制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解のソースを表示

これで我々の所期の目的は達成された．
しかし，念のため，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{x} = \mathit{\Phi}(t)\boldsymbol{\xi}</math><ref>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法#eq:5.14b|式 (5.14b)]] において，<br />
:<math>\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{x}(0), \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}</math><br />
とおいた．<br />
</ref>}}
が，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x}, \ \ \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{\xi}</math>}}
の解であることを確認しておこう．そのため若干の準備をする．

<!-- theorem:5.3:start-->
<div id="theorem:5.3">
<strong>定理 5.3 (初期値定理）</strong><math>\quad</math>

<math>F(s)</math> を真の分数とするとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) \sqsupset F(s)</math>}}
ならば
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(0) = \lim_{s \to \infty}sF(s)</math>}}
が成立する．

<strong>証明</strong>

既述のように<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法|制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法]], 特に [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.12|式 (4.12) ]]を参照せよ．
</ref>，<math>F(s)</math> の分母の根を <math>\alpha_i\quad (i = 1, \cdots \mu)</math> とすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) = \sum_{i=1}^{\mu} \left\{ \frac{A_{i1}}{s-\alpha_i} + \frac{A_{i2}}{(s-\alpha_i)^2} +  \frac{A_{i3}}{(s-\alpha_i)^3} + \cdots +  \frac{A_{il_i}}{(s-\alpha_i)^{l_i}} \right\}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sqsubset \sum_{i=1}^{\mu} \left\{ A_{i1} + A_{i2}\frac{t}{1!} + A_{i3}\frac{t^2}{2!} + \cdots + A_{il_i}\frac{t^{l_i - 1}}{(l_i - 1)!} \right\}e^{\alpha_i t} = f(t)</math>}}
と書けるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\lim_{s\to\infty}sF(s) = \sum_{i=1}^{\mu} A_{i1} = f(0)</math><ref>
この式中の <math>A</math> は，この章で扱っている連立微分方程式 <math>\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=A\boldsymbol{x}</math> の行列 <math>A</math> ではなく，特性方程式の <math>i</math> 番目の根 <math>\alpha_i</math> についての部分分数展開に現れる係数としての 2 引数の定数 <math>A_{ij}</math> である．<br /> 
:<math>sF(s) = \sum_{i=1}^{\mu} \left\{ \frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} + \frac{A_{i2}s}{(s-\alpha_i)^2} +  \frac{A_{i3}s}{(s-\alpha_i)^3} + \cdots +  \frac{A_{il_i}s}{(s-\alpha_i)^{l_i}} \right\}</math><br />
において，<math>\sum</math> の中の第二項以降，<math>\frac{A_{in}s}{(s-\alpha_i)^n},\ n \geqq 2</math> は <math>s\to\infty</math> のとき <math>0</math> に収束する．<br />
第一項 <math>\frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i}</math> については，
:<math>\sum_i\frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} = \sum_i\frac{A_{i1}(s-\alpha_i) + A_{i1}\alpha_i}{s-\alpha_i}</math><br />
:<math>=\sum_i A_{i1}\left(1 + \frac{\alpha_i}{s - \alpha_i}\right)</math><br />
:<math>=\sum_i A_{i1} + \sum_i A_{i1}\frac{\alpha_i}{s-\alpha_i}</math><br />
よって <math>s \to \infty</math> のとき <math>\sum_i \frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} \to \sum_i A_{i1} + 0 \ \big( \because \frac{\alpha_i}{s-\alpha_i} \to 0 \big)</math>．<br />
ここで <math>f(t) = \sum_{i=1}^{\mu} \left\{ A_{i1} + A_{i2}\frac{t}{1!} + A_{i3}\frac{t^2}{2!} + \cdots + A_{il_i}\frac{t^{l_i - 1}}{(l_i - 1)!} \right\}e^{\alpha_i t}</math> だから<br />
:<math>f(0) = \sum_{i=1}^{\mu} A_{i1}</math><br />
:<math>\therefore s \to \infty</math> のとき <math>\sum_i^{\mu}\frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} \to \sum_{i=1}^{\mu} A_{i1} = f(0)</math><br />
:<math>\therefore s \to \infty</math> のとき <math>sF(s) \to f(0)</math><br />
</ref>}}

<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:5.3:end-->

<references />



この初期値定理を用いると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\alpha_i(0) = \lim_{s\to\infty} s\frac{p_i(s)}{p(s)} = 0\ \ (i = 0, \cdots, n-2)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\alpha_{n-1}(0) = \lim_{s\to\infty} s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)} = 1</math>|tag=(5.23)|label=eq:5.23}}
であることが分かる<ref>
<math>p_i(s)</math> は [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像#theorem:5.2|定理5.2]] のもの．<br />
<math>p_i(s)</math> はこれを定義する逐次多項式の定義から <math>s</math> の最高次数は <math>i</math> であり <math>s^i</math> の係数は <math>1</math>。<br />
</ref>．この結果から次の事実を示すことができる．

<div id="lemma:5.1">
<strong>[補題 5.1]</strong>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像#theorem:5.2corollary|定理 5.2の系]]の <math>\alpha_i(t)</math> に対して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\alpha_i}{dt} = \alpha_{i+1} - a_{i+1}\alpha_0\ \ \ (i = 0, \cdots, n-1)</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\cdots \\
\alpha_{n-1}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-a_1   & 1 &        &   & \\
-a_2   &   & \ddots &   & \\
\vdots &   &        & 1 & \\
-a_n   &   & \cdots & 0 &
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\cdots \\
\alpha_{n-1}
\end{pmatrix}</math>}}
が成立する．ただし，<math>\alpha_n = 0</math> とする．


<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>p_{i+1}(s) = sp_i(s) + a_{i+1}</math>|tag=(5.24)|label=eq:5.24}}
と <math>\alpha_i(0) = 0, \quad (i = 0, \cdots, n-2)</math> より，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\frac{p_i(s)}{p(s)} - \alpha_i(0) = \frac{p_{i+1}}{p(s)} - \frac{\alpha_{i+1}}{p(s)}</math>}}
が得られる．その原像が，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\alpha_i}{dt} = \alpha_{i+1} - a_{i+1}\alpha_0</math>}}
である．<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#eq:5.24|式 (5.24)]] の両辺を <math>p(s)</math> で割って移項を施す．<br />
:<math>\frac{p_{i+1}}{p(s)} - \frac{a_{i+1}}{p(s)} = s\frac{p_i}{p(s)}</math><br />
<math>\alpha_i(0) = 0</math> より
:<math>\frac{p_{i+1}}{p(s)} - \frac{a_{i+1}}{p(s)} = s\frac{p_i}{p(s)} - \alpha_i(0)</math>…①<br />
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像#theorem:5.2corollary|定理 5.2 系]] 中の定義より，<br />
:<math>\alpha_{i+1}(t) \sqsupset \frac{p_{i+1}(s)}{p(s)}</math><br />
また <math>\alpha_0 \sqsupset \frac{p_0}{p(s)} = \frac{1}{p(s)} \ \ \because p_0 = 1</math> より①の原像は，<br />
:<math>\frac{d}{dt}\alpha_i = \alpha_{i+1} - a_{i+1}\alpha_0</math><br />
</ref>

<math>i = n - 1</math> のときは，<math>p_n(s) = p(s)</math> を念頭におけば [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#eq:5.24|式 (5.24)]] から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)} - 1 = -\frac{a_n}{p(s)}</math>}}
<math>\alpha_{n-1}(0) = 1</math> であったから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\alpha_{n-1}}{dt} = -a_n\alpha_0</math>}}
を得る．<ref>[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#eq:5.24|式 (5.24)]] より，
:<math>p_n(s) = sp_{n-1}(s) + a_n</math><br />
両辺を <math>p(s)</math> で割って，
:<math>\frac{p_n(s)}{p(s)} = s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)} + \frac{a_n}{p(s)}</math><br />
移項して<br />
:<math>-\frac{a_n}{p(s)} = s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)}-\frac{p_n(s)}{p(s)}</math><br />
<math>p_n(s) = p(s)</math> であるから，<br />
:<math>-\frac{a_n}{p(s)} = s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)}-1</math>…②<br />
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#eq:5.23|式 (5.23)]] より<br />
:<math>\alpha_{n-1}(0) = 1</math><br />
よって，
:<math>s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)}-1 = s\frac{p_{n-1}(s)}{p(s)}-\alpha_{n-1}(0) \sqsubset \frac{d}{dt}\alpha_{n-1}</math><br />
また <math>\alpha_0 \sqsupset \frac{p_0}{p(s)} = \frac{1}{p(s)} \ \ \because p_0 = 1</math> より②の原像は，<br />
:<math>\frac{d}{dt}\alpha_{n-1} = -a_n\alpha_0</math><br />
</ref>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- lemma:5.1:end-->


<references />


以上の準備の下に，次の結論を得る．

<div id="lemma:5.2">
<strong>[補題 5.2]</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathit{\Phi}(t) = \alpha_0(t)A^{n-1} + \alpha_1(t)A^{n-2} + \alpha_2(t)A^{n-3} + \cdots + \alpha_{n-2}(t)A + \alpha_{n-1}(t)I</math>}}
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\mathit{\Phi}}{dt} = A\mathit{\Phi}, \quad \mathit{\Phi}(0) = I</math>}}
が成立する．


<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>A\mathit{\Phi} = \alpha_0A^n + \alpha_1A^{n-1} + \alpha_2A^{n-2} + \cdots + \alpha_{n-2}A^2 + \alpha_{n-1}A</math>}}
に [[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley-Hamilton の定理]]，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A^n = -a_1A^{n-1} -a_2A^{n-2} - \cdots - a_{n-1}A - a_nI</math>}}
を用いると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A\mathit{\Phi} = (\alpha_1-a_1\alpha_0)A^{n-1} + (\alpha_2-a_2\alpha_0)A^{n-2} + (\alpha_3-a_3\alpha_0)A^{n-3} + \cdots + (\alpha_{n-1} - a_{n-1}\alpha_0)A - a_n\alpha_0I</math>}}
となる．ここで[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#lemma:5.1|補題 5.1]]を考慮すれば，さらに
{{制御と振動の数学/equation|<math>A\mathit{\Phi} = \frac{d\alpha_0}{dt}A^{n-1} + \frac{d\alpha_1}{dt}A^{n-2} + \frac{d\alpha_2}{dt}A^{n-3} + \cdots + \frac{d\alpha_{n-2}}{dt}A - \frac{d\alpha_{n-1}}{dt}I = \frac{d\mathit{\Phi}}{dt}</math>}}
であることが分かる．また，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathit{\Phi}(0) = I</math>}}
は [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#eq:5.23|式 5.23]] より明らか．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- lemma:5.2:end-->

<references />

<!-- theorem:5.4:start-->
<div id="theorem:5.4">
<strong>定理 5.4 </strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\boldsymbol{x} = \mathit{\Phi}(t)\boldsymbol{\xi}</math>}}
は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{\xi}</math>}}
の解である<ref><math>\mathit{\Phi}(t)</math> は[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像#theorem:5.2|定理 5.2]], [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解#lemma:5.2|補題 5.2]] でも定義されていたもの．</ref>．


<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \frac{d\mathit{\Phi}}{dt}\boldsymbol{xi} = A\mathit{\Phi}\boldsymbol{xi} = A\boldsymbol{x}</math>}}
また
{{制御と振動の数学/equation|<math>\boldsymbol{x}(0) = \mathit{\Phi}(0)\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\xi}</math><ref>
<math>\because \mathit{\Phi}(0) = I</math><br />
</ref>}}

<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:5.4:end-->


<!-- ex:117:start-->
<div id="ex:117">
<strong>例117</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>A = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 &  0
\end{pmatrix}</math>}}
のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\det (sI-A) = s^2 + 1</math><ref>
<math>\because sI - A = \begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}</math>
</ref>}}
したがって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_0(s) = 1</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_1(s) = s</math><ref>
<math>p(s) = s^2 + a_1s + a_2</math> において，この場合は <math>a_1 = 0, \ \ a_2 = 1</math>．<br />
漸化式の初期値より <math>p_0(s) = 1, \ \ p_1(s) = sp_0(s) + a_1 = s + 0 = s</math>．<br />
</ref>}}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2+1}A + \frac{s}{s^2+1}I \sqsubset A\sin t + I\cos t</math>}}
となり，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/(sI-A)^-1の計算|以前の結果]]（元々の問題は[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#ex:104|例 104]]）と一致する．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:117:end-->


<references />

<!-- ex:118:start-->
<div id="ex:118">
<strong>例118</strong><math>\quad</math>



<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:118:end-->
{{制御と振動の数学/equation|<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>}}
のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\det(sI-A) = (s-1)^2(s+1) = s^3-s^2-s+1</math><ref>
:<math>sI-A = \begin{pmatrix}
s  & 0   & -1 \\
0  & s-1 & -1 \\
-1 & 0   & s
\end{pmatrix}</math><br />
より，第一列を縦にみて<br />
:<math>\det(sI-A) = s\ \det\begin{pmatrix}
s-1 & -1 \\
0   & s
\end{pmatrix} - 0 \cdot \det\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & s
\end{pmatrix} + (-1)\det\begin{pmatrix}
0   & -1 \\
s-1 & -1 
\end{pmatrix}</math><br />
<math> = s^2(s-1)-(s-1) = (s+1)(s-1)^2</math><br />
</ref>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_0(s) = 1</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_1(s) = s-1</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_2(s) = s^2-s-1</math><ref>
<math>p(s) = s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3</math> において，この場合は <math>a_1 = -1, \ \ a_2 = -1</math>．<br />
<math>p_0(s) = 1, \ \ p_1(s) = sp_0 + a_1 = s - 1</math><br />
<math>p_2(s) = sp_1 + a_2 = s^2 - s - 1</math><br />
</ref>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI-A)^{-1} = \frac{A^2+(s-1)A + (s^2-s-1)I}{(s-1)^2(s+1)}</math>}}
ところで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s-1)^2(s+1)} \sqsubset \alpha_0(t) = \frac{1}{4}\left\{e^{-t}-(1-2t)e^t\right\}</math><ref><math>\frac{1}{(s-1)^2(s+1)} = \frac{-\frac{1}{4}}{s-1} + \frac{\frac{1}{2}}{(s-1)^2} + \frac{\frac{1}{4}}{s+1}</math><br />
よってその原像は <math>\frac{1}{4}\left\{e^{-t} - e^t + 2te^t\right\}</math><br />
</ref>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{s-1}{(s-1)^2(s+1)}\sqsubset \alpha_1(t) = \frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)</math><ref>
<math>\frac{s-1}{(s-1)^2(s+1)}=\frac{1}{(s-1)(s+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{s-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{s+1}</math><br />
よってその原像は <math>\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)</math><br />
</ref>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{s^2-s-1}{(s-1)^2(s+1)}\sqsubset \alpha_2(t) = \frac{1}{4}\left\{e^{-t}+(3-2t)e^t\right\}</math><ref>
<math>\frac{s^2-s-1}{(s-1)^2(s+1)} = \frac{\frac{3}{4}}{s-1} + \frac{-\frac{1}{2}}{(s-1)^2}+\frac{\frac{1}{4}}{s+1}</math><br />
よってその原像は <math>\frac{1}{4}\left\{e^{-t} + 3e^t - 2te^t\right\}</math><br />
</ref>}}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(I-A)^{-1} \sqsubset \alpha_0(t)A^2 + \alpha_1(t)A + \alpha_2(t)I</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{1}{4}\left\{[e^{-t}+(-1+2t)e^t]\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}+[-2e^{-t}+2e^t]\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}+[e^{-t}+(3-2t)e^t]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\right\}</math><ref>
:<math>A^2 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}</math><br />
</ref>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{1}{4}\left\{e^{-t}\begin{pmatrix}2&0&-2\\1&0&-1\\-2&0&2\end{pmatrix}+e^t\begin{pmatrix}2&0&2\\-1+2t&4&1+2t\\2&0&2\end{pmatrix}\right\}</math>}}


<references />

[[カテゴリ:微分方程式]]