制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合のソースを表示

{{制御と振動の数学/equation|<math>m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = f(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = x_0, \quad x'(t_0) = v_0</math>}}
の解の一意性を示すのは簡単である．<math>m > 0, k > 0</math> である．[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合|前項]]と同様に考えて，
{{制御と振動の数学/equation|<math>m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = x'(t_0) = 0</math>|tag=(3.14)|label=eq:3.14}}
の解が <math>x \equiv 0</math> に限ることをいえばよい．いまこの系のエネルギーを考える：
{{制御と振動の数学/equation|<math>E(t) = \frac{1}{2}mx'^2 + \frac{1}{2}kx^2</math>}}
これが保存されることは物理的にみて明らか<ref>
エネルギー保存則が実際成立することは次の式変形で示される．
ばね定数 <math>k</math>，自然長からの変位が <math>x</math> であるバネの保有するエネルギーは <math>\frac{1}{2}kx^2</math>．
</ref>である．事実，微分すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dE}{dt} = mx'x'' + kxx'</math>}}
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合#eq:3.14|式 (3.14) ]]を考慮すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dE}{dt} = x'(-kx) + kxx' = 0</math><ref>
<math>m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0</math> より <math>mx'' = -kx</math>．
</ref>}}
となる．よって
{{制御と振動の数学/equation|<math>E(t) = const. = E(t_0)</math>}}
を得，再び[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合#eq:3.14|式 (3.14) ]]の初期条件を思い起こすと，
<math>E(t_0) = 0</math> であることが分かる<ref>
<math>E(t) = E(t_0) = \frac{1}{2}m\{x'(t_0)^2\} + \frac{1}{2}k\{x(t_0)\}^2 = 0</math>
</ref>．
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>E(t) = \frac{1}{2}m\{x'(t)\}^2 + \frac{1}{2}k\{x(t)\}^2 \equiv 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore x(t) \equiv 0</math><ref>
すなわち，
<math>\frac{1}{2}m\{x'(t)\}^2 = -\frac{1}{2}k\{x(t)\}^2</math><br />
<math>x'(t) = \pm\sqrt{\frac{k}{m}}x(t)</math><br />
<math>x' = \alpha x</math><br />
この解は<math> x = Ce^{\alpha x}, \quad -\infty < \alpha < \infty</math><br />
<math>x(t_0) = 0</math> より <math>x(t_0) = Ce^{-\alpha t_0} = 0 \therefore C = 0 \therefore x \equiv 0</math>．
</ref>}}
この技法をエネルギーの方法といい，偏微分方程式の解の一意性を示す場合などにも使われる．



<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]