制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形のソースを表示

以上の議論によって，<math>n</math> の定常線形微分方程式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)x = 0</math>|tag=(3.27)|label=eq:3.27}}
には，<math>n</math> 個の 1 次独立な解が存在することが分かった．またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ．それをいま，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\varphi_1(t), \varphi_2(t), \varphi_3(t), \cdots, \varphi_{n-1}(t), \varphi_n(t)</math>}}
としよう．重ね合わせの原理により，その 1 次結合
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = A_1\varphi_1(t) + A_2\varphi_2(t) + A_3\varphi_3(t)+ \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}(t) + A_n\varphi_n(t)</math>|tag=(3.28)|label=eq:3.28}}
もまた[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形#eq:3.27|式 (3.27) ]]の解であることを知っている．
ここでは [[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形#eq:3.28|式 (3.28) ]]が
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形#eq:3.27|式 (3.27) ]]の一般解であること，
すなわち任意の初期値，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0)=\xi_1, x'(t_0)=\xi_2, x''(t_0)=\xi_3, \cdots, x^{(n-2)}(t_0)=\xi_{n-1}, x^{(n-1)}(t_0)=\xi_n</math>}}
を与えたとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1\varphi_1(t_0) + A_2\varphi_2(t_0) + A_3\varphi_3(t_0) + \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}(t_0) + A_n\varphi_n(t_0) = \xi_1</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1\varphi_1'(t_0) + A_2\varphi_2'(t_0) + A_3\varphi_3'(t_0) + \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}'(t_0) + A_n\varphi_n'(t_0) = \xi_2</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1\varphi_1''(t_0) + A_2\varphi_2''(t_0) + A_3\varphi_3''(t_0) + \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}''(t_0) + A_n\varphi_n''(t_0) = \xi_3</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\cdots\cdots</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1\varphi_1^{(n-2)}(t_0) + A_2\varphi_2^{(n-2)}(t_0) + A_3\varphi_3^{(n-2)}(t_0) + \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}^{(n-2)}(t_0) + A_n\varphi_n^{(n-2)}(t_0) = \xi_{n-1}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1\varphi_1^{(n-1)}(t_0) + A_2\varphi_2^{(n-1)}(t_0) + A_3\varphi_3^{(n-1)}(t_0) + \cdots + A_{n-1}\varphi_{n-1}^{(n-1)}(t_0) + A_n\varphi_n^{(n-1)}(t_0) = \xi_{n}</math>}}
が任意の <math>t_0</math> と <math>\left\{ \xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots, \xi_{n-1}, \xi_n \right\}</math> に対して常に解けることを示そう．それは次の定理によって保証される．


<div id="theorem:3.5">
<strong>定理 3.5</strong>

<math>p(D)x = 0</math> の 1 次独立な <math>n</math> 個の解を，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left\{ \varphi_1(t), \varphi_2(t), \varphi_3(t), \cdots, \varphi_{n-1}(t), \varphi_n(t)\right\}</math>}}
とすると，次の行列式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\begin{vmatrix}
\varphi_1(t), & \varphi_2(t), & \varphi_3(t), & \cdots, & \varphi_n(t) \\ 
\varphi_1'(t), & \varphi_2'(t), & \varphi_3'(t), & \cdots, & \varphi_n'(t) \\ 
\varphi_1''(t), & \varphi_2''(t), & \varphi_3''(t), & \cdots, & \varphi_n''(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_1^{n-2}(t), & \varphi_2^{n-2}(t), & \varphi_3^{n-2}(t), & \cdots, & \varphi_n^{n-2}(t) \\
\varphi_1^{n-1}(t), & \varphi_2^{n-1}(t), & \varphi_3^{n-1}(t), & \cdots, & \varphi_n^{n-1}(t)
\end{vmatrix}</math>}}
は決して <math>0</math> になることはない．この行列式を [[w:%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F|Wronsky の行列式]]といい，
{{制御と振動の数学/equation|<math>W[\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_n](t)</math> または <math>W(t)</math>}}
などで表す．

<strong>証明</strong>

いまある <math>t_0</math> に対して Wronsky の行列式が <math>0</math> となったとする．このとき 1 次方程式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>W(t_0) \left(
    \begin{array}{c}
      x_1 \\
      x_2 \\
      \vdots \\
      x_n
    \end{array}
  \right) = 0</math>}}
には，すべては <math>0</math> でない解が存在する．それを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left\{ A_1, A_2, \cdots, A_n\right\}</math>}}
としよう．この値を用いて
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = A_1\varphi_1(t) + A_2\varphi_2(t) + \cdots + A_n\varphi_n(t)</math>}}
を作れば，これは <math>p(D)x = 0</math> の解であって，しかも，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = x'(t_0) = \cdots = x^{(n-1)}(t_0) = 0</math>}}
を満たす．よって解の一意性から，<math>x(t) \equiv 0</math> でなければならない．
このとき <math>\left\{ \varphi_1, \varphi_2, \cdots \varphi_n\right\}</math> の 1 次独立性から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A_1 = A_2 = \cdots = A_n = 0</math>}}
でなければならない．これは矛盾である．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:3.5:end-->


<!-- ex:081:start-->
<div id="ex:81">
<strong>例81</strong><math>\quad</math>

<math>\varphi_1, \varphi_2</math> が 1 次独立で，<math>W[\varphi_1, \varphi_2] \equiv 0</math> となる例を作れ．

<strong>解答例</strong>


<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:081:end-->



<math>n</math> 階の線形定常常微分方程式の任意の解は，<math>n</math> 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった．
この <math>n</math> 個の独立な解のことを，解の基本系または基本解系という．この事実は次の定理にまとめられる．

<div id="theorem:3.6">
<strong>定理 3.6<ref>定常という仮定は実は不要である．</ref></strong>

<math>n</math> 階の線形定常常微分方程式の解の全体は，<math>n</math> 次元ベクトル空間を作る．その基底は解の基本形である．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:3.6:end-->





<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]