圏論/代数系/順序のソースを表示

<div id="擬順序">
<div id="3.1">
<strong>3.1　</strong>
集合 <math>A</math> 上の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>\rho</math> が[[圏論/代数系/関係, 同値関係#反射律|反射律]]と
[[圏論/代数系/関係, 同値関係#推移律|推移律]][[圏論/代数系/関係, 同値関係#2.2|(2.2参照)]]をみたすとき，
<math>\rho</math> は'''擬順序'''であるという．
<math>A</math> 上の[[圏論/代数系/順序#擬順序|擬順序]] <math>\rho</math> がさらに

<div id="反対称律">
<div id="順序">
;'''反対称律'''：
:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>a\rho b</math> かつ <math>b\rho a</math> ならば <math>a = b</math> である

をみたすとき、<math>\rho</math> は'''順序'''であるといい、さらに

<div id="全律">
<div id="全順序">
;'''全律'''：
:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>a\rho b</math> または <math>b\rho a</math> である<ref>
「<math>a \rho b</math> でも <math>b \rho a</math> でもない」がありえないことをいう．「<math>a \rho b</math> かつ <math>b \rho a</math>」 は[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]]よりありうる．
</ref>

が成立するとき <math>\rho</math> は'''全順序'''であるという．
これら二つの条件は[[圏論/代数系/関係, 同値関係#含意型|含意型]][[圏論/代数系/関係, 同値関係#2.4|(2.4参照）]]ではない．
<div id="擬順序集合">
<div id="順序集合">
<div id="全順序集合">
<div id="大きい">
<div id="小さい">
[[圏論/代数系/順序#擬順序|擬順序]]，[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]，[[圏論/代数系/順序#全順序|全順序]]の定義された集合をそれぞれ'''擬順序集合'''，'''順序集合'''，'''全順序集合'''という．
[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]の記号は慣例的に <math>\leqq</math> で表し，<ref>
[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]]を満たすことから、等号を含む。
</ref>
<math>a\leqq b</math> のとき，<math>a</math> は <math>b</math> より'''小さい'''，
また <math>b</math> は <math>a</math> より'''大きい'''という．

数の集合 <math>Z, Q, R</math>[[圏論/代数系/古典的代数系#1.4|(1.4参照)]]等はすべて自然の[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]で[[圏論/代数系/順序#全順序集合|全順序集合]]である．
集合の間の包含関係，関係の間の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強弱関係]]
<ref>
[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>\rho\sigma</math> の間の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強弱関係]]は、<math>U_{\rho}, U_{\sigma}</math> の包含関係となるから。
</ref>
などは[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]である．<ref>
<math>a</math> は <math>b</math> の倍数であるとき <math>a\rho b</math> とすると <math>\rho</math> は[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]である．[[圏論/代数系/関係, 同値関係#反射律|反射律]]・
[[圏論/代数系/関係, 同値関係#推移律|推移律]] ・[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]] は成立するするが，[[圏論/代数系/順序#全律|全律]] はあてはまらない．
</ref>

<div id="骨格">
<math>\rho</math> が集合 <math>A</math> 上の[[圏論/代数系/順序#擬順序|擬順序]]のとき，<math>a, b \in A</math> に対して
<math>a \sim b </math> とは <math>a\rho b </math> かつ <math>b\rho a</math> であることと定義すれば
<math>\sim</math> は[[圏論/代数系/関係, 同値関係#対称律|対称律]]もみたし，従って <math>A</math> の上の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]となる．
この各[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値類|同値類]]から一つずつ代表元をとって，それらの集合を <math>B</math> とすれば
<math>B \subset A</math> で，<math>\rho</math> を <math>B</math> 上に制限したものは
[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]]をみたし，従って <math>B</math> 上の[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]となる．
<math>B</math> を[[圏論/代数系/順序#擬順序集合|擬順序集合]] <math>A</math> の'''骨格'''という．
<ref>
集合 <math>A</math> を複素平面上とし、<math>\rho</math> を <math>A</math> 上の各要素を
その絶対値で比較する[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]]とするとき、<math>\rho</math> は[[圏論/代数系/順序#擬順序|擬順序]]。2つの複素数 <math>a, b</math> の絶対値が
等しいからといって、<math>a = b</math> とは限らない。すなわち[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]]は満たさない。
<math>\sim</math> は
複素平面上の絶対値が等しいことを示し、これは原点を中心とする複素平面の同心円上に[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値類|同値類]]を作る。
この同心円と x 軸との交点を代表元として x 軸上の点(ただし <math>x \geqq 0</math>)を <math>B</math> とすると、
<math>B</math> は <math>A</math> の[[圏論/代数系/順序#骨格|骨格]]となる。なおこの例では <math>B</math> 上の <math>\rho</math> は
[[圏論/代数系/順序#全順序|全順序]]でもある．
</ref>


<div id="3.2">
<strong>3.2</strong>
<math>L</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#半束|半束]][[圏論/代数系/古典的代数系#1.8|(1.8 参照)]]のとき，
<math>a\leqq b</math> とは <math>ab=b</math> となることとして
<math>L</math> 上に[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>\leqq</math> を入れれば
<math>\leqq</math> は[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]である．
実際 <math>aa=a</math> であるから <math>a \leqq a</math>．
<math>a\leqq b</math> かつ <math>b \leqq a</math> であれば
<math>ab=b</math> かつ <math>ba=a</math>，
よって[[圏論/代数系/古典的代数系#可換律|可換律]]より
<ref>
[[圏論/代数系/古典的代数系#半束|半束]]<math>L</math> は[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]な[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]であるから <math>ab=ba</math>．
</ref>
<math>a=b</math>．
<math>a\leqq b</math> かつ <math>b\leqq c</math> ならば
<math>ab = b</math> かつ <math>bc = c</math> だから[[圏論/代数系/古典的代数系#結合律|結合律]]から
<math>ac=a(bc)=(ab)c = bc = c</math>． よって
<math>a\leqq c</math> で <math>\leqq</math> は[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]の三条件
<ref>[[圏論/代数系/関係, 同値関係#反射律|反射律]]・[[圏論/代数系/関係, 同値関係#推移律|推移律]]・[[圏論/代数系/順序#反対称律|反対称律]]</ref> をみたす．

次にこの[[圏論/代数系/順序#順序|順序]] <math>\leqq</math> で <math>ab</math> は
<math>a, b</math> のどちらよりも大きい元の中で最小のものを与えている．
実際、<math>c=ab</math> ならば <math>ac = a(ab) = (aa)b = ab =c</math> で <math>a \leqq c</math>．
同様にして <math>b \leqq c</math>．
<ref>
<math>c=ab</math> のとき <math>bc = b(ab) = b(ba)(\because ab = ba) = (bb)a = ba = ab = c</math>
</ref>
さらに <math>a\leqq x</math> かつ <math>b\leqq x</math> であれば <math>ax=x</math> かつ <math>bx = x</math>
であるから <math>cx = (ab)x = a(bx) = ax = x</math> で <math>c \leqq x</math>
<ref>
すなわち <math>a\leqq x</math> かつ <math>b\leqq x</math> をみたす <math>x</math> の中で最小のものが
<math>c=ab</math>．この節の式変形では <math>ab=a</math>あるいは<math>ab=b</math> のどちらかの仮定を使用した式変形は使われていない．
</ref>である．<ref>
<math>N</math> 上にて演算 <math>\bot</math> を <math>a, b \in N, a \bot b</math> は <math>a, b</math> の最小公倍数と定義した場合，
<math>N</math> は <math>\bot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#半束|半束]]であり，
[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>\leqq</math> を 「<math>a \bot b = b</math> ならば <math>a \leqq b</math>」 とした場合
<math>\leqq</math> は[[圏論/代数系/順序#順序|順序]]で，<math>a \leqq b</math> ならば <math>a</math> は <math>b</math> の約数である．
</ref>



<div id="3.3">
<strong>3.3 </strong>
<math>X</math> は順序集合 <math>A</math> の部分集合とする．
<math>z \in X</math> がどの <math>x \in X</math> よりも大きいとき
<math>z</math> は <math>X</math> で'''最大'''，または <math>z</math>
は <math>X</math> の'''最大元'''といい，<math>z \in X</math> がどの
<math>x \in X</math> より小さいとき、<math>z</math> は <math>X</math>
で'''最小'''，または <math>z</math> は <math>X</math> の'''最小元'''
という．<math>a \in A</math> がどの <math>x \in X</math> より大きいとき
<math>a</math> は <math>X</math> の'''上界'''といい，
<math>X</math> の上界の集合が最小元を持てばそれを <math>X</math> の'''上端'''という．
<math>a \in A</math> がどの <math>x \in X</math> よりも小さければ
<math>a</math> は <math>X</math> の'''下界'''といい，
<math>X</math> の下界の集合が最大元を持てばそれを <math>X</math> の'''下端'''という．
<math>A</math> の任意の部分集合が上端を持つとき <math>A</math> は'''上に完備'''，
<math>A</math> の任意の部分集合が下端を持つとき <math>A</math> は'''下に完備'''という．
<math>A</math> が上と下に完備のとき <math>A</math> は（単に）'''完備'''という．
<math>A</math> の任意の有限部分集合が上端を持つとき <math>A</math> は'''上に有限完備'''といい，
'''下に有限完備'''，（単なる）'''有限完備'''も同様に定義する．
[[順序#3.2|3.2]]の内容は半束 <math>L</math> が上記の関係 <math>\leqq</math> で順序集合となり，
その任意の二元部分集合に上端がある（略して任意の二元に上端があるという）ことを意味するが，
ここに次の主張が成り立つ．

<strong>補題　</strong>
任意の二元に上端のある順序集合は上に有限完備である．

<strong>証明 </strong>
三元集合 <math>{a, b, c}</math> については <math>a, b</math> の上端 <math>x</math> と
<math>c</math> との上端がこの集合の上端となる．
<math>n</math> 元部分集合については数学的帰納法によればよい．(証明終)

<strong>系　</strong>
半束 <math>L</math> は <math>ab=b</math> のとき <math>a \leqq b</math> と定義すれば関係
<math>\leqq</math> について上に有限完備な順序集合となる．
逆に <math>L</math> が上に有限完備な順序集合のとき二元 <math>a, b</math> の上端を
<math>ab</math> とすれば <math>L</math> はこの演算について半束となる．

後半の証明も容易である
<ref>.
</ref>．


<strong>3.4　</strong>
<math>A, B</math> を集合とする．一般に <math>A</math> の元と <math>B</math> の元との間の関係
<math>\rho</math> に対して，<math>B</math> の元と <math>A</math> の元の間の関係<math>\rho'</math>
で <math>a\rho b</math> であるとき，かつそのときに限って <math>b \rho' a</math> となるようなものを
<math>\rho</math> の'''逆関係'''，または略して'''逆'''という．特に <math>A=B</math> のとき，
<math>A</math> の上の関係 <math>\rho</math> の逆はまた <math>\rho</math> の'''双対'''ともいう．
<math>\rho</math> の双対が <math>\rho</math> と一致するための必要十分条件は
<math>\rho</math> が対称律をみたすことで，従って同値関係はその双対と一致する．
順序関係の双対はまた新しい順序関係となる．順序集合 <math>A</math> にその双対順序を入れて作った
順序関係をもとの順序集合の'''双対'''という．

<math>\alpha</math> を順序集合に関するある概念とする．<math>\alpha</math> を双対順序の中で考えると
新しい概念 <math>\beta</math> になるとき <math>\beta</math> を <math>\alpha</math> の'''双対'''という．
このとき <math>\alpha</math> はまた <math>\beta</math> の双対となる．例えば [[順序#3.3|3.3]] で述べた
上界，上端，上に完備の双対はそれぞれ下界，下端，下に完備で，完備の双対はそれ自身である．その双対と
一致する概念は'''自己双対'''であるという．

ある記述，または定理において，その中に現れるすべての概念をその双対でおきかえて作った記述，定理は
もとのものの'''双対'''という．ある定理が順序集合の中で一般的に成り立つとき，その双対定理も一般的に成り立つ．
もとの定理の証明の中の概念をすべてその双対で置き換えれば双対定理の証明となるからである．
例えば [[順序#3.3|3.3]] の補題に対してその双対補題

<strong>補題　</strong>
任意の二元に下端のある順序集合は下に有限完備である．

は一般に正しい．


<strong>3.5　</strong>
<math>L</math> は二つの演算 <math>\lor \land</math> について束であるとする（[[古典的代数系#1.8|1.8]]を参照)．
<math>L</math> は <math>\lor</math> について半束だから <math>a \lor b = b</math> のとき
<math>a\leqq b</math> とすれば <math>\leqq</math> は <math>L</math> 上の順序となる．
同様に <math>a \land b = a</math> のとき <math>a\prec b</math> とすれば
<math>\prec</math> も <math>L</math> 上の順序であるが，<math>a\leqq b</math>
ならば <math>a \lor b = b</math> であるから，[[古典的代数系#吸収律|吸収律]]の第一式より
<math>a \land b = a \land (a \lor b) = a</math> で <math>a \prec b</math>．
同様にして吸収律の第二式から <math>a \prec b</math> ならば <math>a \leqq b</math> となり
<ref>
<math>a\prec b</math> であれば <math>a\land b = a</math>，よって
<math>a \lor b = (a \land b) \lor b = b \lor (a \land b) (\because \lor </math>は可換 <math>)</math>，
この値は吸収律第二式により <math>b</math>、すなわち <math>a \lor b = b</math> よって <math>a \leqq b</math>．
</ref>，
この二つの順序は <math>L</math> 上で一致する．すなわち

<strong>定理　</strong>
束 <math>L</math> において <math>a \lor b = b</math> のとき <math>a \leqq b</math> と定義すれば，
<math>\leqq</math> は <math>L</math> 上の順序で，これにより <math>L</math> は有限完備で，
<math>a \lor b, a \land b</math> はそれぞれ二元 <math>a, b</math> の上端と下端とを与える．
逆に有限完備な順序集合 <math>L</math> において二元 <math>a, b</math> の上端，下端をそれぞれ
<math>a \lor b, a \land b</math> とすれば <math>L</math> は演算 <math>\lor, \land</math>
により束となる．

<strong>3.6　</strong>
順序という概念は数学や実世界の各所に現れる具体的な現象である大小関係，支配関係等を抽象化，
一般化して統一的に取り扱おうとする考えである．しかしこのような抽象概念を抽象的なまま考察するのは難しい．
もしどのような抽象的順序集合でも，これを性質のよくわかった具体的な順序を持つ対象にひき戻すことができて，
このような具体的な順序に関する考察や定理が，そのまま一般の抽象的順序に適用できることが示されたなら便利である．
このような考え方を順序の，あるいはさらに一般の抽象概念の，'''表現'''という．

順序集合 <math>A</math> の各元 <math>a</math> に対して

<math>A(a)=\{x \in A | x \leqq a\}, \tilde{A} = \{A(a) | a \in A\}</math>

とおく．このとき <math>a \leqq b</math> ならば <math>A(a) \subset A(b)</math>
で，逆に <math>A(a) \subset A(b)</math> ならば <math>a \in A(a) \subset A(b)</math>
であるから <math>a \leqq b</math> である
<ref>
<math>a \in A(b)</math> すなわち <math>a \in \{x \in A|x \leqq b\}, \therefore a \leqq b</math>
</ref>．
特に <math>A(a)=A(b)</math> ならば <math>a=b</math>．
よって <math>A</math> の各元と <math>\tilde{A}</math> の各元とは一対一対応し，
<math>A</math> 内で <math>a \leqq b</math> であることと，<math>\tilde{A}</math> 内で
<math>A(a) \subset A(b)</math> であることとは同等である．この <math>\tilde{A}</math> を
<math>A</math> の'''下界による表現'''という．

この表現は <math>A</math> の順序を <math>\tilde{A}</math> の包含関係で表現したわけであるが，
さらに <math>A</math> の二元の下端が <math>\tilde{A}</math> 内の集合論的交で表現されている．
実際 <math>A</math> の中で二元 <math>a, b</math> の下端 <math>a \land b</math> があれば，
<math>A</math> 内で <math>x \leqq a</math> かつ <math>x \leqq b</math> であることと
<math>x \leqq a \land b</math> であることとは同等であるから，<math>A(a \land b) = A(a) \cap A(b)</math>
（ただし <math>\tilde{A}</math> では任意の二元 <math>A(a), A(b)</math> に対して必ず
<math>A(a) \cap A(b)</math> は存在するが，これがある <math>c \in A</math> について
<math>A(c)</math> となっているとは限らない）．しかし <math>A</math> 内の <math>\lor</math> は
<math>\tilde{A}</math> 内の <math>\cup</math> で表現されていはいない．
<math>a \lor b</math> が存在しても <math>A(a \lor b)</math> と <math>A(a) \cup A(b)</math>
とは一般に相異なるものである．

<strong>3.7　</strong>
最後に後に参照するいくつかの概念の定義を述べておく．

<math>A</math> を順序集合，<math>X</math> はその部分集合とする．<math>x \in X, a \in A</math>
で <math>x \leqq a</math> ならば必ず <math>a \in X</math> となるとき
<math>X</math> は'''上に閉じている'''という．各 <math>a \in A</math> に対して <math>a \leqq x</math>
である <math>x \in X</math> が見出されるときは <math>X</math> は <math>A</math> に'''共終'''であるといい，
さらに強く，各 <math>a \in A</math> に対し <math>a \leqq x</math> である <math>x \in X</math> が存在して
<math>\{x\}</math> の上界がすべて <math>X</math> に入るとき，<math>X</math> は <math>A</math>
に'''等終'''であるという．<math>X</math> が <math>A</math> に共終で上に閉じていれば <math>A</math>
に等終となる．

上に閉じている，共終，等終の双対はそれぞれ'''下に閉じている'''，'''共始'''，'''等始'''という．

順序集合 <math>A</math> の任意の二元が上界を持つとき <math>A</math> は'''有向集合'''であるという．
有向集合は位相論など極限概念を取り扱うときには基本になる概念である．
半束は [[順序#3.2|3.2]]で考えた順序によって有向集合である．
有向集合 <math>A</math> の部分集合 <math>X</math> は必ずしも有向集合ではないが，
<math>X</math> が <math>A</math> に共終ならば有向集合となる．
上に述べた共終，等終などの概念は普通は有向集合の部分集合に対して考えられるのであるが，
定義だけならば一般の順序集合の中で考えても差し支えない．

順序集合 <math>A</math> の空でない部分集合が常に最小元を持つとき，
<math>A</math> は'''整列集合'''という．特に整列集合 <math>A</math> の二元 <math>a, b</math>
のうちどちらかが集合 <math>\{a, b\}</math> の最小元で，よって整列集合は全順序集合である．
整列集合の部分集合はまた整列集合である．
正整数の集合 <math>Z^+</math> は整列集合であるが，さらに

<math>\{m - 1/(n + 1)|m, n \in Z^+\}</math>

<math>\{m - 1/(n + 1) - 1/n(n + 1)(l + 1)|l, m, n \in Z^+\}</math>

なども実数の部分集合として整列である．集合論の適当な公理系のもとに任意の濃度の整列集合の存在することが知られている．



== officious ==
<references />

[[カテゴリ:圏論]]