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==集合==
集合とは，「数学的に明確に定義された対象の集まり」をいう．
「数学的に明確に定義された」ということは，一つの対象を持ってきたときに，その集合に属しているか，それとも属していないかが明確に示されることをいう．
例えば「実数空間上に定義された滑らかな関数全体」は集合でない．
なぜなら，どのような関数を「滑らか」というかがはっきりしていないからである．
しかし「実数空間上に定義された各点で微分可能な関数全体」は集合である．
集合を構成する対象を'''要素'''または'''元'''という．

以下 <math>M, N, A, B, \Omega</math> 等の記号は集合を表すものとする．

<!-- def:001:start-->
<div id="def:1">
<strong>定義1.</strong><math>\quad</math>
<math>a</math> が集合 <math>M</math> に属する元であることを <math>a \in M</math>と記す．
<!-- def:001:end-->

<!-- def:002:start-->
<div id="def:2">
<strong>定義2.</strong><math>\quad</math>
<math>a</math> が集合 <math>M</math> に属する元でないことを <math>a \notin M</math>と記す．
<!-- def:002:end-->

<!-- def:003:start-->
<div id="def:3">
<strong>定義3.</strong><math>\quad</math>
集合 <math>M</math> が集合 <math>N</math> に'''含まれる'''とは

:<math>M</math> に属する任意の元が <math>N</math> に属すること

をいい，<math>M \subset N</math> または <math>N \supset M</math> と記す．
<!-- def:003:end-->

<!-- def:004:start-->
<div id="def:4">
<strong>定義4.</strong><math>\quad</math>
集合 <math>M</math> と集合 <math>N</math> が'''一致する'''とは

:<math>M \subset N</math> かつ <math>N \subset M</math> なること

をいい，<math>M = N</math> と記す．
<!-- def:004:end-->

<!-- def:005:start-->
<div id="def:5">
<strong>定義5.</strong><math>\quad</math>
集合 <math>M</math> と集合 <math>N</math> の'''和集合''' <math>M \cup N</math> とは

:<math>M</math> または <math>N</math> に属する元全体の集合

をいう．
<!-- def:005:end-->

<!-- def:006:start-->
<div id="def:6">
<strong>定義6.</strong><math>\quad</math>
集合 <math>M</math> と集合 <math>N</math> の'''共通集合''' <math>M \cap N</math> とは

:<math>M</math> と <math>N</math> の両方に属する元全体の集合

をいう．
<!-- def:006:end-->

<!-- def:007:start-->
<div id="def:7">
<strong>定義7.</strong><math>\quad</math>
同様に集合列 <math>A_1, A_2, A_3, \cdots</math> に対して，どれかの <math>A_n</math> に属する元全体の集合を
<math>\bigcup_{n = 1}^\infty A_n</math> と表す．
<!-- def:007:end-->

<!-- def:008:start-->
<strong>定義8.</strong><math>\quad</math>
集合列 <math>A_1, A_2, A_3, \cdots</math> に対して，すべての <math>A_n</math> に属する元全体の集合を
<math>\bigcap_{n = 1}^\infty A_n</math> と表す．
<!-- def:008:end-->

<!-- def:009:start-->
<div id="def:8">
<strong>定義9.</strong><math>\quad</math>
また「元を持たない集合」を'''空集合''' といい <math>\emptyset</math> で表す．
任意の集合 <math>M</math> について <math>\emptyset \subset M, \quad M \cup \emptyset = M, \quad M \cap \emptyset = \emptyset</math> である．
<!-- def:009:end-->

<!-- theorem:001:start-->
<div id="theorem:1">
<strong>定理1.</strong><math>\quad</math>
<math>A, B, C</math> を集合とするとき

(1) <math>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</math>

(2) <math>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</math>

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

(1) <math>x</math> を <math>(A \cup B) \cap C</math> に属する任意の元とする．
<math>x \in A \cup B</math> かつ <math>x \in C</math>．
すなわち <math>(x \in A</math> または <math>x \in B)</math>　かつ <math>x \in C</math>．
これは <math>x \in A \cap C</math> または <math>x \in B \cap C</math> となり，
<math>x \in (A \cap C) \cup (B \cap C)</math> すなわち <math>(A \cup B) \cap C \subset (A \cap C) \cup (B \cap C)</math>．…①

逆に <math>A \subset A \cup B</math>，<math>B \subset A \cup B</math> より
<math>A \cap C \subset (A \cup B) \cap C</math>，<math>B \cap C \subset (A \cup B) \cap C</math>．
（<math>X \subset Z</math> かつ <math>Y \subset Z</math> ならば <math>X \cup Y \subset Z</math>だから）
<math>(A \cap C) \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap C</math>．…②

①②より <math>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</math>．

(2)(1)に対して[[測度論的確率論/準備/集合/集合#theorem:3|定理3]]を先取りして適用する．
<math>((A \cup B) \cap C)^C = ((A \cap C) \cup (B \cap C))^C</math>．
<math>\therefore (A \cup B)^C \cup C^C = (A \cap C)^C \cap (B \cap C)^C</math>．
<math>\therefore (A^C \cap B^C) \cup C^C = (A^C \cup C^C) \cap (B^C \cup C^C)</math>．（証明終）
<!-- theorem:001:end-->



<!-- theorem:002:start-->
<div id="theorem:2">
<strong>定理2.</strong><math>\quad</math>
<math>A, A_n, n \in N</math> を集合とするとき

(1)<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \cap A = \bigcup_{n=1}^\infty\left(A_n \cap A\right)</math>

(2)<math>\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right) \cup A = \bigcap_{n=1}^\infty\left(A_n \cup A\right)</math>

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

(1)の証明．<math>x \in \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \cap A</math> とすると，<math>x \in \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> かつ <math>x \in A</math>，
したがって，ある（少なくとも一つの）<math>n_0 \in \mathbf{N}</math> について <math>x \in A_{n_0}</math> かつ <math>x \in A</math>．
すなわち <math>x \in A_{n_0} \cap A \subset \cup_{n=1}^\infty (A_n \cap A)</math> であり，
これにより <math>\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A \subset \bigcup_{n=1}^\infty (A_n \cap A)</math>．…①

逆に任意の <math>m \in N</math> について <math>A_m \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> であるから <math>A_m \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math>
となり （<math>A \subset Z, B \subset Z, C \subset Z</math> ならば <math>A \cup B \cup C \subset Z</math> と同じ理由で，）
<math>\bigcup_{n=1}^\infty\left(A_n \cap A \right) \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math>．<ref>
さらにパラフレーズする．<br />
任意の <math>m</math> について<math>A_m \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math><br />
すなわち，<br />
<math>A_1 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math>…①<br />
<math>A_2 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math>…②<br />
<math>A_3 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math>…③<br />
<math>\cdots</math><br />
各式の左辺の変化している部分に着目する．それは <math>A_1, A_2, A_3, \cdots</math> であり，今，左辺の和集合を考えると
<math>(A_1 \cap A) \cup (A_2\cap A) \cup (A_3\cap A) \cup \cdots</math> であるが，<br />
①②③…，により <math>A_1\cap A</math> はある集合 <math>Z</math> に対して <math>A_1\cap A \subset Z</math> だといっている．<br />
同様に <math>A_2 \cap A\subset Z, A_3 \cap A\subset Z, \cdots</math> だといっている．
したがって <math>(A_1 \cap A) \cup (A_2 \cap A) \cup (A_3 \cap A) \cup \cdots \subset Z = \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A</math> といえることになるであろう．<br />
</ref>…②

①②より(1)は証明された．

(2)の証明．(1) に[[測度論的確率論/準備/集合/集合#theorem:3|定理3]]を先取りではあるが適用する。

(1)より
<math>\left( \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^\infty \left( A_n \cap A \right) \right)^C</math>．
<math>\therefore \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)^C \cup A^C = \bigcap_{n=1}^\infty \left( A_n \cap A \right)^C</math>． 
<math>\therefore \left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n^C \right) \cup A^C = \bigcap_{n=1}^\infty ( A_n^C \cup A^C)</math>． 
（証明終）
<!-- theorem:002:end-->

<!-- def:009:start-->
<div id="def:9">
<strong>定義9.</strong><math>\quad</math>
ある集合 <math>\Omega</math> の部分集合全体をなす集合を <math>\wp(\Omega)</math> と記す．したがって <math>A \in \wp(\Omega)</math> は <math>A \subset \Omega</math> を意味している．
特に <math>\emptyset \in \wp(\Omega),\quad \Omega \in \wp(\Omega)</math> である．
<!-- def:009:end-->

<!-- def:010:start-->
<div id="def:10">
<strong>定義10.</strong><math>\quad</math>
また 1 点 <math>\omega \in \Omega</math> だけからなる <math>\Omega</math> の部分集合を
<math>\{\omega \}</math>，あるいは簡単のため <math>\omega</math> とも書く．
<!-- def:010:end-->

<!-- def:011:start-->
<div id="def:11">
<strong>定義11.</strong><math>\quad</math>
<math>A \in \wp(\Omega)</math> に対して
:<math>A^C \equiv \{ a \in \Omega | a \not\in A \}</math>
を <math>A</math> の'''補集合'''という．明らかに <math>(A^C)^C = A</math> である．
<!-- def:011:end-->

<!-- def:012:start-->
<div id="def:12">
<strong>定義12.</strong><math>\quad</math>
<math>A, B \in \wp(\Omega)</math> に対して
:<math>A \setminus B \equiv A \cap B^C = \{ a \in A : a \not\in B \}</math>
を集合 <math>A</math> と集合 <math>B</math> の'''差'''，また
:<math>A \bigtriangleup B \equiv (A \cup B) \setminus (A \cap B)</math>
を集合 <math>A</math> と集合 <math>B</math> の'''対称差'''という．
<!-- def:012:end-->

<!-- ex:001:start-->
<div id="ex:1">
<strong>演習1.</strong><math>\quad</math>
<math>\Omega \equiv (0, 1] \times (0, 1](\subset \mathbf{R}^2), A \equiv (0, 1] \times (0, \frac{1}{2}], B \equiv (0, \frac{1}{2}] \times (0, 1]</math>
とするとき，<math>A \cup B, A \cap B, A \setminus B, A \bigtriangleup B</math> を図示せよ．

(解答)
略
<!-- ex:001:end->


<!-- theorem:003:start-->
<div id="theorem:3">
<strong>定理3.</strong><math>\quad</math>
<math>A, B \in \wp(\Omega)</math> とするとき，次の命題が成り立つ．

(1) <math>( A \cup B)^C = A^C \cap B^C</math>

(2) <math>( A \cap B)^C = A^C \cup B^C</math>

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

(1)を証明する．<math>x \in (A \cup B)^C</math> とすると
<math>x \not\in A \cup B</math> すなわち <math>x \not\in A</math> かつ <math>x \not\in B</math> である．
ゆえに <math>x \in A^C \cap B^C</math> したがって <math>(A \cup B)^C \subset A^C \cap B^C</math> が示された．

逆に <math>x \in A^C \cap B^C</math> であれば <math>X \not\in A</math> かつ <math>X \not\in B</math>
したがって <math>x \in (A \cup B)^C</math>
となり <math>A^C \cap B^C \subset (A \cup B)^C</math> が示された．

(2)を証明する．
(1)に <math>(A^C)^C = A</math> を適用する．
(1) より <math>((A \cup B)^C)^C = (A^C \cap B^C)^C</math>
すなわち <math>A \cup B = (A^C \cap B^C)^C</math>．
<math>A = (A^C)^C, B = (B^C)^C</math> だから
<math>(A^C)^C \cup (B^C)^C = (A^C \cap B^C)^C</math>．
<math>A^C</math> をあらためて <math>A</math>，<math>B^C</math> を <math>B</math> と書き直せば
<math>A^C \cup B^C = (A \cap B)^C</math>．（証明終）

<!-- theorem:003:start-->

定理3 はつぎのように一般化される．


<!-- theorem:004:start-->
<div id="theorem:4">
<strong>定理4.</strong><math>\quad</math>
<math>A_n \in \wp(\Omega), n = 1, 2, 3, \cdots, </math> とするとき，次の命題が成り立つ．

(1)<math>\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)^C = \bigcap_{n=1}^\infty A_n^C</math>

(2)<math>\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^C = \bigcup_{n=1}^\infty A_n^C</math>

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

(1)<math>\left( \bigcup_{n=1}^m A_n \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^{m-1} A_n \cup A_m \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^{m-1} A_n \right)^C \cap A_m^C
= \left( \bigcup_{n=1}^{m-2} A_n \right)^C \cap A_{m-1}^C \cap A_m^C
= A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C \cap \cdots A_m^C
= \bigcap_{n=1}^m A_n^C
</math>

(2)<math>\left( \bigcap_{n=1}^m A_n \right)^C = \left( \bigcap_{n=1}^{m-1} A_n \cap A_m \right)^C = \left( \bigcap_{n=1}^{m-1} A_n \right)^C \cup A_m^C
= \left( \bigcap_{n=1}^{m-2} A_n \right)^C \cup A_{m-1}^C \cup A_m^C
= A_1^C \cup A_2^C \cup A_3^C \cup \cdots A_m^C
= \bigcup_{n=1}^m A_n^C
</math>

(証明終）
<!-- theorem:004:start-->




<references />

[[カテゴリ:数学]]