圏論/代数系/古典的代数系のソースを表示

<div id="1.1">
<strong>1.1</strong>
集合 <math>G</math> の元 <math>a,b</math> の各対に対して <math>G</math> の第三の元（これを <math>ab</math> で表す)を対応させる演算が定義され, それが

<div id="結合律"> <!-- -->
;'''結合律'''
:すべての元 <math>a,b,c</math> に対して <math>(ab)c=a(bc)</math>

<div id="結合的"><!-- -->
<div id="半群"><!-- -->
をみたすとき, この演算は'''結合的'''であるといい, また <math>G</math> は（この演算について）'''半群''' であるという.
演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#結合的|結合的]]のときは上記の式の両辺は括弧を省略して単に <math>abc</math>　と表してもよい. さらにこの演算が

<div id="可換律"><!-- -->
;'''可換律'''
:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>ab=ba</math>

<div id="可換"><!-- -->
をみたすとき, この演算, または[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> は'''可換'''であるという.


<div id="1.2">
<div id="単位元"><!-- -->
<strong>1.2</strong>
[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> の元 <math>e</math> で <math>G</math> のすべての元 <math>a</math> に対して
<math>ae=ea=a</math> となるものをこの演算, または <math>G</math> の'''単位元'''という.
<math>e</math> と <math>e'</math> が共に[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]ならば <math>e=ee'=e'</math>であるから, [[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]は存在すればただ一つである.<ref><small>
[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の定義 <math>ae=ea=a</math> にて <math>a=e'</math> を代入して<br />
<math>e'e=ee'=e'</math><br />
<math>e'</math> も[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]であるから <math>ae'=e'a=a</math><br />
これに <math>a=e</math> を代入して<br />
<math>ee'=e'e=e</math><br />
以上2式より <math>e' = e'e = ee' = e</math> すなわち <math>e=e'</math> </small></ref>

<div id="逆元"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> において, <math>G</math> の元 <math>a</math> に対して <math>ab=ba=e</math>
となるような元 <math>b</math> が存在すればこれを <math>a</math> の'''逆元'''という.
このとき <math>a</math> はまた <math>b</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]となる.
<math>b</math> と <math>b'</math> が共に <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]のとき
<math>b=b(ab')=(ba)b'=b'</math><ref>
<small>
なんとなれば<math>ab'=e, ba=e</math>
</small></ref>
であるから <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在すればただ一つである. 

<div id="群"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を持ち, また <math>G</math> のすべての元が[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]を持つとき <math>G</math> は'''群'''であるという.<ref><small>

[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の公理に要請する条件としては <math>ae=a</math>…① かつ <math>aa^{-1}=e</math>…② で十分である．<br />
②の <math>a^{-1}</math> に対して②を再度適用すれば、<math>a^{-1}(a^{-1})^{-1} = e</math>…③を満たす <math>(a^{-1})^{-1}</math> も群 <math>G</math> の要素に含まれる．<br />
よって <math>ea = eae (\because</math> ①<math>)</math><br />
<math> = eaa^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math> ③ <math>)</math><br />
<math> = ee(a^{-1})^{-1} (\because </math>② <math>)</math><br />
<math> = e(a^{-1})^{-1} (\because </math>① <math>)</math><br />
<math> = aa^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math>② <math>)</math><br />
<math> = ae (\because </math>②・③ <math>)</math><br />
<math> = a (\because </math>① <math>)</math><br />
すなわち <math>ea=a</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の公式の残り半分が導出される．<br />
また，<math>a^{-1}a = a^{-1}ae (\because</math> ① <math>)</math><br />
<math> = a^{-1}aa^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math>③<math>)</math><br />
<math> = a^{-1}e(a^{-1})^{-1} (\because </math>②<math>)</math><br />
<math> = a^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math>①<math>)</math><br />
<math> = e (\because </math>②・③<math>)</math><br />
すなわち <math>a^{-1}a=e</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]の公式の残り半分が導出される．<br />
</small></ref>

<div id="可換群"><!-- -->
<div id="アーベル群"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]であるとき <math>G</math> は'''可換群''', または'''アーベル群'''という.


<div id="1.3">
<div id="閉じている"><!-- -->
<div id="部分半群"><!-- -->
<div id="部分群"><!-- -->
<strong>1.3</strong>
一般に <math>G</math> が演算を持つ集合で <math>X</math> がその部分集合のとき,
<math>X</math> のすべての元 <math>a, b</math> について <math>ab\in X</math> ならば,
<math>X</math> はこの演算について'''閉じている'''という.
特に <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]のとき <math>X</math> は <math>G</math> の'''部分半群'''という.

<math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]], <math>X</math> がその空でない部分集合で, <math>X</math> が <math>G</math> の演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#閉じている|閉じ]], 
また <math>X</math> の各元の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]もまた <math>X</math> に入っているとき(従って <math>G</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> も<math>X</math>に入る<ref>
<small>
<math>ab=e</math>, <math>a\in X, b\in X</math> において、 <math>X</math> が <math>G</math> の演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#閉じている|閉じている]]のだから <math>ab=e\in X</math>
</small></ref>
),
<math>X</math> は <math>G</math> の'''部分群'''という. [[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]はそれ自身ももとと同じ演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となっている.


<div id="1.4">
<strong>1.4</strong>
例えば実数の集合 <math>R</math> はその上の加法という演算について[[圏論/代数系/古典的代数系#可換群|可換群]]である。
有理数の集合 <math>Q</math>, 整数の集合<math>Z</math> はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]], <math>Z</math> はまた <math>Q</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]でもある.
<math>R</math> は乗法については[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]ではあるが[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]ではない. <ref>
<small>
<math>0</math> を含むと <math>0</math> の乗法についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]は存在せず、乗法に関する[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を仮に <math>1</math> としても乗法に関して <math>0</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在しない．これはすぐに後述される．</small></ref>
しかし<math>R</math> から <math>0</math> を除いた <math>R-\left\{0\right\}</math> は乗法について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となる。
正の実数の集合 <math>R^+</math>　はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]である。<math>Q-\left\{0\right\}</math> および <math>Q^+=Q\cup R^+</math><ref>
<small>
「<math>Q^+</math>を正の有理数の集合」としてもよいが，すでに定義している<math>R^+</math> を使用して定義したまでのこと．</small></ref> 
は乗法についてまた <math>R-\left\{0\right\}</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]である．<math>Z^+=Z\cup R^+</math> は <math>R</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分半群|部分半群]]であるが[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]ではない<ref>
<small>
[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]が整数に収まらない．</small></ref>．
[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]でない[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]の例として n 次の正方行列全体の集合がある．<ref>
<small>
行列 <math>A</math> の行列式が <math>0</math> であれば，<math>A</math> は逆行列を持たずしたがって[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は持ちえない．</small></ref>
行列式が <math>0</math> でない <math>n</math> 次の正方行列全体の集合はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分半群|部分半群]]であるが，また[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]をつくる．
行列式が <math>1</math> である <math>n</math> 次の行列全体の集合，<math>n</math> 次の直行行列全体の集合はまたその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]となる．


<div id="1.5">
<strong>1.5</strong>
一つの集合 <math>G</math> とその上の一つの演算を考察しているときには
<math>G</math> の二元 <math>a, b</math> からその演算で定まる元を単に <math>ab</math> で表せばよいが，
<math>R</math> 上の加法と乗法のように一つまたはいくつかの集合の上で多くの演算を同時に取り扱うときには，
それから定まる元は区別して表さなければならない．
このため演算を表す記号を適当に，例えば <math>*, \bot</math> などと定め，慣習的にそれを二元の間において，
例えば二元 <math>a, b</math> から演算 <math>\bot</math> で定まる元は <math>a \bot b</math> というように表すことにする．

次に一つの集合 <math>K</math> の上に二つの演算 <math>+</math> と <math>\cdot</math> とが与えられている場合を考える．もし

<div id="左分配律"><!-- -->
<div id="左から分配的"><!-- -->
<div id="分配律">
;<strong>左分配律</strong><!-- -->
:すべての元 <math>a, b, c</math> に対して <math>a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)</math>

が成り立つとき演算 <math>\cdot</math> は <math>+</math> に'''左から分配的'''であるといい，同様に

<div id="右分配律"><!-- -->
<div id="右から分配的"><!-- -->
<div id="分配的"><!-- -->
;右分配律
:すべての元<math>a, b, c</math> に対して <math>(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)</math><ref>
<math>\blacktriangle</math> 以下慣例に従って<math>\cdot</math> は <math>+</math> に優先して読み <math>(a\cdot b)</math> などの <math>()</math> は省略する．</ref>

が成り立つとき演算 <math>\cdot</math> は <math>+</math> に'''右から分配的'''であるという．<math>\cdot</math> が <math>+</math> に同時に
左右から分配的のとき，<math>\cdot</math> は <math>+</math> に（単に）'''分配的'''であるという．


<div id="環"><!-- -->
<div id="可換環"><!-- -->
<div id="1.6">
<strong>1.6</strong>
二つの演算 <math>+</math> と <math>\cdot</math> とを持つ集合 <math>K</math> において，三つの条件<br />
<math>1^\circ\quad\  </math> <math>K</math> は <math>+</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#可換群|可換群]]である<br />
<math>2^\circ\quad\  </math> <math>K</math> は <math>\cdot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]である<br />
<math>3^\circ\quad\  </math> <math>\cdot</math> は <math>+</math> に[[圏論/代数系/古典的代数系#分配的|分配的]]である<br />

が満たされているとき <math>K</math> は'''環'''であるといい，さらに演算 <math>\cdot</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]のときには <math>K</math> は'''可換環'''であるという．


<div id="体">
<div id="1.7">
<strong>1.7</strong>
二つ以上の元を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#環|環]] <math>K</math> が <math>\cdot</math> についても[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となることはできない．
それは <math>+</math> についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を <math>0\ </math> ，<math>\cdot</math> についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を
<math>1</math> で表せば，[[圏論/代数系/古典的代数系#分配律|分配律]]から <math>a=a\dot(0+1)=a\cdot 0+a</math> で，
すべての <math>a\in K</math> について <math>a\cdot 0=0</math> となり，<math>0</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]が存在できないからである．
しかしこの <math>0</math> を除けば残りの集合が <math>\cdot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となることは可能で，
もし[[圏論/代数系/古典的代数系#環|環]] <math>K</math> がさらに<br />

<math>4^\circ\quad\  </math> <math>K-\left\{0\right\}</math> は <math>\cdot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となる．<br />

をみたすとき，<math>K</math> は'''体'''であるという．

整数の集合 <math>Z</math>，有理数の集合 <math>Q</math>，実数の集合 <math>R</math> は通常の加法 <math>+</math> と乗法 <math>\cdot</math>
について[[圏論/代数系/古典的代数系#環|環]]であり，特に <math>Q</math> と <math>R</math> は[[圏論/代数系/古典的代数系#体|体]]でもある．


<div id="1.8">
<strong>1.8</strong>
再び一つの演算を持った集合に帰り，<math>L</math> は[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]な[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]とする．
もしさらに <math>L</math> が条件

<div id="ベキ等律">
<div id="半束">
;'''ベキ等律'''
: すべての元 <math>a</math> について <math>aa=a</math>

を満たすとき，<math>L</math> は'''半束'''であるという．

集合 <math>L</math> 上に二つの演算 <math>\land, \lor</math> があり，<math>L</math> はどちらの演算についても[[圏論/代数系/古典的代数系#半束|半束]]で，さらに

<div id="吸収律">
<div id="束">
<div id="分配束">
;'''吸収律'''
: すべての元 <math>a, b</math> について <math>a\land(a\lor b)=a,\quad a\lor(a\land b)=a</math>

が満たされるとき，<math>L</math> は'''束''' であるという．さらに <math>\land</math> が <math>\lor</math> に[[圏論/代数系/古典的代数系#分配的|分配的]]，
<math>\lor</math> が <math>\land</math> に[[圏論/代数系/古典的代数系#分配的|分配的]]のとき，<math>L</math> は'''分配束'''であるという．

<div id="ベキ集合">
集合 <math>X</math> の部分集合の全体の集合を <math>\mathfrak{P}(X)</math> で表し，これを <math>X</math> の'''ベキ集合'''という．
<math>\mathfrak{P}(X)</math> は集合論的演算 <math>\cap</math>（合併）と <math>\cup</math> （共通部分）とで閉じているが，<ref><small>
<math>X</math> の部分集合同士の <math>\cap</math> はやはり <math>X</math> の部分集合であるし，
<math>X</math> の部分集合同士の <math>\cup</math> もやはり <math>X</math> の部分集合である，ということ．
</small></ref>
この二つの演算について[[圏論/代数系/古典的代数系#分配束|分配束]]となっている．<ref><small>
一般的な集合演算を指している．集合演算の結果としてとりうる値（集合)をすべて集めるとベキ集合と考える．
</small></ref>
[[圏論/代数系/古典的代数系#1.4|1.4]] の <math>R</math>, <math>Q</math>, <math>Z</math> はどれも二数 <math>a, b</math> について
<math>a\lor b=\max(a, b), a\land b=\min(a, b)</math> とすればやはり[[圏論/代数系/古典的代数系#分配束|分配束]]となる
（ <math>\max(a, b)</math>, <math>\min(a, b)</math> はそれぞれ <math>a, b</math> の大きいほう，小さいほうを表す）．

== officious ==
<references />
{{DEFAULTSORT:こてんてきたいすうけい}}
[[カテゴリ:代数学]]