測度論的確率論/準備/集合/写像のソースを表示

==写像==
<!-- def:013:start-->
<div id="def:13">
<strong>定義13.</strong><math>\quad</math>
二つの集合 <math>M, N</math> が与えられているとする．任意の <math>a \in M</math> に対して，
ある <math>f(a) \in N</math> が対応するとき <math>f</math> を <math>M</math> から <math>N</math> への'''写像'''といい，
<math>f : M \to N</math> と表す．
<!-- def:013:end-->


<!-- def:014:start-->
<div id="def:14">
<strong>定義14.</strong><math>\quad</math>
<math>A \subset M</math> に対し，

:<math>f(a) \equiv \{ f(a) \in N : a \in A \}</math>

を <math>A</math> の（<math>f</math> による）'''像'''といい，特に <math>f(M) = N</math> のときに <math>f</math> を'''全射'''という．
<!-- def:014:end-->


<!-- def:015:start-->
<div id="def:15">
<strong>定義15.</strong><math>\quad</math>
全射であるとは

:任意の <math>b \in N</math> に対して <math>a \in M</math> で <math>b = f(a)</math> となるものが存在する．
<!-- def:015:end-->


[[測度論的確率論/準備/集合/写像#def:14|定義14]]は[[測度論的確率論/準備/集合/写像#def:15|定義15]]といってもよい．また <math>f</math> が１対１，すなわち


<!-- def:016:start-->
<div id="def:16">
<strong>定義16.</strong><math>\quad</math>
:<math>a, a' \in M</math> で <math>f(a) = f(a')</math> であれば <math>a = a'</math>

の成り立つときに <math>f</math> は'''単射'''という．
<!-- def:016:end-->


さらに


<!-- def:017:start-->
<div id="def:17">
<strong>定義17.</strong><math>\quad</math>
<math>f</math> が全射でありかつ単射のときに'''全単射'''という．
<!-- def:017:end-->


<!-- def:018:start-->
<div id="def:18">
<strong>定義18.</strong><math>\quad</math>
<math>A \subset N</math> に対して
:<math>f^{-1}(A) \equiv \{ a \in M : f(a) \in A \}</math>

のとき，<math>f^{-1}(A)</math> は <math>A</math> の（<math>f</math> による）'''逆像'''という<ref>
逆像 <math>f^{-1}</math> は写像ではない．さらにこの定義を「<math>f^{-1}(A)</math> は，<math>\forall x (x \in f^{-1}(A) \to f(x) \in A)</math> かつ <math>\forall x(x \not\in f^{-1}(a) \to f(x) \not\in A)</math> を満たす」と解釈する．
</ref>． 
<!-- def:018:end-->


<!-- def:019:start-->
<div id="def:19">
<strong>定義19.</strong><math>\quad</math>
特に <math>f</math> が <math>M</math> から <math>N</math> への全単射であれば <math>b \in N</math> に対して <math>b = f(a)</math> となる
<math>a \in M</math> が一意的に定まるから <math>f^{-1}(b) = a</math> によって'''逆写像''' <math>f^{-1}</math> を定義する．
このとき <math>f^{-1}</math> も全単射であり，集合 <math>A \subset N</math> による逆像は，<math>A</math> の逆写像 <math>f^{-1}(A)</math> に一致する．
<!-- def:019:end-->


<!-- ex:002:start-->
<div id="ex:2">
<strong>演習2.</strong><math>\quad</math>
<math>M = [-1, 1], \quad N = \mathbf{R}, \quad f(a) = a^2</math> とするとき <math>f\left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \right), \quad  f^{-1} \left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \right)</math> を求めよ．

(解答例)

<math>f\left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right]\right) = \left[ 0, \frac{1}{4} \right], \quad f^{-1}\left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right]\right) = \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]</math>．
<!-- ex:002:end->
<br />



<!-- theorem:005:start-->
<div id="theorem:5">
<strong>定理5.</strong><math>\quad</math>
<math>f : M \to N</math> について次の命題が成り立つ．

<math>A \subset M</math> であれば <math>A \subset f^{-1}(f(A))</math>

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

<math>y \in f(A)</math> とすると <math>f</math> が単射でない場合 <math>f(x_1) = y</math> である <math>x_1 \in A</math> が存在することは必要であるが，同時に 
<math>f(x_2) = y, \quad x_2 \not\in A</math> となる <math>x_2 \in M</math> が存在する可能性がある．よって <math>A \subset f^{-1}(f(A)) \subset M</math>． 

（証明終）
<!-- theorem:005:start-->


<!-- theorem:006:start-->
<div id="theorem:6">
<strong>定理6.</strong><math>\quad</math>
<math>f : M \to N</math> について次の命題が成り立つ．

<math>A, B \subset M</math> であれば <math>f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)</math> かつ <math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math>．

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

定義より任意の <math>y \in f(A \cup B)</math> に対して，ある <math>x \in A \cup B</math> で <math>y = f(x)</math> となるものが存在する．
このとき <math>x \in A</math> または <math>x \in B</math> であるから <math>y = f(x) \in f(A)</math> または <math>y \in f(B)</math>．
すなわち，<math>y \in f(A \cup B)</math> ならば <math>y \in f(A)</math> または <math>y \in f(B)</math>．よって <math>f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B)</math>．…①<br />
逆は，明らかに <math>f(A) \subset f(A \cup B), f(B) \subset f(A \cup B)</math> だから <math>f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B)</math><ref>
<math>A \subset C</math> かつ <math>B \subset C</math> ならば <math>A \cup B \subset C</math>．
</ref>．…②<br />
①②より <math>f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)</math>

さらに <math>A \cap B \subset A, A \cap B \subset B</math> であるから <math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math><ref>
<math>A \cap B \subset A</math> かつ <math>A \cap B \subset B</math>，従って <math>f(A \cap B) \subset f(A)</math> かつ <math>f(A \cap B) \subset f(B)</math>．
これに 「<math>C \subset A</math> かつ <math>C \subset B</math> ならば <math>C \subset A \cap B</math>」を適用すれば，
<math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math> が誘導される．
</ref><ref>
一方「<math>f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)</math>」とはいえない．例えば <math>f</math> が単射でなく、<math>x_1 \in A</math> で <math>y = f(x_1)</math> かつ同じ <math>y</math> で <math>x_2 \in B, x_2 \not\in A, y = f(x_2)</math>
の場合、<math>y = f(x_1), x_1 \in A</math> より <math>y \in f(A)</math>．それと同時に <math>y = f(x_2) \in B</math> より <math>y \in f(B)</math> でもある．すなわち、
<math>y \in f(A) \cap f(B)</math>. つまり <math>f</math> が単射でないので、 <math> x_2 \not\in A</math> であっても <math>y = f(x_2), x_2 \in B</math>  である限り <math>y \in f(A) \cap f(B)</math>． 
一つの <math>x \in M</math> に対して <math>y = f(x)</math> は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの <math>y</math> を決めるとその <math>y</math> に対して <math>y = f(x)</math> を満たす <math>x</math> が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは[[測度論的確率論/準備/集合/写像#定理5|定理5]]も同様である．実際 [[測度論的確率論/準備/集合/写像#演習2|演習2]]の <math>f</math> にて <math>A = \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), B = \left[ 0, +\frac{1}{\sqrt{2}} \right]</math> のとき、<math>f(A) \cap f(B) = \left[ 0, \frac{1}{2} \right], A \cap B = \emptyset, f(A) \cap f(B) \not\subset f(A \cap B)</math>． 
</ref>．
（証明終）<!-- 2019/3/31　ここまで -->
<!-- theorem:006:endt-->


<!-- theorem:007:start-->
<div id="theorem:7">
<strong>定理7.</strong><math>\quad</math>
<math>f : M \to N</math> について次の命題が成り立つ．

<math>A, B \subset N</math> であれば <math>f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)</math>．

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

定義より任意の <math>x \in f^{-1}(A \cup B)</math> について <math>f(x) \in A \cup B</math> すなわち <math>f(x) \in A</math> または <math>f(x) \in B</math> となる．
したがって <math>x \in f^{-1}(A)</math> または <math>x \in f^{-1}(B)</math> であり，ゆえに <math> f^{-1}(A \cup B) \subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)</math>．
逆はあきらかに <math>f^{-1}(A) \subset f^{-1}(A \cup B), f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cup B)</math> であるから <math>f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cup B)</math><ref>
<math>A \subset C, B \subset C \therefore A \cup B \subset C</math>
</ref>．
（証明終）
<!-- theorem:007:end -->


<!-- theorem:008:start-->
<div id="theorem:8">
<strong>定理8.</strong><math>\quad</math>
<math>f : M \to N</math> について次の命題が成り立つ．

<math>A, B \subset N</math> であれば <math>f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math>．

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

<math>x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math> のとき<ref>
さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも[[測度論的確率論/準備/集合/写像#theorem:006|定理6]] の後半部分は等号ではなかったというのに、<math>f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \ne \emptyset</math> である保証はあるのだろうか？これは「逆像 <math>f^{-1}</math> は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．<br />
[[測度論的確率論/準備/集合/写像#def:18|定義18 ]]の註の定義を仮定すると，<math>f^{-1}(A)</math> および <math>f^{-1}(B)</math> は以下の4式をすべて満たす，すなわち<br />
<math>\forall x (x \in f^{-1}(A) \to f(x) \in A)</math>…①，
<math>\forall x(x \not\in f^{-1}(A) \to f(x) \not\in A)</math>…②，
<math>\forall x (x \in f^{-1}(B) \to f(x) \in B)</math>…③，
<math>\forall x(x \not\in f^{-1}(B) \to f(x) \not\in B)</math>…④．<br />
特に②④より，
<math>\forall x (x \in f^{-1}(A) \lor f(x) \not\in A)</math>…②’，
<math>\forall x (x \in f^{-1}(B) \lor f(x) \not\in B)</math>…④’．
今，<math>f(x) \in A \cap B</math> であるとき <math>f(x) \in A</math>，したがって ②’が真となるためには <math>x \in f^{-1}(A)</math> が成立する必要がある．また同様に <math>f(x) \in B</math> より ④’が真となるためには <math>x \in f^{-1}(B)</math> が成立する必要がある．
以上より <math>f(x) \in A \cap B</math> ならば <math>x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math>．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ
</ref>
<math>x \in f^{-1}(A)</math> かつ <math>x \in f^{-1}(B)</math>．
ゆえに <math>f(x) \in A</math> かつ <math>f(x) \in B</math>．
ゆえに <math>f(x) \in A \cap B</math>．
ゆえに <math>x \in f^{-1}(A \cap B)</math>．
すなわち <math>x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math> ならば <math>x \in f^{-1}(A \cap B)</math> だから <math>f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B)</math>．

逆については，<math>A \cap B \subset A</math> かつ <math>A \cap B \subset B</math>，よって <math>f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A), f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(B)</math> より <math>f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)</math><ref>
<math>C \subset A, C \subset B \therefore C \subset A \cap B</math>．
</ref>．
（証明終）
<!-- theorem:008:end -->


<!-- theorem:009:start-->
<div id="theorem:9">
<strong>定理9.</strong><math>\quad</math>
<math>f : M \to N</math> について次の命題が成り立つ．

<math>A \subset N</math> であれば <math>f^{-1}(A^C) = (f^{-1}(A))^C</math>．

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

（証明終）
<!-- theorem:009:end -->


<references />

[[カテゴリ:数学]]