数学演習/中学校3年生/式の計算/解答のソースを表示

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[[中学校数学 3年生-数量/式の計算]]

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== 展開(1) ==
#<math>z(x+y) = xz+yz</math>
#<math>(x+4)(x+5) = x^2+5x+4x+20 = x^2+9x+20</math>
#<math>(x+3)^2 = (x+3)(x+3) = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math>
#<math>(x-6)^2 = (x-6)(x-6) = x^2-6x-6x+36 = x^2-12x+36</math>
#<math>(x+5)(x-5) = x^2+5x-5x-25 = x^2-25</math>
#<math>(3x+4y)^2 = (3x+4y)(3x+4y) = 9x^2+12xy+12xy+16y^2 = 9x^2+24xy+16y^2</math>
#<math>(x+2y)(-x+2y) = (2y+x)(2y-x) = -x^2+4y^2</math>
#<math>2(x-2y)^2 = 2(x-2y)(x-2y) = 2(x^2-4xy+4y^2) = 2x^2-8xy+8y^2</math>

== 展開(2) ==
複雑な式は一部を文字に置き換えることにより展開しやすくなる。ある程度まで計算が進んだら置いた文字を元に戻すことを忘れずに。

1.解答の途中で<math>a^2+b^2 = A</math>としている。
:<math>\begin{align}
 (a+b)^4 & = ((a+b)^2)^2 \\
         & = (a^2+2ab+b^2)^2\\
         & = (A+2ab)^2\\
         & = A^2+2 \times A \times 2ab+4a^2b^2\\
         & = A^2+4abA+4a^2b^2\\
         & = (a^2+b^2)^2+4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2\\
         & = (a^4+2a^2b^2+b^4)+4a^3b+4ab^3+4a^2b^2\\
         & = a^4+4a^3b+(4+2)a^2b^2+4ab^3+b^4\\
         & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\
\end{align}
</math>

2.問題の<math>a+b = B</math>とする。
:<math>\begin{align}
 (a+b+c)(a+b-c) & = (B+c)(B-c)\\
                & = B^2-c^2\\
                & = (a+b)^2-c^2\\
                & = (a^2+2ab+b^2)-c^2\\
                & = a^2+2ab+b^2-c^2\\
\end{align}
</math>

== 因数分解(1) ==
#<math>xy+yz = y(x+z)</math>
#<math>x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)</math>
#<math>x^2+10x+25 = (x+5)^2</math>
#<math>x^2-8x+16 = (x-4)^2</math>
#<math>x^2-100 = (x+10)(x-10)</math>
#<math>12x^2+x-1 = (3x+1)(4x-1)</math>
#<math>9x^2-4y^2 = (3x+2y)(3x-2y)</math>
#<math>3x^2+12x+12 = 3(x^2+4x+4) = 3(x+2)^2</math>
#<math>(4x+9)(x+4)-11 = 4x^2+25x+36-11 = 4x^2+25x+25 = (4x+5)(x+5)</math>

== 因数分解(2) ==
1.問題の<math>x^3 = X</math>とする。
:<math>\begin{align}
 x^6-x^3-6 & = (x^3)^2-x^3-6\\
            & = X^2-X-6\\
            & = (X+2)(X-3)\\
            & = (x^3+2)(x^3-3)\\
\end{align}
</math>

2.問題の<math>2x+3y=C,3x-4y+D</math>とする。
:<math>\begin{align}
 (2x+3y)^2-(3x-4y)^2 & = C^2-D^2\\
                     & = (C+D)(C-D)\\
                     & = (2x+3y+3x-4y)(2x+3y-3x+4y)\\
                     & = (5x-y)(-x+7y)\\
\end{align}
</math>

== 展開と因数分解の利用 ==
#<math>201 \times 199 = (200+1)(200-1) = 200^2-1^2 = 39999</math>
#<math>105^2 = (100+5)^2 = 100^2+2 \times 100 \times 5+5^2 = 10000+1000+25 = 11025</math>
#<math>51^2 - 49^2 = (51+49)(51-49) = 100 \times 2 = 200</math>