小学校算数/5学年のソースを表示


5年生の算数では、整数、分数の計算、合同な図形、多角形などについて学習します。
== 整数 ==
=== 偶数と奇数 ===
[[小学校算数/4学年|4年生]]までに、整数のことについて学びました。では、整数についてもっと深く学んでいきましょう。

2でわり切れる整数を「'''{{ruby|偶数|ぐうすう}}'''」といい、2でわり切れない整数を「'''{{ruby|奇数|きすう}}'''」といいます。
たとえば、2、6、10、50などは偶数で、1、5、11、51などは奇数です(0は2でわり切れるので、偶数です)。

なお、一の位の数が
:0,2,4,6,8
ならばその数は偶数で、
:1,3,5,7,9
ならばその数は奇数です。

* 問題
:54,78,85,231は偶数ですか、奇数ですか。

* 答え
:一の位の数に注目しましょう。
:それぞれ、
::4,8,5,1
:なので、
:
:結果は、
::54…偶数
::78…偶数
::85…奇数
::231…奇数
:となります。

=== 倍数と約数 ===
====倍数====
ある整数に整数をかけてできる数を、ある整数の'''{{ruby|倍数|ばいすう}}'''といいます。たとえば、3の倍数は
:<math>
3 \times 1 = 3,
</math>
:<math>
3 \times 2 = 6,
</math>
:<math>
3 \times 3 = 9,
</math>
:<math>
3 \times 4 = 12,
</math>
:<math>
\cdots
</math>
などがあります(0については考えません)。ある整数の倍数は数え切れません。

====約数====
ある整数をわり切ることができる整数を、ある整数の '''{{ruby|約数|やくすう}}''' といいます。
たとえば、12の約数は
:<math>
12 \div 1 = 12,
</math>
:<math>
12 \div 2 = 6,
</math>
:<math>
12 \div 3 = 4,
</math>
:<math>
12 \div 4 = 3,
</math>
:<math>
12 \div 6 = 2,
</math>
:<math>
12 \div 12 = 1,
</math>
とできるので1,2,3,4,6,12の6個あります。約数の{{ruby|個|こ}}数には、{{ruby|限|かぎ}}りがあります。

{{コラム|約数の調べ方|
12の約数を調べる方法を考えてみましょう。
#まずは、積が12となる2つの整数を探す方法で調べてみましょう。
:このようなものを調べると(1との積が12になる整数、2との積が12になる整数、…と調べることができます)、
:1と12、
:2と6,
:3と4
があります。
:これから、12の約数は 1,2,3,4,6,12 であることがわかります。
:(実際には、4以上との整数との積を調べる必要はありません。一度出ています。このように、一度出た整数が{{ruby|再|ふたた}}び{{ruby|現|あらわ}}れたら{{ruby|終了|しゅうりょう}}となります。
|}}

=== 公倍数と公約数 ===
2つの整数に共通している倍数を '''{{ruby|公倍数|こうばいすう}}'''といいます。特に、最も小さい公倍数を '''最小公倍数''' といいます。
:たとえば、12と16の倍数を書き出すと、
{| class="wikitable"
|-
| 12の倍数 || 12 || 24 || 36 || '''48''' || 60 || 72 || 84 || '''96''' || 108 || 120 || 132 || '''144''' ||156
|-
| 16の倍数 || 16 || 32 || '''48''' || 64 || 80 || '''96''' || 120 || '''144''' || 160 || 176 || …
|}
:となるので、12と16の公倍数は 48,96,144…となります。12と16の最小公倍数は 48 となります。
:また、3つの数 4と6と9 の最小公倍数について考えてみましょう。
{| class="wikitable"
|-
| 4の倍数 || 4 || 8 || 12 || 16 || 20 || 24 || 28 || 32 || '''36''' || 40 || 44 || 48
|-
| 6の倍数 || 6 || 12 || 18 || 24 || 30 || '''36''' || 42 || 48 || 54 || 60 || 66 || 72
|-
| 9の倍数 || 9 || 18 || 27 || '''36''' || 45 || 54 || 63 || 72 || 81 || 90 || 99 || 108
|}
:となるので、4と6と9の最小公倍数は36となります。
:なお、4と6の最小公倍数は12なので、12の倍数と9の倍数で考えることができます(同じように、6と9の最小公倍数である18の倍数と4の倍数を用いて考える、などの方法もあります。このように、最小公倍数は、それぞれの整数の倍数を書き出して考えることができます。

2つの整数に共通している約数を '''{{ruby|公約数|こうやくすう}}'''といいます。特に、最も大きい公約数を '''最大公約数''' といいます。
:たとえば、12と16の公約数を書き出すと、
{| class="wikitable"
|-
| 12の約数 || 12 || 6 || '''4''' || 3 || '''2''' || '''1''' 
|-
| 16の倍数 || 16 || 8 || '''4''' || '''2''' || '''1''' ||
|}
:となるので、12と16の公約数は 1,2,4となります。12と16の最大公約数は 4 となります。

== 式と計算 ==
=== 整数と小数のしくみ ===
{{ruby|青森|あおもり}}県と{{ruby|北海道|ほっかいどう}}を結ぶ{{ruby|青函|せいかん}}トンネルの長さは53.85kmです。この53.85という数について考えましょう。[[File:Seikan tonneru aomori.JPG|200px|thumb|青函トンネルを通る電車]]
:10倍すると538.5、
:100倍すると5385、
:1000倍すると53850 と、小数点が{{ruby|移|うつ}}っていきます。
:このように、ある数を10倍、100倍、1000倍…にすると、小数点が右に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。

また、{{ruby|東京|とうきょう}}都から{{ruby|大阪|おおさか}}府を走っている{{ruby|東海道新幹線|とうかいどうしんかんせん}}の路線きょりは515.4kmです。この515.4という数について考えましょう。[[File:Shinkansen N700 z15.jpg|200px|thumb|東海道新幹線]]
:<math>\frac{1}{10}</math>にすると51.54、
:<math>\frac{1}{10}</math>にすると5.154、
:<math>\frac{1}{10}</math>にすると0.5154、と、小数点が{{ruby|移|うつ}}っていきます。
:このように、ある数を<math>\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}</math>にすると、小数点が左に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。




=== 小数のかけ算、わり算 ===
{{節stub}}

==== 整数のかけ算、わり算の意味 ====

==== 小数のかけ算、わり算の意味 ====
小数のかけ算とわり算も、整数の場合と同様にできます。
しかし整数と同じように計算すると矛盾します。

=== 小数のかけ算、わり算の計算===

==== 小数 × 小数 ====
次のかけ算の問題を解いてみましょう。
* 1mの重さが2.3kgのパイプがあります。このパイプが2.8mあったら重さは何kgですか。

式は <math>2.3 \times 2.8</math> となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

パイプの重さを23kgと10倍にすると、求める重さも10倍になります。

パイプの長さが10倍になると、求める重さも10倍になります。

*1mの重さが23kgのパイプ28mの重さは <math>23 \times 28 =644</math>

1mの重さが2.3kgのパイプ2.8mの重さを出すには、この積を<math>\frac{1}{100}</math> にすればよいので

<math>2.3 \times 2.8 = 23 \times 28 \div 100 = 6.44</math> 

したがって、 '''<math>2.3 \times 2.8 = 6.44</math>''' となります。答えは6.44kgです。

==== 小数 ÷ 小数 ====
次のわり算の問題を解いてみましょう。
*6.5mの重さが7.8kgの鉄のぼうがあります。この鉄のぼう1mの重さは何kgですか。

式は <math>7.8 \div 6.5</math> となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

同じぼうの長さを10倍にすれば、重さも10倍になります。

65mのぼうの重さは <math>7.8 \times 10 =78</math>

鉄のぼう1mの重さは<math>(7.8 \times 10) \div (6.5 \times 10) = 78 \div 65 =1.2</math>

したがって、 '''<math>7.8 \div 6.5 = 1.2</math>''' となります。答えは1.2kgです。

=== 約分 ===
右の図を見てください。[[File:fraction2 3.svg]]<!--[[File:fraction4 6.svg]]-->[[File:fraction6 9.svg]]
<math>\frac{2}{3}</math>と<math>\frac{4}{6}</math>と<math>\frac{6}{9}</math>が同じ大きさであることがわかるでしょう。ですから、<math>\frac{4}{6}</math>や<math>\frac{6}{9}</math>は<math>\frac{2}{3}</math>になおせますね。

'''ある分数の分子と分母に、同じ数をかけたりわったりしても分数の大きさは変わりません。'''それを使って、分数を、分母と分子ができるだけ小さい分数に、大きさを変えないでなおすことを '''{{ruby|約分|やくぶん}}する''' といいます。

約分する方法には、'''分母と分子を分母と分子の最大公約数でわる'''方法があります。上の<math>\frac{4}{6}</math>を約分してみると、4と6の最大公約数は2なので、
:<math>
\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}
</math>
となります。

=== 通分 ===
先ほどの 約分 とは逆に、たとえば、<math>\frac{2}{3}</math>は <math>\frac{4}{6}</math>や<math>\frac{6}{9}</math> となおせますね。

たとえば、<math>\frac{1}{2}</math> は <math>\frac{2}{4},\frac{3}{6}</math>…となおすことができます。

また、<math>\frac{1}{3}</math> は <math>\frac{2}{6},\frac{3}{9}</math>… となおすことができます。

いま、<math>\frac{1}{2}</math>と<math>\frac{1}{3}</math>は それぞれ <math>\frac{3}{6}</math>、<math>\frac{2}{6}</math> になおせました。このように、2つ以上の分数を 分母が同じ大きさになるように直すことを '''{{ruby|通分|つうぶん}}する'''　といいます。通分する方法には、'''すべての分数の分母を すべての分数の分母の最小公倍数にそろえる'''方法があります。

==== 分数のたし算とひき算 ====
分母がことなる分数のたし算やひき算について考えてみましょう。

では、<math>\frac 1 3 + \frac 1 5</math>について考えてみましょう。

分母が同じ分数のたし算はすでに学んでいます。そこで '''通分''' して、分母をそろえると、

<math>\frac{5}{15} + \frac{3}{15}</math>

となります。これを計算すると <math>\frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15}</math> となるので、答えは <math>\frac{8}{15}</math> です。

では、<math>\frac 5 6 - \frac 1 2</math>について考えましょう。
これも、先ほどと同じように通分して、
:<math>\frac 5 6 - \frac 1 2=\frac 5 6-\frac 3 6=\frac 2 6=\frac 1 3</math>
となります。上のように、'''答えが約分できる場合は、必ず約分します。'''

==== わり算と分数 ====
次の問題を解いてみましょう。
*2Lのジュースを3等分します。1人分は何Lになりますか。

式は <math>2 \div 3</math> となります。

小数で表すと <math>2 \div 3 = 0.666 \cdots \cdots</math> となり、わりきれません。

1Lを3等分した量は、<math>\frac{1}{3}</math>Lになります。

2Lは1Lの2つ分です。

2Lを3等分した量のうちの1つは1Lを3等分した量の2つ分であるから、<math>\frac{2}{3}</math> Lになります。

したがって <math>2 \div 3 = \frac{2}{3}</math> となります。

このように、分数は、分数を使うと{{ruby|正確|せいかく}}に表すことができます。


整数どうしのわり算の商は、分数で表すことができます。

<math>\bigcirc \div \triangle = \frac{\bigcirc}{\triangle}</math>

また、0.5と0.24を分数になおしましょう。

<math>0.1 = \frac{1}{10} </math> であるから、<math>0.5 = \frac{5}{10} </math> <math>(=\frac{1}{2})</math>

<math>0.01 = \frac{1}{100} </math> であるから、<math>0.24 = \frac{24}{100} </math> <math>(=\frac{6}{25})</math>

小数は、10、100などを分母とする分数になおすことができます。

<!--ここいる？計算の結果、分数は約分することで整数になることもあるよって説明のほうが実用性あるかも-->
5を分数になおしましょう。
:<math>5 = 5 \div 1 = \frac{5}{1}</math>
:<math>5 = 10 \div 2 = \frac{10}{2}</math>
整数は、1などを分母とする分数になおすことができます。

== 計算のきまり ==
次の問題を考えましょう。

●と○は全部で何個ありますか。
:<math> \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet </math>
:<math> \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet </math>
:<math> \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet </math>
:<math> \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet </math>
:<math> \circ \circ \circ \circ \circ \circ </math>
:<math> \circ \circ \circ \circ \circ \circ </math>
:<math> \circ \circ \circ \circ \circ \circ </math>

<math> \bullet </math>と<math> \circ </math>を全部あわせて考えると、たてが黒4つ白3つで横が6つになるので、
:<math> (4+3) \times 6 = 42</math>
<math> \bullet </math>の数と<math> \circ </math>の数をそれぞれ求めてあわせると
:<math> (4 \times 6) + (3 \times 6) = 42</math>
よって
:<math> (4+3) \times 6 = (4 \times 6) + (3 \times 6)</math>
が成り立ちます。

(　)を使った式の計算には次のような法則（ほうそく）があります。
:<math> ( \Box + \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times \triangle + \bigcirc \times \triangle </math>
:<math> ( \Box - \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times \triangle - \bigcirc \times \triangle </math>

このような法則（ほうそく）を <big>分配法則</big>（ぶんぱいほうそく） といいます。（小学校では、法則名は覚えなくても構いません。）


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。
:<math>\begin{align}
 27 \times 9 + 33 \times 9  & = ( 27 + 33 ) \times 9 \\
                            & = 60 \times 9\\
                            & = 540\\
\end{align}
</math>

:<math>\begin{align}
 98 \times 27  & = ( 100 - 2 ) \times 27 \\
               & = 100 \times 27 - 2 \times 27\\
               & = 2700 - 54\\
               & = 2646\\
\end{align}
</math>


たし算とかけ算には、次のようなきまりがあります。
:<math> \Box + \bigcirc = \bigcirc + \Box </math>
これを たし算の <big>交換法則</big>（こうかん ほうそく）と言います。

:<math> ( \Box + \bigcirc ) + \triangle = \Box + ( \bigcirc  + \triangle ) </math>
これを たし算の <big>結合法則</big>（けつごう ほうそく）と言います。

:<math> \Box \times \bigcirc = \bigcirc \times \Box </math>
これを かけ算の <big>交換法則</big>（こうかん ほうそく）と言います。

:<math> ( \Box \times \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times ( \bigcirc  \times \triangle ) </math>
これを かけ算の <big>結合法則</big>（けつごう ほうそく）と言います。


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。
:<math>\begin{align}
 (8+16)+84  & = 8+(16+84) \\
            & = 8+100 \\
            & = 108\\
\end{align}
</math>

:<math>\begin{align}
 36 \times 25 = 9 \times (4 \times 25) \\
                          & = 9 \times 100 \\
                          & = 900 \\
\end{align}
</math>

== 図形 ==
=== 合同 ===
[[File:Congtri.png|thumb|300px|図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。]]

2つの図形が、その図形の位置や向きをかえて、形と大きさをかえずに、重ねられるとき、その2つの図形は '''{{ruby|合同|ごうどう}}である''' といいます。

=== 多角形 ===
[[Image:Apothem_of_hexagon.svg|thumb|right|正六角形]]
<big>多角形</big> （たかくけい）とは、3本以上の線でかつそのどれもが結ばれた図形のことを言います。名前は線が3本なら 三角形 、4本なら 四角形 、5本なら 五角形（ごかくけい）、・・・というふうになります。

また、辺の長さと角の大きさが全て同じである多角形のことを <big>正多角形</big> （せいたかくけい）と言います。三角形の場合は正三角形、四角形の場合は正四角形（「正方形」（せいほうけい）というのがふつうです）、五角形の場合は正五角形・・・というふうになります。
[[File:Regular polygon 5 annotated.svg|thumb|left|正五角形]]

==== 正多角形のかきかた ====
正多角形は、まず円をかき、その中心の周りの角を等分することでかけます。例えば正五角形は、円をかき、その中心の周りの角を５等分して、72°ずつに区切り、区切る直線が縁と交わったところの点を結ぶことで書けます。なお、正六角形は、

=== 図形の角 ===

==== 三角形の3つの角の大きさの和 ====
三角形をかいて、3つの角をはかって和を求めてみましょう。三角形の3つの角の大きさの和は、どんな三角形でも 180°になります。

==== 四角形の4つの角の大きさの和 ====
四角形の4つの角の大きさの和は、どんな四角形でも 360°になります。

四角形に対角線を1本引けば、ふたつの三角形に分かれるので、２つの三角形の三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

==== 多角形の内角の和 ====
{{clear}}
五角形では、五角形の5つの角の大きさの和は、三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

[[File:Catalan number triangulation.png|center|600px|]]

五角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく五角形の内角の和は三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。
:五角形の内角の和は 180°×(5－2)＝540° より、五角形の内角の和は 540°になります。
{{clear}}
[[File:Catalan-Hexagons-example.svg|center|600px|]]

六角形の6つの角の大きさの和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく六角形の6つの角の大きさの和は、4つの三角形の3つの角の大きさの和になります。

{{clear}}


=== 円周の長さと円周率 ===
円のまわりの長さを {{ruby|円周|えんしゅう}} といいます。
例えば、
:では、直径7cmの円の円周は何cmでしょう。

円周は曲がっているので、定規でははかれません。しかし「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを <big>円周率</big>（えんしゅうりつ） といいます。

円周率は分数で表すことはできず、また小数で表しても{{ruby|限|かぎ}}りなく続く数字で、 およそ'''3.14'''であることが わかっています。なので、小学校では、円周率は 3.14 として計算することが多いです。

:円周÷直径＝3.14

でしたから、

:円周＝直径×3.14

ですね。はじめの問題を{{ruby|解|とく}}くと、7×3.14＝21.98(cm)というようになります。

{{コラム|円周率の研究の{{ruby|歴史|れきし}}|
円と、円にぴったり入る正多角形と、円がぴったり入る正多角形をかくと、この円の周は内側の正多角形より長く、外側の正多角形よりは短くなり、これから円周率のおよその値がわかります。古代ギリシアの数学者アルキメデスは、円にぴったり入る正96角形と、円がぴったり入る正96角形を使い、円周率は<br>3<math>\frac{10}{71}</math> (＝3.1408…)より大きく、3<math>\frac{1}{7}</math> (＝3.1428…)より小さいことを発見しました。また、オランダの数学者ルドルフ（1539年～1610年)は、<br>正4611686018427387904角形（正2の62乗角形）を使って、円周率を小数点以下35けたまで求めました。その後も、日本の数学者　関孝和（せきたかかず）や建部賢弘（たけべかたひろ）などが円周率を研究しました。2024年現在、コンピューターを用いて、202兆1122億9000万桁以上計算されています。（正多角形の考え方ではなく、「計算結果が円周率になる式」が使われています。）今でも、円周率は日々計算されています。
}}

=== 面積 ===
'''面積'''は、図形の広さを表すものです。例えば、

面積は長方形・正方形の場合は、'''たて×よこ'''で表すことができました。

たとえば、たて4cm、よこ5cmの長方形の面積は、4×5＝20（cm<sup>2</sup>）となります。

次の図形でも、面積は次のように求めることができます。

==== 三角形の面積 ====
[[File:三角形の面積1.png|thumb|right|200px|図1]]
[[File:三角形の面積2.png|thumb|right|200px|図2]]
[[File:三角形の説明.png|thumb|right|200px|図3]]
右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。'''図1'''の三角形の面積を考えてみましょう。
:'''図2'''のように三角形の周りにたて4cm、横8cmの面積を作ると面積の等しい直角三角形が2組できます。だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、'''図3'''のように、三角形で、ある辺を'''{{ruby|底辺|ていへん}}'''としたとき、向かい合う{{ruby|頂点|ちょうてん}}から底辺に{{ruby|垂直|すいちょく}}に引いた直線を'''高さ'''といいます。辺と高さが重なったり、高さが図形の外にきたりすることもあります。'''図2'''の長方形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、三角形の面積の公式は '''底辺×高さ÷2''' となります。図3のように高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。図1の三角形の面積は <math>8\times4\div2=16</math> より、16cm<sup>2</sup>となります。

==== 平行四辺形の面積 ====
[[File:平行四辺形の面積1.png|thumb|right|200px|図1]]
[[File:平行四辺形の面積2.png|thumb|right|200px|図2]]
[[File:平行四辺形の面積3.png|thumb|right|200px|図3]]
[[File:平行四辺形の説明.png|thumb|right|200px|図4]]

右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。'''図1'''の平行四辺形の面積を考えてみましょう。
:'''図2'''の位置から'''図3'''の位置に色の{{ruby|濃|こ}}い三角形を移動すると、だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、'''図4'''のように、平行四辺形で、ある辺を'''{{ruby|底辺|ていへん}}'''としたとき、底辺とそれに向かい合う辺のはばを '''高さ''' といいます。'''図2'''の平行四辺形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、平行四辺形の面積の公式は '''底辺×高さ''' となります。高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。'''図1'''の平行四辺形の面積は <math>\times7\div5=35</math> より、35cm<sup>2</sup>となります。

==== 台形とひし形の面積 ====
===== 台形 =====
[[File:台形の面積1.png|thumb|right|200px|図1]]
[[File:台形の面積2.png|thumb|right|200px|図2]]
[[File:台形の説明.png|thumb|right|200px|図3]]
'''図1'''の台形の面積を考えてみましょう。
:'''図2'''のように、この台形を2つならべると平行四辺形ができます。台形の面積はこの平行四辺形の半分です。'''図3'''のように、台形にで、平行な2本の辺をそれぞれ '''{{ruby|上底|じょうてい}}'''、'''{{ruby|下底|かてい}}''' といいます。この平行四辺形で、底辺は(上底＋下底)で、高さはもとの台形の高さと同じなので面積は (上底＋下底)×高さ　となります。台形の面積はこの半分なので、台形の面積の公式は '''(上底＋下底)×高さ÷2''' となります。
{{clear}}
===== ひし形 =====
[[File:ひし形の面積1.png|thumb|right|200px|図1]]
[[File:ひし形の面積2.png|thumb|right|200px|図2]]
[[File:ひし形の説明.png|thumb|right|200px|図3]]
'''図1'''のひし形の面積を考えてみましょう。
:'''図2'''のように、ひし形の周りに長方形を作ります。ひし形の面積は長方形の面積のちょうど半分です。長方形のたてと横はそれぞれひし形の対角線となっています。ですから、'''図3'''のように、ひし形の面積の公式は '''対角線×対角線÷2''' となります。

=== 体積 ===
2年生では、「かさ」や「L」などの単位について、ならいました。

[[File:CubeLitre.svg|thumb|1Lと、立方（りっぽう）センチメートルとの、かんけい。<br>1L=1000cm<sup>3</sup>である。]]
立体の、空間での大きさ（今までに習った「かさ」のこと）を <big>体積</big> （たいせき） といいます。

面積では、縦（たて）と横（よこ）が 1cm の正方形の面積のことを 1cm<sup>2</sup> と いいました。

体積では、縦（たて） と 横（よこ） と 高さ（たかさ） が 1cm の 立方体 の 体積 を '''1cm<sup>3</sup>''' と 書き 、「 1 立方（りっぽう） センチメートル」といいます。

体積は、縦と 横と 高さが 1cm の 立方体 の 体積（1cm<sup>3</sup>）が、いくつ分かで表します。

直方体（ちょくほうたい） は 長方形 が たくさん 積み 重なった もの 、 立方体は 正方形 が たくさん 積み 重なったもの と 考えてみると、体積は '''たて×横× 高さ''' の式で 求めることができます。

立方体（りっぽうたい） は 全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり '''縦×横''' の式で計算できます。

つまり、
* 直方体の体積は '''たて×横×高さ '''
* 立方体の体積は '''1辺×1辺×1辺'''
で求めることができます。

下の問題を見てみましょう。

* 縦2cm 、 横3cm 、 高さ6cm の 直方体の 体積を　もとめましょう。
という問題があります。

直方体の体積は '''縦×横×高さ''' なので、2×3×6=36（cm<sup>3</sup>）と求められます。


* 立方メートル
一辺が1mの立方体の体積を1立方メートル（いち りっぽうメートル）と言い 1m<sup>3</sup> と書きます。1立方メートルを立方センチメートルで書いたとすると、1mは100cmですから、1m<sup>3</sup> は 
:1m<sup>3</sup> = 100cm × 100cm × 100cm = 1000000 cm<sup>3</sup>
です。（一立方メートルは、百万立方センチメートル）


* 内のりと容積
コップや水槽（すいそう）、プールなど、水などの液体（えきたい）をいれる容器（ようき）について、容器の内部の長さを<big>内（うち）のり</big>といい、その容器に入りきる液体の体積を <big>容積</big>（ようせき） といいます。

容積の単位（たんい）は、体積と同じようにLやdLや立方cm<sup>3</sup>や立方m<sup>3</sup>などを、つかいます。


なお、1Lは 1000cm<sup>3</sup> です。つまり
:1L=1000cm<sup>3</sup>
です。

1dLは 100cm<sup>3</sup> です。つまり
:1dL=100cm<sup>3</sup>
です。


1mLは  1cm<sup>3</sup> です。つまり
:1mL = 1cm<sup>3</sup> 
です。


{{clear}}

== 角柱と円柱 ==
=== 角柱と円柱 ===
* 三角柱
三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。

三角柱には、頂点が 6個 あります。（数えてみてください。）

三角柱には、辺が 9本 あります。（数えてみてください。）

三角柱の上下の２つの三角形の面を <big>底面</big>（ていめん） と言います。

底面の面積のことを <big>底面積</big>（ていめんせき） と言います。

三角柱の底面積は、底面の円の面積とおなじです。


上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習（かんしゅう）で、こう呼びます。

三角柱の、２つの三角形である底面のあいだのきょりを、三角柱の <big>高さ</big> といいます。

三角柱の、展開すると四角形になる部分の面を <big>側面</big>（そくめん） と言います。

側面の面積のことを <big>側面積</big>（そくめんせき） と言います。




{{clear}}

* 円柱
[[File:Cylinder.svg|thumb|left|100px|円柱（えんちゅう）<br>この図では、hが「円柱の高さ」です。]]
[[Image:ZylinderNetz.svg|thumb|円柱の展開図]]
*:トイレットペーパーの しん の ような 同じ大きさの円 が 積み重なってできた立体を <big>円柱</big> （えんちゅう）と言います。

{{clear}}
円柱には面が3個あります。

円柱の面のうち2個は円です。


円柱の上下の２つの円の面を <big>底面</big>（ていめん） と言います。

円柱の、２つの円である底面の中心を結んだきょりを、円柱の <big>高さ</big> といいます。

円柱の、展開すると四角形になる部分の面を <big>側面</big>（そくめん） と言います。


展開図をみると、側面積の縦の長さを「円柱の高さ」にとった場合は、側面積の横の長さは、底面の円周です。

です。

{{clear}}

== 数量関係 ==
=== 単位量あたりの大きさ ===
==== 単位量あたりの量 ====
サッカーボールを買うために、2つの店 A店とB店に行きました。
:A店では 「サッカーボール2つ3000円」で売っており、
:B店では「サッカーボール5つ8000円」で売っていました。
:どちらが安いといえるでしょうか。

ここでは、サッカーボールの数が{{ruby|違|ちが}}います。どのように{{ruby|比|くら}}べればよいでしょうか。


一方、「サッカーボール1つで1200円」と、「サッカーボール1つで1300円」とであれば、
「サッカーボール1つで1200円」の方が安いということはすぐ分かります。

つまり、サッカーボールの数が違うときは、サッカーボール1つあたりの{{ruby|値段|ねだん}}を{{ruby|比|くら}}べれば、どちらが安いか分かるわけです。


このように、「～1つあたり」のようなものを、''単位あたりの量''といいます。「単位」というのは、「{{ruby|基準|きじゅん}}とする量」のことです。ふつうは1を基準とします。
:(注意)「{{ruby|豚|ぶた}}肉100gあたり130円」などというように、１を基準としないものもあります。

:A店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、<math>3000 \div 2=1500</math>円で、
:B店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、<math>8000 \div 5=1600</math>円で、
1個あたりの値段で比べれば、A店のほうが安いといえます。

(練習問題)

*サッカーボール5個で6000円のとき、サッカーボール1個あたりの値段を求めましょう。
:<math>6000 \div 5 = 1200</math>(円)
*サッカーボール1個あたり1000円のとき、3個買うと、全部でいくらですか。
:<math>1000 \times 3 = 3000</math>(円)
*1.5Lのジュースが、180円でした。このジュース1Lあたりの値段を求めましょう。
:<math>180 \div 1.5 = 120</math>(円)
*1Lあたり130円のジュースを2.3L買いました。全部でいくらですか。
:<math>130 \times 2.3 = 299</math>（円）
*1.5Lのジュースが、200円でした。1円あたりジュースを何L買えるでしょう。
:<math>1.5 \div 200 = 0.0075</math>（L）

==== 人口密度 ====
1km<sup>2</sup>あたりの人口を'''{{ruby|人口密度|じんこうみつど}}'''といいます。
では、{{ruby|東京|とうきょう}}都と{{ruby|高知|こうち}}県の人口密度を求めてみましょう。

:東京都の人口：1351万人、面積：2191km<sup>2</sup><br>
:高知県の人口：72万人、面積：7104km<sup>2</sup>   （2015年の{{ruby|国政調査|こくせいちょうさ}}データ・改)

:東京都：1351000÷2191=6166.13…　より、約6200人、　
:高知県：720000÷7104=101.35…　より、約100人　
:となります。

=== 速さ ===
==== 速さ ====
ここでは、特に[[w:速度|速さ]]について学んでいきましょう。
例えば、ライオンが9秒間に、200mだけ走ったとします。また、キリンは、6秒間に100mだけ走ったとします。このとき、ライオンは1秒間におよそ22.2m,キリンは、1秒間におよそ16.7m走ったことになります。このように、ある時間あたり進める長さを'''速さ'''といます。
速さはある時間あたりの速さを表すものですから、速さは
:速さ＝道のり÷時間　
:という式で、求められます。

{{ruby|時速|じそく}}とは、1時間あたりに進む{{ruby|距離|きょり}}で速さをあらわした、速さの単位です。
たとえば、1時間に10kmを進む自転車の速さは、時速10kmです。2時間で14kmを進んだら、時速7kmです。

{{ruby|分速|ふんそく}} とは、1分あたりに進む{{ruby|距離|きょり}}で速さをあらわした、速さの単位です。
たとえば、時速10kmという速さを分速になおすと 
:10÷60=0.16666…
より、およそ分速0.167kmに、つまり、およそ分速167mになります。

{{ruby|秒速|びょうそく}} とは、1秒あたりに進む距離（きょり）で速さをあらわした、速さの単位です。
たとえば秒速15cmを分速になおすと、
:15×60=900
より、秒速15cmは、分速900cm、つまり分速9mとなります。

なお、「時速5km」を、「毎時5km」「5km/h<ref>kmはキロメートル、hは英語で一時間を表す"hour"の意味です。この記号の意味は道のり(km)÷時間（h）、つまり分数で表すとkm/hとなるのです。</ref>」などと表すこともあります。
*問題1
あるマラソン選手が42.195kmを、2.2時間で走り終えました。この選手の速さは、時速何kmですか。
*答え
式は42.195<math>\div</math>2.2 となります。これを計算すると 19.17…となるので、およそ時速19.2kmとなります。

=== 速さの公式 ===
速さ＝道のり÷時間　であるから
:道のりは 道のり＝速さ×時間 という式で求められます。
:同じように考えてみると
:時間は 時間＝道のり÷速さ という式で求められます。
* 問題2　
:(1)時速40kmで3時間走った車は、何km進みましたか。
:(2)A君は、9kmはなれたところにあるおばさんの家に、時速15kmの自転車で向かっています。何分でつきますか。
(分速を求める方法と、何時間でつくか求める方法でやってみましょう)

=== 割合 ===
==== はじめに ====
 5年生は200人いて、そのうち音楽をよく聞く人は100人です。一方、6年生は50人いて、
 そのうち音楽をよく聞く人は30人です。
 5年生と、6年生では、どちらの方が音楽をよく聞くといえるでしょうか。

{{ruby|簡単|かんたん}}には、分かりませんね。

それは、5年生と6年生で、全体の人数が{{ruby|違|ちが}}うからです。

そこで、{{ruby|比|くら}}べるために、5年生と6年生のの人数をそろえてみます。

たとえば、全体の人数を100人にそろえてみましょう。


5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを2でわって100人にします。
:同時に、音楽好きな人の人数も2でわります。

 <5年生>
 全体の人数　：200人 --> 100人(2でわった）
 音楽好きな人：100人 -->  50人(2でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを2倍して100人にします。
同時に、音楽をよく聞く人の人数も2倍します。
 <6年生>
 全体の人数　： 50人 --> 100人(2倍した)
 音楽好きな人： 30人 -->  60人(2倍した)

つまり、全体の人数が100人だったとすると、音楽をよく聞く人は、5年生では50人、6年生では60人
いることになります。

この結果、6年生の方が音楽をよく聞くと言えます。

ここでは全体の人数を100人にあわせましたが、もちろん他の数にしても同じ結果になるはずです。

それでは、全体の人数が1人だとして、同じように計算してみましょう。

5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを200でわって1人にします。
同時に、音楽をよく聞く人の人数も200でわります。

 <5年生>
 全体の人数　：200人 -->   1人 (200でわった)
 音楽好きな人：100人 --> 0.5人 (200でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを50で割って1人にします。
同時に、音楽好きな人の人数も50で割ります。
 <6年生>
 全体の人数　： 50人 -->    1人 (50で割った)
 音楽好きな人： 30人 -->  0.6人 (50で割った)

つまり、全体の人数が1人だったとすると、音楽好きな人は、５年生で0.5人、６年生では0.6人
いることになります。

この結果、6年生の方が音楽好きであると言え、先ほどと同じ結果になりました。

この2つめの例のように、ある量(もとにする量という）を1としたとき、別のある量(くらべる量という)がある量の何倍かを表す数を
:'''{{ruby|割合|わりあい}}'''といいます。

==== 割合 ====
{{ruby|一般|いっぱん}}に、割合は

割合というのは、「ある量('''比べる量''')が、ある別の量('''もとにする量''')の何倍かということです。
ですから、
'''割合 = くらべる量 ÷　もとにする量'''
:という式で求めることができます。

また、この式から、
:'''くらべる量 = もとにする量 ×　割合'''、

:'''もとにする量 = くらべる量 ÷　割合'''
:となります。

=== 割合の表し方 ===
割合は例えば「このりんごジュースは{{ruby|果汁|かじゅう}}100%です。」や「あるプロ野球選手の今シーズンの打率は3{{ruby|割|わり}}1{{ruby|分|ぶ}}5{{ruby|厘|りん}}でした。」などと使われます。この単位はどのような割合を表すか見てみましょう。

==== 百分率 ====
0.01倍を 1{{ruby|％|パーセント}}と表す表し方を {{ruby|百分率|ひゃくぶんりつ}} といいます。ですから、元にする量は 100% となります。

==== 歩合 ====
0.1倍を 1'''{{ruby|割|わり}}'''、0.01倍を'''{{ruby|分|ぶ}}'''、0.001倍を'''{{ruby|厘|りん}}'''と表す割合の表し方を「'''{{ruby|歩合|ぶあい}}'''」といいます。野球の打率などの表し方で使われています。
例えば、上の打率3{{ruby|割|わり}}1{{ruby|分|ぶ}}5{{ruby|厘|りん}}は1000回バットを振ると315回ボールに当たるという意味になります。


=== 割合を表すグラフ ===
{{節stub}}

割合を表すグラフには、'''{{ruby|帯|おび}}グラフ'''と'''{{ruby|円|えん}}グラフ'''があります。

== 比例 ==
2つの量で、一方が2倍、3倍、…となったとき、もう一方が2倍、3倍、…となるとき、2つの数量は {{ruby|比例|ひれい}}している といいます。

=== 図形と比例 ===
<!--事実的にはそうなんだけど、もっと説明入れてもいいかも-->
* 直方体において、高さが変わっていくとき、高さと体積は比例します。
* 三角形や平行四辺形において、高さが変わっていくとき、高さと面積は比例します。

== 平均 ==
3つのコップに 160mL、210mL、230mL のジュースが入るので、これをAさん、Bさん、Cさんの3人で飲もうと思います。しかし、これでは、1人分の量が {{ruby|均等|きんとう}} ではありません。そこで、3人でぴったり分ける方法を考えましょう。
:3つのコップのジュースを合わせて、それを同じ量ずつ3つのコップに分けることにしました。このとき、3つのコップのジュースの量の合計は160+210+230=600 (mL) になるので、1人分の量は 600÷3=200 (mL) となります。
このように、いくつかの数量を、1つあたりの量が等しくなるようにならしたものを '''{{ruby|平均|へいきん}}'''といいます。
{| style="border:2px solid greenyellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:greenyellow"|'''平均の求め方'''
|-
|style="padding:5px"|
<big>平均＝合計÷{{ruby|個|こ}}数</big>
|}
また、合計＝平均×個数、個数＝合計÷平均 となります。

* 問題1
8人に算数のテストを行ったところ、点数は
:<math>
75,87,50,38,68,84,72,78
</math>
となりました。このテストの8人の平均点は何点ですか。

** 答え
平均 = 合計 ÷ 個数 なので
:<math>
 (75+87+50+38+68+84+74+78) \div 8

:= 69.25
</math>(点)
となります。
なお、平均は小数や分数となることもあります。
<!-- (75+87+50+38+68+84+74+78)8 =69.25  -->

また、、10人いるクラブの各メンバーの体重が、つぎのようなとき、

* データ1
<table border="1">
<tr align="center">
<th>番号</th>
<td colspan="2">1</td>
<td colspan="2">2</td>
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="2">4</td>
<td colspan="2">5</td>
<td colspan="2">6</td>
<td colspan="2">7</td>
<td colspan="2">8</td>
<td colspan="2">9</td>
<td colspan="2">10</td>
</tr>
<th>体重（kg）</th>
<td colspan="2">60.3</td>
<td colspan="2">57.9</td>
<td colspan="2">65.4</td>
<td colspan="2">56.1</td>
<td colspan="2">53.6</td>
<td colspan="2">62.7</td>
<td colspan="2">70.0</td>
<td colspan="2">55.8</td>
<td colspan="2">67.1</td>
<td colspan="2">63.1</td>
</tr>
</table>


体重の平均は
:<math>
(60.3+57.9+65.4+56.1+53.6+62.7+70.0+55.8+67.1+63.1) \div 10 = 61.2 (kg)
</math>
より、61.2 kg が平均の体重となります。

=== 平均の{{ruby|扱|あつか}}いかた ===

下の表は、ウィキ小学校の5年1組の、ある1週間の、本の{{ruby|貸|か}}し出し{{ruby|冊数|さっすう}}です。<br>
{| class="wikitable"
|+ 貸し出し冊数
! 冊数・曜日 !! 月 !! 火 !! 水 !! 木 !! 金 
|-
! 貸出冊数
| 8 || 5 || 0 || 6 || 9
|}


この表では、水曜日に、０冊とまったく借りられていませんが、「０」のデータでも平均に{{ruby|含|ふく}}めます。
:貸出冊数の平均は、<math>(8+5+0+6+9)\div5=5.6</math>　より、5.6冊です。


下は、Aさんの、5回の{{ruby|幅跳|はばと}}びの結果を表したものです。
{| class="wikitable"
|+ 記録
! 回数 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5
|-
! 記録
| 158cm || 167cm || 161cm || 327cm || 164cm 
|}
４回目に、ほかの記録と大きくはなれた「327cm」という記録が出ていますが、はかりまちがえてしまったようです。
:このような、記録ミスなどによる、大きくはなれたデータがあるときは、それをふくめずに平均を計算することがあります。
:ここでは、平均は
:<math>(158+167+161+164)\div4=162.5</math>で、平均は162.5cmです。

=== 平均の求め方のくふう ===
あるグループの5人の身長は、145cm,156cm,149cm,141cm,152cm となっています。この5人の身長の平均を求めてみましょう。
:ふつうに計算すると <math>(145+156+149+141+152) \div 5 = 148.6(cm)</math>となりますが、これを計算するのは少し大変です。
:そこで、くふうした平均の計算方法を考えてみましょう。
:まず、5人の身長はすべて140cmより高いので、「5人の身長と140cmの差」の平均を求めて、それに140をたす という方法で平均を求めてみましょう。
:まず、「5人の身長と140cmの差」の平均は <math>(5+16+9+1+12) \div 5 = 8.6(cm)</math>となります。
:これに140をたすと 8.6+140=148.6 となり、これでも平均を求められます。
:また、一番身長の低い人の身長は、141cmです。そこで、「5人の身長と141cmの差」の平均を求めて、それに141をたす という方法で平均を求めてみましょう。
:まず、「5人の身長と141cmの差」の平均は <math>(4+15+8+0+11) \div 5 = 7.6(cm)</math>となります。
:これに141をたすと 7.6+141=148.6 となり、これでも平均を求められます。
:このように、くふうして平均を求めることができます。

== 算数ドリル ==
下の「5年生のための算数ドリル」の文字を{{ruby|押|お}}すと、

見ているページが、算数ドリルのぺージに、変わります。

* [[算数演習 小学校5年生|5年生のための算数ドリル]]

[[Category:小学校算数|5かくねん]]