数理論理学/命題論理のソースを表示


== 概要 ==
　命題論理とは、命題を記号（'''命題変数'''という）に置き換え、命題どおしの関係の規則について考える。（よって、命題一つ一つにおける構造についての構成は述語論理のページを参照されたい）そして、それらの命題変数を組み合わせである'''論理式'''について考察していく。
== 用語の定義 ==
{{定義|1.1}}
　命題を記号で表したものを'''命題変数'''という。以下より<math>T,F</math>を除く大文字のアルファベット（およびそれに添え字を付けたもの）は命題変数であり、その文字を単体で'''原子論理式'''（単に原子式とも）という。{{定義終わり}}
　命題論理では一般化された命題について考える分野であるため、命題変数は命題を一般化したものであると思って良い。
{{定義|1.2}}
　全て命題は'''真(TRUE)'''であるか'''偽(FALSE)'''であるかのいずれかである。よって、真でない命題は全て偽である。
{{定義終わり}}
　詳しくは前ページを参考すること。
==真理関数　==
　定義1.2では全て命題が真か偽かの2種類に分けられることを述べた。よって、命題に対し真、偽という2種類の値を定義することができる。
{{定義|2.1}}
　<math>P</math>を任意の命題とする、<math>P</math>の'''真理値'''を以下のように定義する。<br>
<math>
P=
\begin{cases} 
T & \mbox{if }P\mbox{ is TRUE}\\
F & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>
{{定義終わり}}
　真理値は、任意の命題<math>P</math>が真であったら<math>T</math>を持ち、そうでなければ(偽であれば)<math>F</math>を持つ値である、という解釈で間違いない。
{{定義|2.2}}
　集合<math>l=\{T,F}\</math>及び自然数<math>n</math>に対して、直積<math>l^n</math>から<math>l</math>への写像を'''（<math>n</math>変数の）真理関数'''という。
{{定義終わり}}
　直感的には、命題にいくつか（間に関係項のもった）連なりがあり、そこに真理関数を作用させていけば最終的にその連なり全体が真か偽いずれかになる、ということを示している。以下の具体例を見ればそれが分かりやすくなるだろう。その前に一つ定理を導いておく。
{{定理|2.1}}
　任意の命題<math>P</math>及び、先ほど定義された集合<math>l</math>に対し<math>P \in l</math>である。
{{定理終わり}}
　これは<math>P</math>が<math>T,F</math>いずれかの真理値を持つことから明らかである。
{{定義|2.3}}
　'''否定'''<math>\lnot</math>は一変数の真理関数であり、以下のように定義する。<br>
<math>
\lnot P=
\begin{cases} 
F & \mbox{if }P=T\\
T & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>
{{定義終わり}}
　真と偽をひっくり返す真理関数である。
{{定義|2.4}}
　'''理論和'''<math>\lor</math>は二変数の真理関数であり、以下のように定義する。<br>
<math>
P\lor Q=
\begin{cases} 
F & \mbox{if }P=Q=F\\
T & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>
{{定義終わり}}
　<math>P,Q</math>共に偽であるときでのみ<math>P\lor Q</math>も偽であるということを示す。つまり、'''<math>P</math>または<math>Q</math>'''を表している。
{{定義|2.5}}
　'''理論積'''<math>\land</math>は二変数の真理関数であり、以下のように定義する。<br>
<math>
P\land Q=
\begin{cases} 
T & \mbox{if } P=Q=T\\
F & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>
{{定義終わり}}
　<math>P,Q</math>共に真であるときでのみ<math>P\land Q</math>も真であるということを示す。つまり、'''<math>P</math>かつ<math>Q</math>'''を表している。
{{定義|2.6}}
　'''含意'''<math>\rightarrow</math>は二変数の真理関数であり、以下のように定義する。<br>
<math>
P\rightarrow Q=
\begin{cases} 
F & \mbox{if } P=T\land Q=F\\
T & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math><br>
　そして以上で述べた真理関数<math>\lnot , \lor , \land , \rightarrow</math>を'''論理結合子'''という。
{{定義終わり}}
　<math>P</math>が真であり、<math>Q</math>が偽であるときでのみ<math>P\rightarrow Q</math>が偽であるということを示す。つまり、'''<math>P</math>ならば<math>Q</math>'''を表している。<br>
　以下より論理結合子を中心に議論していく。上の定義では真、偽の関係が分かりづらいため、[[w:真理値表|'''真理値表''']]を参考にすること。
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