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ユークリッド空間の部分集合に対しては、「長さ」「面積」「体積」などといった概念を自然に定義することができた。これらの概念を一般の集合上で考えるために抽象化したものが測度という概念である。この項では、ルベーグ積分論や確率論を学ぶ上で欠かせない測度の概念の一般論を述べる。

== 測度の定義 ==
ユークリッド空間における「長さ」などの概念は、ユークリッド空間の各部分集合に対してある実数を対応させる写像、すなわち、ユークリッド空間の冪集合から実数への写像と考えることができる。つまり、集合の測度という概念を考えることは、集合族から実数への写像を考えることと同じである。

ところが、測度の概念を考える上で、もともとの集合の冪集合全体を考えるのは不都合である。数直線の場合で大雑把に言えば、「数直線の部分集合ではあるが、「長さ」という概念を考えることができない集合」が存在する。そこで、冪集合の部分集合から実数への写像を考えることにするのだが、あまりおかしな部分集合を取ってくることはできないように、ある程度の制限はかけておく。それが、下に挙げる完全加法族という条件である。

'''定義'''　Sを集合とする。Sの部分集合の族<math>\mathcal{A}</math>が'''完全加法族'''であるとは、次の3条件を満たすことをいう。
#<math>\empty \in \mathcal{A}</math>
#<math>A \in \mathcal{A} \Rightarrow S \setminus A \in \mathcal{A}</math>
#<math>\{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}</math>

このとき、集合と完全加法族の組<math>(S,\mathcal{A})</math>を'''可測空間'''といい、<math>A \in \mathcal{A}</math>を'''可測集合'''という。

この言葉を使うと、測度とは、各可測集合に対してひとつの実数を対応させる、完全加法族から実数への写像である。しかし、完全加法族から実数への写像ならばすなわち測度といってしまうと少し無理がある。線分の長さは非負であり、二つの（交わりを持たない）線分の和集合の長さは二つの線分の長さの和であるべきだ。このような、我々が「長さ」「面積」といった概念に対して思い描く「普通の」性質は、とりあえず写像に対して要請しておくことにしよう。そこで、測度の定義を次のように定める。

'''定義'''　<math>(S,\mathcal{A})</math>を可測空間とする。集合関数<math>\mu:\mathcal{A} \to [0,\infty]</math>が次の2条件を満たすとき、<math>\mu</math>を'''測度'''といい、<math>(S,\mathcal{A},\mu)</math>を'''測度空間'''という。
# <math>\mu(\empty)=0</math>
# 各々交わりを持たない集合族<math>\{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{A}</math>について<math>A_0 = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n</math>とするとき、<math>\mu(A_0)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)</math>

ユークリッド空間に対する「長さ」「面積」にあたる概念が（適当な可測空間を与えれば）この条件を満たしそうだということを確認してほしい。この測度をルベーグ測度と呼ぶのだが、厳密な定式化は少し難しいので後に回す。

== 測度の性質 ==
一般に測度であれば満たす性質を次に列挙する。

'''命題'''　<math>(\mathcal{A},\mu)</math>を測度とすると次が成り立つ。
#<math>\{ A_n \}_{n=0}^\infty \subset \mathcal{A}</math>かつ<math>A_0= \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math>ならば<math>\mu(A_0) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)</math>（可算劣加法性）
#<math>A_1,A_2 \in \mathcal{A}</math>かつ<math>A_1 \subset A_2</math>ならば<math>\mu (A_1) \le \mu(A_2)</math>（単調性）
#<math>A,A_n \in \mathcal{A}</math>かつ<math>A_n \nearrow A</math>（すなわち、<math>A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A=\bigcup_{n \ge 1}A_n</math>）ならば<math>\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=\mu (A)</math>（増大列連続性）
#<math>A,A_n \in \mathcal{A}</math>かつ<math>A_n \searrow A</math>（すなわち、<math>A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A=\bigcap_{n \ge 1}A_n</math>）かつ<math>\mu(A_1) < \infty</math>ならば<math>\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=\mu (A)</math>（減少列連続性）
（証明）<br />
1.集合族<math>\{ B_n \}</math>を<math>B_1=A_1 , B_n=A_n\setminus \left( \bigcup_{1 \le j \le n-1}A_j \right)</math>とすると、<math>\mu(A_0)=\sum_{n=1}^\infty \mu(B_n) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)</math><br />
2.<math>\mu(A_2)-\mu(A_1)=\mu(A_2 \setminus A_1) \ge 0</math><br />
3.<math>\mu(A)=\mu\left(A_1\cup \bigcup_{n=1}^\infty (A_{n+1} \setminus A_n )\right)=\mu(A_1)+\sum_{n=1}^\infty (\mu(A_{n+1})-\mu(A_n))=\lim_{n \to \infty}\mu(A_n)</math><br />
4.<math>A_1 \setminus A_n</math>は3.の仮定を満たすので、<math>\lim_{n \to \infty}\mu(A_1 \setminus A_n)=\mu(A_1 \setminus A)</math>、したがって<math>\mu(A_1)-\lim_{n \to \infty}\mu(A_n)=\mu(A_1)-\mu(A) \ \square</math>

これらは、もともと「長さ」などの拡張概念であったということを考えれば当然の性質であるが、しかし、非常によい性質を持っているということができる。無論、因果関係から言えば、前節での少し立て込んだ定義が、これらの性質を満たすために要求したものであったと言ったほうが正しいだろう。

== 外測度 ==
測度であるための条件は、「長さ」等の概念の拡張として自然なものだが、少し強い条件である。もちろん可測空間を小さくしてしまえば満たすのは簡単だが、それでは応用上の意味がないので、できるだけ大きな、ほどよい可測空間を見つけたい。そのために、まずは条件を少し緩めた「測度もどき」、外測度というものを考える。

'''定義'''
''S''を集合とする。写像<math>\mu^*:\mathcal{P}(S) \to [0,\infty]</math>が次の条件を満たすとき、<math>\mu^*</math>を'''外測度'''という。
# 任意の<math>A \in \mathcal{A}</math>に対し、<math>0=\mu^*(\phi) \le \mu^*(A) \le \infty</math>
#<math>\{ A_n \}_{n=0}^\infty \subset \mathcal{A}</math>かつ<math>A_0= \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math>ならば<math>\mu^*(A_0) \le \sum_{n=1}^\infty \mu^*(A_n)</math>（可算劣加法性）
#<math>A_1,A_2 \in \mathcal{A}</math>かつ<math>A_1 \subset A_2</math>ならば<math>\mu^*(A_1) \le \mu^*(A_2)</math>（単調性）

上節「測度の性質」でみたとおり、これらは測度であるための必要条件であるが、十分条件ではない。だが、次の定理に見るように、この関数の定義域をうまく狭めることで、可測空間と測度を構成することができる。

'''定理'''（Carathéodory）
外測度<math>\mu^*:\mathcal{P}(S) \to [0,\infty]</math>があるとき、
:<math>\mathcal{A}:=\{A| \forall B \subset S \ \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A)+\mu^*(B \setminus A)\}</math>
と定めると、<math>\mathcal{A}</math>は完全加法族であり、<math>\mu=\mu^*|_\mathcal{A}</math>とすると<math>(\mathcal{A},\mu)</math>は測度である。

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