制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合のソースを表示

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + ax = f(x), \quad x(t_0) = x_0</math>}}
の解が二つあると仮定し，それらを <math>\varphi_1(t), \varphi_2(t)</math> とする．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\varphi_1(t)}{dt} + a\varphi_1(t) \equiv f(x), \quad \varphi_1(t_0) = x_0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\varphi_2(t)}{dt} + a\varphi_2(t) \equiv f(x), \quad \varphi_2(t_0) = x_0</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>u(t) := \varphi_1(t) - \varphi_2(t)</math>}}
とおくと，これは
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{du}{dt} + au(t) \equiv 0, \quad u(t_0) = 0</math>}}
を満たす．<math>u(t) \equiv 0</math> を示せばよい．上式の両辺に <math>e^{at}</math> をかけると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{at}\frac{du}{dt} + e^{at}\cdot au(t) = \frac{d}{dt}\left\{e^{at}u(t)\right\} \equiv 0</math>|tag=(3.13c)|label=eq:3.13c}}
となる．これを <math>t_0</math> から <math>t</math> まで積分すると，<math>u(t_0) = 0</math> であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{at}u(t) \equiv 0, \quad \therefore u(t) \equiv 0</math>}}
を得る<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合#eq:3.13c|式 (3.13c)]]の左辺は <math>\int_{t_0}^t \frac{d}{dt}e^{at}u(t) dt = \bigg[ e^{at}u(t) \bigg]_{t_0}^t =  e^{at}u(t) -  e^{at_0}u(t_0) = e^{at}u(t) \quad (\because u(t_0) = 0)</math><br />
右辺は，<math>0</math> を <math>t_0</math> から <math>t</math> まで積分すると，これは定積分だから <math>\bigg[C\bigg]_{t_0}^t = 0</math><br />
すなわち <math>e^{at}u(t) \equiv 0</math><br />
よって <math>u(0) \equiv 0</math>．<br />
</ref><ref>
普通に <math>\frac{du}{dt} + au = 0</math> を解くことも可能であるが，現時点ではこの形での解の一意性は証明していないのだから，別に一意性の証明が必要になると解釈する．</ref>．

[[カテゴリ:ラプラス変換]]