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== 場合の数 ==
(1)略

(2)[1,2][1,3][1,4][2,1][2,3][2,4][3,1][3,2][3,4][4,1][4,2][4,3]の12通り

(3)[1,2][1,3][1,4][2,3][2,4][3,4]の6通り

== 確率(1) ==
全ての場合を書き出してみる。表＝100ないし50、裏＝Nとする。左の2枚は100円玉、右の2枚は50円玉である。

*[100,100,50,50]・・・全て表
*[100,100,50,N][100,100,N,50][100,N,50,50][N,100,50,50]・・・3枚表で1枚裏
*[100,100,N,N][100,N,50,N][N,100,50,N][100,N,N,50][N,100,N,50][N,N,50,50]・・・2枚表で2枚裏
*[100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,50,N][N,N,N,50]・・1枚表で3枚裏
*[N,N,N,N]・・・全て裏

(1)上を見ると全て表の出方は1通り。全ての出方は16通りなので、<math>\frac{1}{16}</math>となる。

(2)同様に3枚表の出方は4通り。<math>\frac{4}{16} = \frac{1}{4}</math>となる。

(3)200円以上となる条件は'''3枚以上表であるか[100,100,N,N]の場合'''。<math>\frac{6}{16} = \frac{3}{8}</math>となる。

(4)100円玉と50円玉がちょうど1枚ずつ表である条件は'''2枚表の部分で[100,100,N,N][N,N,50,50]以外の場合'''である。<math>\frac{4}{16} = \frac{1}{4}</math>となる。

(5)上の出方を見るよりは、全体から50円玉が全く表にならなかった確率を引いたほうがよい。50円玉が全く表にならない場合は[100,100,N,N][100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,N,N]の4通り。<br><math>1 - \frac{4}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}</math>となる。

== 確率(2) ==
(1)乱数賽に10の目はないので、確率は0である。

(2)素数は2・3・5・7の4通りがそれぞれ2面あるので<math>\frac{8}{20} = \frac{2}{5}</math>である。

(3)一見では分かりにくいので、表にまとめてみる。GCDは最大公約数の英語の略称である。

<table border="1">
<tr align="center">
<th>GCD</th>
<td colspan="2">'''0'''</td>
<td colspan="2">'''1'''</td>
<td colspan="2">'''2'''</td>
<td colspan="2">'''3'''</td>
<td colspan="2">'''4'''</td>
<td colspan="2">'''5'''</td>
<td colspan="2">'''6'''</td>
<td colspan="2">'''7'''</td>
<td colspan="2">'''8'''</td>
<td colspan="2">'''9'''</td>
</tr>
<th>0</th>
<td colspan="2">×</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
</tr>
<th>1</th>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>2</th>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>3</th>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">3</td>
</tr>
<th>4</th>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>5</th>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>6</th>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
</tr>
<th>7</th>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>8</th>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">1</td>
</tr>
<th>9</th>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">9</td>
</tr>
</table>

以上の表より、<math>\frac{228}{400} = \frac{57}{100}</math>である。

(4)(3)に同じく表にまとめてみる。SUMは和を英語で表したものである。

<table border="1">
<tr align="center">
<th>SUM</th>
<td colspan="2">'''0'''</td>
<td colspan="2">'''1'''</td>
<td colspan="2">'''2'''</td>
<td colspan="2">'''3'''</td>
<td colspan="2">'''4'''</td>
<td colspan="2">'''5'''</td>
<td colspan="2">'''6'''</td>
<td colspan="2">'''7'''</td>
<td colspan="2">'''8'''</td>
<td colspan="2">'''9'''</td>
</tr>
<th>0</th>
<td colspan="2">0</td>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
</tr>
<th>1</th>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
</tr>
<th>2</th>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
</tr>
<th>3</th>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
</tr>
<th>4</th>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
</tr>
<th>5</th>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
<td colspan="2">14</td>
</tr>
<th>6</th>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
<td colspan="2">14</td>
<td colspan="2">15</td>
</tr>
<th>7</th>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
<td colspan="2">14</td>
<td colspan="2">15</td>
<td colspan="2">16</td>
</tr>
<th>8</th>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
<td colspan="2">14</td>
<td colspan="2">15</td>
<td colspan="2">16</td>
<td colspan="2">17</td>
</tr>
<th>9</th>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">12</td>
<td colspan="2">13</td>
<td colspan="2">14</td>
<td colspan="2">15</td>
<td colspan="2">16</td>
<td colspan="2">17</td>
<td colspan="2">18</td>
</tr>
</table>

この表を見れば、右上から左下にのびる「9」が最も出やすい(と期待される)ことが分かる。逆に最も出にくい(と期待される)数は「0」と「18」である。

(5)得であるとは言えない

このゲーム1回で貰える賞金の平均を計算してみよう。

0円・10円・20円・30円・40円・50円・60円・70円・80円・90円が等率で出ると期待されるから、以下のように計算できる。

:<math>
\frac{1}{10} \times 0 +\frac{1}{10} \times 10 +\frac{1}{10} \times 20 + \cdots + \frac{1}{10} \times 90 = 45
</math>

計算結果は、このゲーム1回あたりの賞金の平均が45円であることを意味している。

このゲームの参加費が50円であることから、1ゲームにつき'''平均5円分損をしているだろう'''と考えることができる。

確率の分野では平均と言わずに、期待値という言葉を用いる。'''期待値'''(きたいち)とは、1試行で出る値の平均を示す指標で、この問題の場合は「'''それぞれの目の数値×その目の出る確率'''」の総和で求められる。(期待値について詳しくは、高校で学習する。)

例えばサイコロは1〜6の面が均等に出る(と期待される)から、その期待値は

:<math>
\frac 1 6 \times 1 +\frac 1 6 \times 2+\frac 1 6 \times 3+\frac 1 6 \times 4+\frac 1 6 \times 5+\frac 1 6 \times 6 = 3.5
</math>

となる。詳しくはここでは説明しないが、n回振った時の目の総和の平均が<math>3.5n</math>になることも意味している。


== 確率(3) ==
(1)Aが当たる確率は<math>\frac{3}{10}</math>である。

(2)Aが当たった場合とAが外れた場合を分けて考える必要がある。以前の人が引いたらくじの本数が減っていることに注意。
*Aが当たった場合
<math>\frac{3}{10}</math>（A当たり）<math>\times \frac{2}{9}</math>（B当たり）<math> = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}</math>
*Aが外れた場合
<math>\frac{7}{10}</math>（A外れ）<math>\times \frac{3}{9}</math>（B当たり）<math> = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}</math>

これら2つの確率はAが当たりと外れが同時に起こらないことから足してよいので、<math>\frac{1}{15} + \frac{7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}</math>

(3)結論から言うと、Cの当たる確率も<math>\frac{3}{10}</math>なのである。
*AもBも当たった場合
<math>\frac{3}{10}</math>（A当たり）<math>\times \frac{2}{9}</math>（B当たり）<math> \times \frac{1}{8}</math>（C当たり）<math> = \frac{6}{720} = \frac{1}{120}</math>
*Aが当たりBが外れた場合
<math>\frac{3}{10}</math>（A当たり）<math>\times \frac{7}{9}</math>（B外れ）<math> \times \frac{2}{8}</math>（C当たり）<math> = \frac{42}{720} = \frac{7}{120}</math>
*Bが当たりAが外れた場合
<math>\frac{7}{10}</math>（A外れ）<math>\times \frac{3}{9}</math>（B当たり）<math> \times \frac{2}{8}</math>（C当たり）<math> = \frac{42}{720} = \frac{7}{120}</math>
*AもBも外れた場合
<math>\frac{7}{10}</math>（A外れ）<math>\times \frac{6}{9}</math>（B外れ）<math> \times \frac{3}{8}</math>（C当たり）<math> = \frac{126}{720} = \frac{21}{120}</math>

同様に確率の和は<math>\frac{1}{120} + \frac{7}{120} + \frac{7}{120} + \frac{21}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}</math>

以上の結果から分かる通り、'''当たる確率はくじを引く順番によらない'''のである。

(4)少なくとも誰か1人当たる確率は「1-全員外れる確率」で求められる。全員外れる確率は<math>\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{210}{720} = \frac{7}{24}</math>。よって<math>1- \frac{7}{24} = \frac{17}{24}</math>

== 確率(4) ==
(1)トランプ52枚の中にハートは13枚あるから、<math>\frac{13}{52} = \frac{1}{4}</math>である。

(2)「1枚目が絵札になる確率×(カードの総数が1枚減って)2枚目が絵札にならない確率」で求められるから、<math>\frac{12}{52} \times \frac{40}{51}</math>となる。

(3) 2枚目を引くときに1枚目と同じ数字、さらに3枚目のときにも同じ数字、さらに4枚目のときも同じ数字を引けばよいので、<math>\frac{3}{51}\times\frac{2}{50}\times\frac{1}{49}</math>となる。

[[カテゴリ:中学校数学演習|2年かくりつこたえ]]
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