制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換のソースを表示

==§1==

<math>f(t)</math> の不定積分は，次のように[[w:%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF|合成積]]
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t f(\tau)d\tau = 1 * f(t)</math>}}
と書けることに注意しよう．すなわち，積分するということは，合成積の意味で <math>1</math> を掛けることを意味する．
[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]の基本性質の[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.1|(1)]]
と[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.3|(3)]]を用いると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}\left[ \int_0^t f(\tau)d\tau \right] = \mathcal{L}[1]\cdot\mathcal{L}[f] = \frac{1}{s}\mathcal{L}[f]</math>}}
よって
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t f(\tau)d\tau \sqsupset \frac{1}{s} \mathcal{L}[f]</math>|tag=(2.6)|label=eq:2.6}}
を得る．すなわち <math>t</math> 領域での積分は <math>s</math> 領域<ref>Laplace 変換した領域をこのように略称する．</ref>では <math>s</math> で割ることに対応する．

さて，
{{制御と振動の数学/equation|<math>1*1 = \int_0^t 1d\tau = t</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>1*1*1 = 1 * t = \int_0^t \tau d\tau = \frac{t^2}{2!}</math>}}
以下同様にして，帰納的に，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{1*1*\cdots *1}_{n\text{個}} = \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}</math>|tag=(2.7)|label=eq:2.7}}
を得る．この左辺の Laplace 変換は，基本性質の[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]の基本性質の[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.1|(1)]]と[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.3|(3)]]を用いれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[1*1*\cdots*1] = (\mathcal{L}[1])^n = \frac{1}{s^n}</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \sqsupset \frac{1}{s^n}</math>|tag=(2.8)|label=eq:2.8}}
を得る．


<!-- ex:020:start-->
<div id="ex:20">
<strong>例20</strong><math>\quad</math>

式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|(2.8)]] を Laplace 変換の定義式から直接導け．

<strong>解答例</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^n] = \int_0^{\infty} t^n e^{-st}dt = \left[ t^n \left( -\frac{1}{s} \right) e^{-st} \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} nt^{n - 1} \left( \frac{-1}{s} \right)e^{-st}dt</math>|tag=(2.8b)|label=eq:2.8b}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \frac{n}{s}\int_0^t t^{n - 1}e^{-st}dt</math>}}
すなわち
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^n] = \frac{n}{s}\mathcal{L}[t^{n - 1}]</math>}}
これと，基本性質[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.1|(1)]]すなわち
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^0] = \frac{1}{s}</math>}}
および基本性質[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.2|(2)]]とを再帰的に適用して式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|(2.8)]]を得られる．実際、
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^1] = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{2}{s}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^3] = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{2}{s}\cdot\frac{3}{s}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[t^4] = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{2}{s}\cdot\frac{3}{s}\cdot\frac{4}{s}</math>}}
すなわち
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{\mathcal{L}[t^n]}{n!} = \frac{1}{s^{n + 1}}</math>}}
これに基本性質[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.2|(2)]]を適用すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}\left[ \frac{t^n}{n!} \right] = \frac{1}{s^{n + 1}}</math>}}
この導出方法は[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質|基本性質]][[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.1|(1)]][[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質#eq:2.5.2|(2)]]を使ってしまっているし，あと，こういうのは数学的帰納法で記述するべきであるが，基本性質(1)(2)は容易な積分なこともありこれで勘弁してほしい．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:020:end-->

<div id="Cauchey の公式">
これらの結果を用いて、次の [[w:%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F|Cauchey の公式]]と呼ばれるものを示そう．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{\int_0^t \int_0^t \cdots \int_0^t f(t)dt dt \cdots dt}_{n \text{個}} = \int_0^t \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!}f(\tau)d\tau</math>|tag=(2.9)|label=eq:2.9}}

<strong>証明</strong><math>\quad</math>

合成積の記号を用いて表せば一目瞭然である．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{1*1*\cdots *1}_{n\text{個}}*f(t) = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}*f(t)</math>}}
となるが，この式の正しいことは式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.7|(2.7)]]から明らかである．
<math>\diamondsuit</math>



なお [[w:%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC|Cauchy]] の公式を Laplace 変換すれば，その像は，左辺右辺ともに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{s^n}\mathcal{L}[f]</math>}}
になることを注意しておこう．

==§2==


<math>f(t)</math> の導関数を <math>f'(t)</math> とする．微分積分法の基本公式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t f'(\tau)d\tau = f(t) - f(0)</math>}}
の両辺を Laplace 変換すると
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{s}\mathcal{L}[f'] = \mathcal{L}[f] - \frac{f(0)}{s}</math><ref>
<math>\int_0^t f'(\tau)d\tau = 1*f' \sqsupset \frac{1}{s}\mathcal{L}[f']</math>
</ref>}}
となる．<math>s</math> を払えば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f'] = s\mathcal{L}[f] - f(0)</math>|tag=(2.10)|label=eq:2.10}}
となる．<math>f(0) = 0</math> ならば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f'] = s\mathcal{L}[f]</math>}}
となり，<math>t</math> 領域での微分は，<math>s</math> 領域で <math>s</math> を掛けることに対応し，微分と積分が逆演算であることが鮮明となる．

式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.10|(2.10)]] を 2 度繰り返すと
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f''] = s\mathcal{L}[f'] - f'(0) = s \left \{ s \mathcal{L}[f]- f'(0) \right \} - f(0)</math>}}
よって
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f''] = s^2\mathcal{L}[F] - sf(0) - f'(0)</math>}}
以下同様にして，<ref>
<math>\mathcal{L}[f^{(3)}] = s^3\mathcal{L}[f] - s^2f(0)-sf^{(1)}(0) - f^{(2)}(0)</math><br />
<math>\mathcal{L}[f^{(4)}] = s^4\mathcal{L}[f] - s^3f(0)-s^2f^{(1)}(0) - sf^{(2)}(0) - f^{(3)}(0)</math><br />
<math>\mathcal{L}[f^{(5)}] = s^5\mathcal{L}[f] - s^4f(0)-s^3f^{(1)}(0) - s^2f^{(2)}(0) - sf^{(3)}(0) - f^{(4)}(0)</math><br />
</ref>
帰納的に
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f^{(n)}] = s^n \mathcal{L}[f] - s^{n - 1}f(0)-f^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)</math>|tag=(2.11)|label=eq:2.11}}
を得る．初期値がすべて <math>0</math> の場合，この公式は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d}{dt} \sqsupset s, \quad \frac{d^n}{dt^n} \sqsupset s^n</math>}}
とみなしてよいことを示している．なお <math>f^{(n)}</math> は <math>f</math> の第 <math>n</math> 階導関数である．
式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.11|(2.11)]] は [[w:%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B|Taylor の公式]]を示す．事実，<math>\mathcal{L}[f]</math> について解くと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f] = \frac{f(0)}{s} + \frac{f'(0)}{s^2} + \frac{f''(0)}{s^3} + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{s^n} + \frac{1}{s^n}\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]</math>}}
となるが，式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|(2.8)]]および[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#Cauchey の公式| Cauchey の公式 (2.9)]] を用いて，この原像を求めれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = f(0) + f'(0)t + \frac{f''(0)}{2!}t^2 + \frac{f'''(0)}{3!}t^3 + \cdots \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}t^{n-1} + \int_0^t \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\tau)d\tau</math><ref>
<math>\frac{1}{s^n}\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] \sqsubset \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} * f^{(n)}(t) = \int_0^t \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\tau)d\tau</math>
</ref><ref>
Taylor 展開の剰余項の積分表示について復習する．定積分の定義より<br />
<math>\int_{x_0}^x f'(\tau)d\tau = f(x) - f(x_0)</math><br />
よって<br />
<math>f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(\tau)d\tau</math><br />
これ以降、<math>x, x_0</math> は定数とする．最後の積分の項を部分積分する。<math>1</math> を <math>\tau</math> で積分すると <math>-(x-\tau)</math> になるとする．実際 <math>-(x-\tau)</math> を <math>\tau</math> で微分すると <math>1</math>．<br />
<math>f(x) = f(x_0) + \left[ f'(\tau)(x-\tau)\right]_{\tau=x}^{\tau=x_0} + \int_{x_0}^x f''(x-\tau)d\tau</math><br />
<math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \int_{x_0}^x f''(x-\tau)d\tau</math><br />
さらに積分の項を部分積分する。<math>(x-\tau)</math> を <math>\tau</math> で積分すると <math>-\frac{(x-\tau)^2}{2!}</math> になるとする．実際 <math>-\frac{(x-\tau)^2}{2!}</math> を <math>\tau</math> で微分すると <math>(x-\tau)</math>．<br />
<math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \left[ f''(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}\right]_{\tau=x}^{\tau=x_0} + \int_{x_0}^x f^{(3)}(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}d\tau</math><br />
<math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} + \int_{x_0}^x f^{(3)}(\tau)\frac{(x-\tau)^2}{2!}d\tau</math><br />
さらに積分の項を部分積分する。<math>\frac{(x-\tau)^2}{2!}</math> を <math>\tau</math> で積分すると <math>-\frac{(x-\tau)^3}{3!}</math> になるとする．<br />
<math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} + f^{(3)}(x_0)\frac{(x-x_0)^3}{3!} + \int_{x_0}^x f^{(4)}(\tau)\frac{(x-\tau)^3}{3!}d\tau</math><br />
<math>(x-x_0)</math> の指数が <math>n - 1</math> になるまでこの過程を繰り返すと次の最終形になる．<br />
<math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} + f^{(3)}(x_0)\frac{(x-x_0)^3}{3!} + \cdots +  f^{(n-1)}(x_0)\frac{(x-x_0)^{n - 1}}{(n - 1)!}+ \int_{x_0}^x f^{(n)}(\tau)\frac{(x-\tau)^{n-1}}{(n-1)!}d\tau</math><br />
厳密には数学的帰納法で記述するべきであるが，これで勘弁してほしい…．
</ref>|tag=(2.11a)|label=eq:2.11a}}

<!-- ex:020:start-->
<div id="ex:21">
<strong>例21</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^n x}{dt^n} = f(t), \quad x(0) = a_0, x'(0) = a_1, \cdots x^{(n-1)} = a_{n-1}</math>}}
を解け．

<strong>解答例</strong>

式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.11a|(2.11a)]] に <math>f(0) = a_0, f'(0) = a_1, \cdots f^{(n-1)}(0) = a_{n-1}</math> を代入すればよい．

{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = a_0 + a_1t + \frac{a_2}{2!}t^2 + \frac{a_3}{3!}t^3 + \cdots \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}t^{n-1} + \int_0^t \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!}f(\tau)d\tau</math>}}

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:021:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]