点4の間の仕事W34は等温圧縮での負の仕事なので、低温熱源の温度をT1とすれば、公式より、
:<math>W_{34}=nRT_1\log\frac{V_4}{V_3}=-nRT_1\log\frac{V_3}{V_4}</math>
であり、この負の仕事の大きさと等量の熱を放出することになる。

図の点4から点1の間の仕事W41は断熱圧縮での仕事であり、ポアソンの公式
<math>pV^{\gamma}=K_2</math>
より（K2は定数とする）、

:<math>W_{41}=\int_{V_4}^{V_1} pdV=K_2 \int_{V_4}^{V_1} V^{-\gamma}dV=\frac{K_2}{1-\gamma}[V^{1-\gamma}]_{V_4}^{V_1}</math>
:<math>=\frac{K_2}{\gamma -1}[V^{1-\gamma}]_{V_1}^{V_4}=\frac{K_2}{\gamma -1}[\frac{1}{V^{\gamma -1}}]_{V_1}^{V_4}=\frac{K_2}{\gamma -1}(\frac{1}{V_1^{\gamma -1}}-\frac{1}{V_4^{\gamma -1}})=\frac{1}{\gamma -1}(p_1V_1-p_4V_4)=\frac{1}{\gamma -1}(nRT_2-nRT_1)=-W_{23}</math>
である。

機関が1サイクルの間にした仕事は、これ等を足し合わせれば良いから、
:<math>W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}</math>
である。

このうち、
:<math>W{23}=-W{41}</math>
なので、仕事として残る変数は、
:<math>W_{12}+W_{34}</math>
であり、
:<math>W_{12}=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}</math>
:<math>W_{34}=nRT_1\log\frac{V_4}{V_3}=-nRT_1\log\frac{V_3}{V_4}</math>
だから、
:<math>W_{12}+W_{34}=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}-nRT_1\log\frac{V_3}{V_4}</math>

である。これが、この機関が1サイクルで行う正味の仕事である。

ところで、<math>\frac{V_2}{V_1}</math>と、<math>\frac{V_3}{V_4}</math>の関係を求めよう。
状態方程式pV=nRTより、
:<math>p_1V_1=p_2V_2</math>　　（1）
:<math>p_3V_3=p_4V_4</math>　　（2）
である。さらにポアソンの公式より、
:<math>p_4V_4{}^{\gamma}=p_1V_1{}^{\gamma}</math>　　（3）
:<math>p_2V_2{}^{\gamma}=p_3V_3{}^{\gamma}</math>　　（4）
である。
これらを連立して解けば良い。計算の一例を示す。
まず、式(1)と式(2)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、
:<math>p_1p_3V_1v_3=p_2p_4V_2V_4</math>　　（5）
である。

今度は式(3)と式(4)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、
:<math>p_2p_4V_2{}^{\gamma}v_4{}^{\gamma}=p_1p_3V_1{}^{\gamma}V_3{}^{\gamma}</math>　　（6）
である。

式(6)に式(5)を代入すると、式(6)の左辺は、
:<math>p_2p_4V_2{}^{\gamma}v_4{}^{\gamma}=(p_2p_4V_2V_4)(V_2v_4)^{\gamma -1}=(p_1p_3V_1v_3)(V_2v_4)^{\gamma -1}</math>　　（7）

式(6)の右辺は、
:<math>p_1p_3V_1{}^{\gamma}V_3{}^{\gamma}=(p_1p_3V_1v_3)(V_1V_3)^{\gamma -1}</math>　　（8）
となる。

式(7)=式(8)なので、
:<math>(p_1p_3V_1v_3)(V_2v_4)^{\gamma -1}=(p_1p_3V_1v_3)(V_1V_3)^{\gamma -1}</math>　　　（9）
である。これを整理して、
:<math>(V_2v_4)^{\gamma -1}=(V_1V_3)^{\gamma -1}</math>　　　　　　（10）
となる。これより、
:<math>(V_2v_4)=(V_1V_3)</math>　　　　（11）
である。さらに、求めたいのは、<math>\frac{V_2}{V_1}</math>と、<math>\frac{V_3}{V_4}</math>の関係であったから、式(10)を移行すれば、
:<math>\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}</math>　　　　　（12）
が求まる。
なぜ、式(12)を求めたかというと、そもそもの目的は、正味の仕事
:<math>W_{12}+W_{34}=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}-nRT_1\log\frac{V_3}{V_4}</math>　　　　（13）
を求めるためであったので、では、正味の仕事を求めよう。

式(12)より、式(13)を変形できて、
:<math>W_{12}+W_{34}=nR(T_2-T_1)\log\frac{V_2}{V_1}</math>　　　　（14）
と掛ける。これが、カルノーサイクルの、1サイクルでの正味の仕事である。

==== カルノーサイクルの効率 ====
カルノーサイクルが高温熱源から受け取る熱量Q1は、行程1→2であり、この行程は等温変化なので、受け取った熱量はすべて仕事になっている。行程1→2での等温変化の仕事は、
:<math>W_{12}=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}</math>
であったので。これが高温熱源から受け取った熱量Q1に等しい。つまり
:<math>Q_1=nRT_2\log\frac{V_2}{V_1}</math>
である。

熱効率eの式は、高温熱源から受け取った熱量をQとして、正味の仕事をWとすれば、
:<math>e=\frac{W}{Q}</math>
であった。
これに、既に求めた、熱量Q<sub>1</sub>とW<sub>12</sub>を代入すれば、
:<math>e=\frac{W}{Q}=\frac{nR(T_2-T_1)\log(V_2/V_1)}{nRT_2\log(V_2/V_1)}</math>
である。これを約分して整理すれば、
:<math>e=\frac{T_2-T_1}{T_2}</math>
である。これがカルノーサイクルの理論上の最高効率である。このカルノーサイクルの最高効率は、絶対温度だけで決まる。
実際の熱機関の効率は、不可逆課程を含み、これよりも低くなるので、現実の熱効率まで式に含めたければ、不等号を用いて表せば良い。
式を書くと
:<math>e</math>'''≦'''<math>\frac{T_2-T_1}{T_2}</math>
となる。

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