制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理のソースを表示

いままでの議論から分かるように，線形定常な連立微分方程式の解法においては，<math>(sI-A)^{-1}</math> の原像を求めることがすべてである．
そのとき中心的な役割を果たすのが [[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley-Hamilton の定理]]である．よく知られているように，<math>sI - A</math> の行列式を <math>A</math> の固有多項式あるいは特性多項式という．
<math>A</math> が <math>n</math> 次の行列ならば，それも <math>s</math> の <math>n</math> 次の多項式となる．いまそれを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) := \det(sI - A) = s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n</math>|tag=(5.15)|label=eq:5.15}}
とおくことにしよう．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(A)I = O</math>}}
が成立する．これが[[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley-Hamilton の定理]]である．

<!-- theorem:5.1:start-->
<div id = "theorem:5.1>
<strong>定理 5. 1 (Cayley-Hamilton)</strong>

行列 <math>A</math> の固有多項式を <math>p(s)</math> とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(A)I = A^n + a_1A^{n-1} + a_2A^{n-2} + \cdots + a_{n-1}A + a_nI = O</math>}}
が成立する．

<strong>証明</strong>

<math>sI-A</math> の余因子行列を <math>B(s)</math> とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI-A)^{-1} = \frac{B(s)}{p(s)}</math>|tag=(5.16)|label=eq:5.16}}
と書ける．<math>B(s)</math> の要素は高々 <math>n-1</math> 次の <math>s</math> の多項式であるので，
{{制御と振動の数学/equation|<math>B(s) = B_0s^{n-1} + B_1s^{n-2} + B_2s^{n-3} + \cdots + B_{n-2}s + B_{n-1}</math>|tag=(5.17)|label=eq:5.17}}
と表すことができる．これと[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.16|式 (5.16) ]]とから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s)I = (sI-A)(B_0s^{n-1} + B_1s^{n-2} + B_2s^{n-3} + \cdots + B_{n-1})</math>|tag=(5.18)|label=eq:5.18}}
とおいて<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.16|式 (5.16) ]]の両辺に <math>p(s)(sI-A)</math> を左から掛ける．
</ref>，左右の <math>s</math> のべきの係数を等置すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
B_0 = I \\
B_1 = AB_0 + a_1I \\
B_2 = AB_1 + a_2I \\
\vdots \\
B_{n-1} = AB_{n-2}+a_{n-1}I \\
O = AB_{n-1}+a_nI
\end{cases}
</math>|tag=(5.19)|label=eq:5.19}}
を得る<ref><math>p(s)I=(sI-A)(B_0s^{n-1}+B_1s^{n-2}+B_2s^{n-3}+\cdots+B_{n-2}s + B_{n-1})</math><br />
実際に展開すると、<br />
:<math>(s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+\cdots+a_{n-1}s+a_n)I = B_0s^n+B_1s^{n-1}+B_2s^{n-2}+\cdots+B_{n-2}s^2 + B_{n-1}s</math><br />
:<math>-AB_0s^{n-1}-AB_1s^{n-2}-\cdots-AB_{n-2}s-AB_{n-1}</math><br />
:<math>=B_0s^n + (B_1-AB_0)s^{n-1} + (B_2-AB_1)s^{n-2}+\cdots+(B_{n-1}-AB_{n-2})s - AB_{n-1}</math><br />
<math>s^i (i=0 \cdots n-1)</math> の係数を比較して，<br />
:<math>\begin{cases}
I &=& B_0 \\
a_1I &=& B_1-AB_0 \\
a_2I &=& B_2-AB_1 \\
\vdots \\
a_{n-1}I &=& B_{n-1}-AB_{n-2} \\
a_nI &=& -AB_{n-1}
\end{cases}</math><br />
したがって <math>AB_i</math> の項を移項して<br />
<math>\begin{cases}
I &=& B_0 \\
AB_0 + a_1I &=& B_1 \\
AB_1 + a_2I &=& B_2 \\
\vdots \\
AB_{n-2}+a_{n-1}I &=& B_{n-1} \\
AB_{n-1}+a_nI &=& O 
\end{cases}</math><br /><br />
</ref>．これらの式から <math>B_i</math> を消去すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(A)I = O</math>}} が得られる．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:5.1:end-->


[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.19|式 (5.19) ]]から <math>B_i</math> を消去する方法は，
上から順に <math>A^n, A^{n-1}, A^{n-2}, \cdots A^2, A, I</math> を掛けて，それらをすべて加えればよい<ref><math>\begin{cases}
{\cancel{\color{red}A^nB_0}}       &= A^n \\
{\cancel{\color{blue}A^{n-1}B_1}}  &= {\cancel{\color{red}A^{n}B_0}}     &+ a_1A^{n-1} \\
{\cancel{\color{green}A^{n-2}B_2}} &= {\cancel{\color{blue}A^{n-1}B_1}}  &+ a_2A^{n-2} \\
{\cancel{\color{red}A^{n-3}B_3}}   &= {\cancel{\color{green}A^{n-2}B_2}} &+ a_3A^{n-3} \\
\quad\quad\vdots \\
{\cancel{\color{blue}AB_{n-1}}}    &= {\cancel{\color{red}A^2B_{n-2}}}   &+ a_{n-1}A \\
O                                  &= {\cancel{\color{blue}AB_{n-1}}}    &+ a_nI
\end{cases}
</math>
</ref>．


<references />


もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し，<math>B_0, B_1, B_2, \cdots</math> の順に逐次消去してもよい．
この方法をまとめておこう．

{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
p_0(s) = 1 \\
p_{i+1}(s) = sp_i(s) + a_{i + 1} \\
(i = 0, 1, \cdots, n-1)
\end{cases}
</math>}}
と逐次多項式 <math>p_i</math> を定義すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>B_i = p_i(A)I</math>|tag=(5.20)|label=eq:5.20}}
と書くことができる<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.19|式 (5.19) ]]
の <math>B_{i+1}</math> を <math>p_{i+1}(s)</math>，したがって，<math>B_i</math> を <math>p_i(s)</math>，
<math>s</math> を <math>A</math> を置き換える．<math>B_i</math> を <math>A</math> で表現することから，<math>p_i(s)</math> を <math>s</math> の関数とし，<math>s</math> に <math>A</math> を代入する見通しである．</ref>．
ただし，<math>B_0 = p_0(A) = I</math> である．この結果より[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.18|式 (5.18) ]]は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s)I = (sI - A) \{ Is^{n-1} + p_1(A)s^{n-2} + p_2(A)s^{n-3} + \cdots + p_{n-2}(A)s + p_{n-1}(A) \}</math>|tag=(5.21)|label=eq:5.21}}
となり，したがってまた，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI-A)^{-1} = \left\{ I\frac{s^{n-1}}{p(s)} + p_1(A)\frac{s^{n-2}}{p(s)} + p_2(A)\frac{s^{n-3}}{p(s)} + \cdots +p_{n-2}(A)\frac{s}{p(s)} + p_{n-1}(A)\cdot\frac{1}{p(s)}\right\}</math>|tag=(5.22)|label=eq:5.22}}
を得る<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.21|式 (5.21) ]]の両辺を <math>p(s)</math>でわると，<br />
:<math>I = (sI-A)\left\{  I\frac{s^{n-1}}{p(s)} + p_1(A)\frac{s^{n-2}}{p(s)} + p_2(A)\frac{s^{n-3}}{p(s)} + \cdots +p_{n-2}(A)\frac{s}{p(s)} + p_{n-1}(A)\cdot\frac{1}{p(s)} \right\}</math><br />
すなわち <br />
:<math>(sI-A)^{-1} = I\frac{s^{n-1}}{p(s)} + p_1(A)\frac{s^{n-2}}{p(s)} + p_2(A)\frac{s^{n-3}}{p(s)} + \cdots +p_{n-2}(A)\frac{s}{p(s)} + p_{n-1}(A)\cdot\frac{1}{p(s)}</math><br />
</ref>．


<references />


<strong>注意</strong>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.19|式 (5.19) ]]は受験数学でなじみ深い[[w:en:Synthetic_division|組立除法]]，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{array}{lcl}
    &  I  & a_1I & a_2I & a_3I & \cdots & a_{n-1}I & a_nI     & | A \\
+)  &     & AB_0 & AB_1 & AB_2 & \cdots & AB_{n-2} & AB_{n-1} &     \\
\hline
    & B_0 & B_1  & B_2  & B_3  & \cdots & B_{n-1}  & p(A)     &     \\
\end{array}
</math>}}
にほかならない．<math>p(A)</math> は余りである．[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.18|式 (5.18) ]]を見ると <math>p(s)I</math> が
<math>(sI-A)</math> で割り切れることを示している．よって剰余の定理より，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(A)I = O</math>}}
を得る．つまり，[[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley-Hamilton の定理]]は[[w:%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86|剰余の定理]]や[[w:%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86|因数定理]]と同じものである．それでは[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.18|式 (5.18) ]]の <math>s</math> を <math>A</math> とおいていきなり <math>p(A)I = O</math> としてよいかという疑問が起きる．結論をいえばそれでよいのである．ただ注意しなければならないのは，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.18|式 (5.18) ]]の等式は <math>s</math> と <math>B_i</math> と交換できることが前提になって成立している．<math>s</math> にある行列を代入したとき，その行列と <math>B_i</math> が交換可能のときのみ，左右の式が等しくなる．[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.20|式 (5.20) ]]から明らかなように，<math>A</math> と <math>B_i</math> とは交換可能である<ref>
<math>p_1(s) = sI + a_1I, \therefore B_1 = p_1(A) = A + a_1I</math> で <math>A^{n+1} = A\cdot A^n = A^n\cdot A</math> であるから <math>B_1</math> と <math>A</math> は可換，<br />
<math>p_2(s) = sp_1(s) + a_2I = s(sI + a_1I) + a_2I = s^2I + sa_1I + a_2I, \therefore B_2 = A^2 + a_1A + a_2I</math> より，同様の理由で <math>B_2</math> と <math>A</math> は可換．<br />
以下必要なだけ帰納的に続ければ <math>B_i</math> と <math>A</math> は可換であることがわかる． 
</ref>．それゆえ[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.18|式 (5.18) ]]に <math>A</math> を代入して，この定理を証明してもよい．しかし，この証明法に従うときには，<math>A</math> と <math>B_i</math> の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない．


<references />


<!-- ex:115:start-->
<div id="ex:115">
<strong>例115</strong><math>\quad</math>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.20|式 (5.20) ]]を用いずに，<math>A</math> と <math>B_i</math> が交換可能であることを示せ．

<strong>解答例</strong>

<math>A</math> の逆行列が存在するならば，
:<math>A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I</math><br />
より，<br />
:<math>(sI-A)^{-1}(sI-A) = (sI-A)(sI-A)^{-1}</math><br />
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理#eq:5.16|式 (5.16) ]]，<br />
:<math>(sI-A)^{-1} = \frac{B(s)}{p(s)}</math><br />
を代入して両辺に <math>p(s)</math> を掛ければ，
:<math>B(s)(sI-A) = (sI-A)B(s)</math>，<br />
:<math>B(s) = B_0s^{n-1} + B_1s^{n-2} + B_2s^{n-3} + \cdots + B_{n-3}s^2 + B_{n-2}s + B_{n-1}</math><br />
を代入して、両辺にあらわれる同じ <math>s</math> のべき乗の係数を等置すると，
:<math>\begin{cases}
s^n     : &  B_0                &= B_0 \\
s^{n-1} : & -B_0A + B_1         &= -AB_0 + B_1 \\
s^{n-2} : & -B_1A + B_2         &= -AB_1 + B_2 \\
s^{n-3} : & -B_2A + B_3         &= -AB_2 + B_3 \\
          & \quad\quad\vdots \\
s^2     : & -B_{n-3}A + B_{n-2} &= -AB_{n-3} + B_{n-2} \\
s       : & -B_{n-2}A + B_{n-1} &= -AB_{n-2} + B_{n-1} \\
1       : & -B_{n-1}A             &= -AB_{n-1}
\end{cases}</math><br />
すなわち，<math>A</math> と <math>B_i</math> は可換である．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:115:end-->

[[カテゴリ:微分方程式]]