制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性のソースを表示

定数係数の線形微分方程式を，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)x = 0</math>|tag=(3.25)|label=eq:3.25}}
とおく．ここに <math>p(s)</math> は特性多項式である．もし，これが，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = \prod_{i=1}^{\mu}(s-\gamma_i)^{l_i}\prod_{j=1}^{\nu}\bigg[(s-\alpha_j)^2 + \beta_j^2\bigg]^{m_j}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>n = \sum_{i=1}^{\mu} + 2\sum_{j=1}^{\nu}m_j</math>}}
と因数分解できるならば，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性#eq:3.25|式 (3.25) ]]の解は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s-\gamma_i)^l} \sqsubset e^{\gamma_i}t\xi_l(t)</math>}}
および，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{\bigg[(s-\alpha_j)^2 + \beta_j^2\bigg]^m} \sqsubset e^{\alpha_jt}\varphi_{j_m}(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{s-\alpha_j}{\bigg[(s-\alpha_j)^2 + \beta_j^2\bigg]^m} \sqsubset e^{\alpha_jt}\phi_{j_m}(t)</math>}}
のような <math>n</math> 個の関数の 1 次結合で与えられることは，前節で示した．ここに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\xi_l(t) = \frac{t^{l-1}}{(l-1)!} \sqsupset \frac{1}{s^l}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\varphi_{j_m}(t) = \frac{\sin\beta_j t}{\beta_j} * \cdots * \frac{\sin\beta_j t}{\beta_j} \sqsupset \frac{1}{(s^2+ \beta_j^2)^m}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\phi_{j_m}(t) = \frac{d\varphi_{j_m}(t)}{dt} \sqsupset \frac{s}{(s^2+\beta_j^2)^m}</math>}}
である．これらが 1 次独立であることを示すのが，本項の目的である．つまり <math>t</math> に関する恒等式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sum_{i, l}A_{il}e^{\gamma_i t}\xi_l(t) + \sum_{j, m}e^{\alpha_j t}\left\{ B_{jm}\varphi_{jm}(t) + C_{jm}\phi_{jm}(t) \right\} = 0</math>}}
から，すべての <math>i, l, j, m</math> に対して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_{il} = B_{jm} = C_{jm} = 0</math>}}
を示すことである．この証明には[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/特性多項式の構造と解の性質#lemma:3.4|補題 3.4 ]]と，前章に示した事実，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(D-\gamma)^{l-1}\cdot e^{\gamma t}\xi_l(t) = e^{\gamma t}</math>}}
および
{{制御と振動の数学/equation|<math>\bigg[(D-\alpha)^2+ \beta^2\bigg]^{m-1}\cdot e^{\alpha t}\left\{ B\varphi_m(t) + C\phi_m(t) \right\} = e^{\alpha t} \left( \frac{B}{\beta}\sin\beta t + C\cos\beta t\right)</math>}}
を用いる．


<div id="theorem:3.4">
<strong>定理 3.4</strong>

<math>n</math> 個の関数
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left\{ e^{\gamma_i t}\xi_l(t), e^{\alpha_j t}\varphi_{jl}(t), e^{\alpha_j t}\phi_{jl}(t)\right\}</math>}}
は 1 次独立である．


<strong>証明</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s)=(s-\gamma)^l \bigg[ (s-\alpha)^2+\beta^2\bigg]^m</math>}}
の場合を証明すれば十分であろう．一般の場合は添え字 <math>i, j</math> などが二重についてわずらわしいだけである．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sum_{i=1}^l A_{i}e^{\gamma t}\xi_i(t) + \sum_{j=1}^m e^{\alpha t}\left\{ B_{j}\varphi_{j}(t) + C_{j}\phi_{j}(t) \right\} \equiv 0</math>|tag=(3.26)|label=eq:3.26}}
に，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_1(D) := (D-\gamma)^{l-1} \bigg[(D-\alpha)^2+\beta^2\bigg]^m</math>}}
を作用させると，<math>i=l</math> の場合以外はすべて消えて，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_l \bigg[(D-\alpha)^2 + \beta^2\bigg]^m e^{\gamma t} = 0</math>}}
となる．[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/特性多項式の構造と解の性質#lemma:3.4|補題 3.4 ]]により
{{制御と振動の数学/equation|<math>\bigg[(D-\alpha)^2 + \beta^2\bigg]^m e^{\gamma t} \ne 0</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_l = 0</math>}}
を得る．次に，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_2(D) := (D-\gamma)^{l-2}\bigg[(D-\alpha)^2 + \beta^2\bigg]^m</math>}}
を作用させると <math>A_l = 0</math> となり，以下同様にして，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_i = 0 \quad (i = 1, 2, \cdots, l)</math>}}
を得る．このとき[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性#eq:3.26|式 (3.26) ]]は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sum_{i=1}^m e^{\alpha t} \left\{ B_j\varphi_j(t) + C_j\phi_j(t)\right\} \equiv 0</math>}}
となっている．これに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>q_1(D) := \bigg[(D-\alpha)^2+\beta^2\bigg]^{m-1}</math>}}
を作用させると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} \left\{ B_m\frac{1}{\beta}\sin\beta t + C_m\cos\beta t \right\} = 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore B_m = C_m = 0</math>}}
となる．以下同様にして，
{{制御と振動の数学/equation|<math>B_j = C_j = 0 \quad (j=1, 2, \cdots, m)</math>}}
を得る．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:3.4:end-->




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]