制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理のソースを表示

解の一意性の応用として，三角関数の加法定理の証明を紹介しよう．
<math>x(t) = \sin(t + \alpha)</math> は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0</math>|tag=(3.15)|label=eq:3.15}}
の解であり，その初期値は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(0)=\sin\alpha, \quad x'(0)=\cos\alpha</math>|tag=(3.16)|label=eq:3.16}}
である<ref>
なぜなら <math>x(t) = \sin(t+\alpha)</math> より <math>x'(t)=\cos(t+\alpha)</math> だから <math>t=0</math> を両者に代入して <math>x(0)=\sin\alpha, \ \ x'(0)=\cos\alpha</math><br />
</ref>．この解は一つしかない．いま[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理#eq:3.15|式 (3.15) ]]，
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理#eq:3.16|式 (3.16) ]]を満たす解を
[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]で求めてみよう．
{{制御と振動の数学/equation|<math>s^2\mathcal{L}[x] - s\sin\alpha - \cos\alpha + \mathcal{L}[x] = 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore \mathcal{L}[x] = \frac{1}{s^2 + 1}\cos\alpha + \frac{s}{s^2 + 1}\sin\alpha</math>}}
この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t)=\sin t\cos\alpha + \cos t\sin\alpha</math>}}
である．よって解の一意性から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sin(t + \alpha) = \sin t\cos\alpha + \cos t\sin\alpha</math>}}
を得る．

<!-- ex:072:start-->
<div id="ex:72">
<strong>例72</strong><math>\quad</math>

例にならって <math>e^t, \cos t</math> の加法定理を導け．

<strong>解答例</strong>

<math>x(t) = e^t</math> は <math>\frac{dx}{dt} - x = 0</math>…① の解．<br />
よって定常性の原理より <math>x(t+\alpha)=e^{t+\alpha}</math> も①の解であり，この解の①における初期値は <math>x(0) = e^{\alpha}</math>…②<br />
①②の微分方程式を解く．<math>X \sqsubset x</math> とおくと，<br />
<math>sX-e^{\alpha} - X= 0</math><br />
<math>\therefore X = \frac{e^{\alpha}}{s-1}</math><br />
この原像は，<br />
<math>x = e^{\alpha}e^t</math>…③<br />
解の一意性より、①②の特殊解は③のみであるから，<br />
<math>e^{t+\alpha} = e^te^{\alpha}</math>．<br />


<math>x=\cos t</math> は <math>\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0</math> …④ の解<br />
よって定常性の原理より <math>\cos(t+\alpha)</math> も④の解であり，この解の④における初期値は <math>x(0) = \cos\alpha, x'(0) = -\sin\alpha</math>…⑤<br />
④⑤の微分方程式を解く．<math>X \sqsubset x</math> とおくと，<br />
<math>s^2S-s\cos\alpha+\sin\alpha + \sin\alpha + X = 0</math><br />
<math>\therefore X = \frac{s}{s^2 + 1}\cos\alpha - \frac{1}{s^2+1}\sin\alpha</math><br />
この原像は，<br />
<math>x = \cos t\cos\alpha - \sin t\sin\alpha</math>…⑥<br />
解の一意性より，④⑤の特殊解は⑥のみであるから，<br />
<math>\cos(t+\alpha) = \cos t\cos\alpha - \sin t\sin\alpha</math><br >

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:072:end-->




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]