制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その２のソースを表示

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その１|前項]]のベクトル・行列による表示をさらに一歩進めよう．
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{x} := \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \quad A := \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \quad I := \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>}}
とおき，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#ex:104|例 104 ]]の解法をたどってみよう．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} = \boldsymbol{x}(0), \quad sI-A = \begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}
</math>}}
に留意すれば，次のように簡潔に記述することができる．まず [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#eq:5.1|式 (5.1) ]]は
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x}(0) = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}</math>}}
と表すことができる．これを[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
s\mathcal{L}[\boldsymbol{x}]- \boldsymbol{x}(0) = A\mathcal{L}[\boldsymbol{x}]</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
(sI-A)\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = \boldsymbol{x}(0)</math>}}
これを解けば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = (sI-A)^{-1}\boldsymbol{x}(0)</math>}}
この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{x}(t) = \mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\boldsymbol{x}(0)</math>}}
となる．これは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
(sI-A)^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{s}{s^2+1}&-\frac{1}{s^2+1}\\\frac{1}{s^2+1}&\frac{s}{s^2+1}\end{pmatrix}
\sqsubset
\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}
</math>|tag=(5.8)|label=eq:5.8}}
であるから[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#eq:5.2|式 (5.2) ]]と一致する．


[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式#ex:108|例 108 ]]を同様に取り扱ってみよう．
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{f}(t) := \begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}</math>}}
とおけば，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式#eq:5.3|式 (5.3) ]]は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t), \quad \boldsymbol{x}(0) = \mathbf{0}</math>}}
である．これを Laplace 変換すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
s\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = A\mathcal{L}[\boldsymbol{x}]+\mathcal{L}[\boldsymbol{f}(t)]</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
(sI-A)\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = \mathcal{L}[\boldsymbol{f}(t)]</math>}}
これを <math>\mathcal{L}[\boldsymbol{x}]</math> について解けば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = (sI-A)^{-1}\cdot\mathcal{L}[\boldsymbol{f}(t)]</math>}}
となる．いま、
{{制御と振動の数学/equation|<math>
(sI-A)^{-1} \sqsubset \mathit{\Phi}(t)</math>}}
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{x}(t) = \int_0^{\infty}\mathit{\Phi}(t-\tau)\boldsymbol{f}(\tau)d\tau</math>}}
を得る．<math>\mathit{\Phi}(t)</math> は[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その２#eq:5.8|式 (5.8) ]]で与えられているから，この結果は [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式#eq:5.4|式 (5.4) ]]にほかならない<ref>[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その１#eq:5.7a|式 (5.7a) ]]も参照せよ．</ref>．

このようにベクトル・行列表示を用いれば，連立微分方程式は，スカラの 1 階微分方程式と，形式的には全く同様に取り扱うことができる．


<!-- ex:111:start-->
<div id="ex:111">
<strong>例111</strong><math>\quad</math>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式#ex:109|例 109 ]]を行列表示で解け．

<strong>解答例</strong>

:<math>
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} &= -y + f(t)\\
\frac{dy}{dt} &= x + g(t)
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha\\
y(0) = \beta
\end{cases}</math><br />
にて，<math>X \sqsubset x, \quad Y \sqsubset y, \quad F \sqsubset f, \quad G \sqsubset g</math> とおいて各式両辺をラプラス変換すると，<br />
:<math>\begin{cases}
sX - \alpha &= -y + F \\
sY - \beta  &= x + G
\end{cases}</math><br />
:<math>
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{x}(0) = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}</math><br />
とおくと，
:<math>
\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} = \mathcal{L}[\boldsymbol{x}]</math><br />
:<math>
\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix} = \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]</math><br />
より，
:<math>
s\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] - \boldsymbol{x}(0) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] + \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]</math><br />
<math>\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = A</math> とおくと，<br />
:<math>(sI-A)\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = \mathcal{L}[\boldsymbol{f}] +  \boldsymbol{x}(0)</math><br />
:<math>\therefore \mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = (sI-A)^{-1}\cdot\mathcal{L}[\boldsymbol{f}] + (sI-A)^{-1}\boldsymbol{x}(0)</math><br />
いま，
:<math>(sI-A)^{-1} \sqsubset \mathit{\Phi}(t)</math><br />
とおけば，この原像は，
:<math>\boldsymbol{x} = \int_0^{\infty}\mathit{\Phi}(t-\tau)\boldsymbol{f}(\tau)d\tau + \mathit{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0)</math><ref>
<math>\mathcal{L}[kf(t)] = k\mathcal{L}[f(t)] \therefore \boldsymbol{k} </math> が <math>t</math> に関係ない定ベクトルとすれば <math>\mathcal{L}[\mathit{\Phi}\boldsymbol{k}] = \mathcal{L}[\mathit{\Phi}]\boldsymbol{k}</math><br />
すなわち <math>(sI-A)^{-1} \sqsubset \mathit{\Phi}</math> であるから，<br />
<math>(sI-A)^{-1}\boldsymbol{k} \sqsubset \mathit{\Phi}\boldsymbol{k}</math><br />
</ref><br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:111:end-->

[[カテゴリ:微分方程式]]