制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/定義のソースを表示

<math>f(t)</math> を実変数の実数値関数、<math>s</math> を実数とするとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) := \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt</math>|tag=(2.1)|label=eq:2.1}}
で定義される <math>s</math> の関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> の [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]といい，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) = \mathcal{L}[f(t)]</math> または <math>F(s) \sqsubset f(t)</math>}}
と表す．このとき <math>F(s)</math> を Laplace 変換の像，<math>f(t)</math> をその原像と呼ぶ．
<math>\diamondsuit</math>

一般には <math>f(t)</math> は実変数の複素数値関数でもよく，<math>s</math> も複素数とするが，当分，上のように実数の範囲で考えておく．

さて無限積分 式 [[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/定義#eq:2.1|(2.1)]] の意味は，もちろん
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) := \lim_{T \to \infty} \int_0^T f(t)e^{-st}dt</math>}}
であり，各 <math>s</math> に対して右辺の極限が存在すれば，それは <math>s</math> の関数を定義するので，それを <math>F(s)</math> とするのである．
もっとも，ここで，<math>f(t)</math> は任意の有限区間で積分できるとしている．我々の目的は微分方程式や差分方程式を解くことにあるのだから，
多くの場合 <math>f(t)</math> は微分可能な関数で，せいぜい区分的に連続な関数である．そのときは，この条件を満たしている．



<!-- ex:016:start-->
<div id="ex:16">
<strong>例16</strong><math>\quad</math>
:<math>f(t) = 1</math> の Laplace 変換を求めよ．


{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T 1\cdot e^{-st}dt </math><math>= \left[ -\frac{e^{-st}}{s} \right]_0^T = \frac{1}{s} - \frac{e^{-sT}}{s}</math>}}
よって，<math>s > 0</math> ならば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T 1\cdot e^{-st}dt \to \frac{1}{s} \quad (T \to \infty)</math>}}
となるから，結局，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s}</math> または <math>1 \sqsupset \frac{1}{s}</math>}}
となる．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:016:end-->



<!-- ex:017:start-->
<div id="ex:17">
<strong>例17</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{s - \alpha} \quad (s > \alpha)</math>}}
を示せ．

<strong>解答例</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} \sqsupset \int_0^\infty e^{\alpha t}\cdot e^{-st}dt = \int_0^\infty e^{(\alpha - s)t}dt = \frac{1}{\alpha - s} \left[ e^{(\alpha - s)t} \right]_0^\infty = \frac{1}{s - \alpha}. \quad (s > \alpha)</math>}}
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:017:end-->



Laplace 積分<ref>Laplace 変換の定義式 [[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/定義#eq:2.1|(2.1)]] の右辺を Laplace 積分という．</ref>の定義から分かる通り，<math>f(t)</math> の <math>t < 0</math> の部分での値は積分には影響しない．

それゆえ，[[w:%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0|Heaviside の関数]]：
{{制御と振動の数学/equation|<math>H(t) = \begin{cases}
1 & (t > 0) \\
0 & (t < 0)
\end{cases}</math>}}
に対しても，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H(t) \sqsupset \frac{1}{s}</math>}}
でる．したがって <math>t<0</math> の部分も考えると，<math>f(t)</math> と <math>F(s)</math> とは 1 対 1 に対応しないことになる．
<math>t<0</math> の部分が関係してくる場合，たとえば <math>f(t - \alpha), \alpha > 0</math> の Laplace 変換を考えるときなどは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = 0 \quad (t < 0)</math>}}
と約束しておく．こうすると実質的に <math>f(t)</math> と <math>F(s)</math> は 1 対 1 に対応する．
“実質的に”というのは，不連続点などの例外点を除いて、という意味である．
この約束は当分必要でないが，差分方程式を取り扱うときなどに重要となる．


<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]