制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数のソースを表示

さて一般に，<math>\mathcal{L}[f(t)]</math> が存在するための十分条件は，[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化|導入章]]にも言及しておいたように，
<math>f(t)</math> が次の関係を満たすことである．すなわち <math>t</math> が十分大きいところで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|f(t)|\leqq Me^{\alpha t} \quad (M, \alpha \in \mathbf{R})</math>|tag=(4.10)|label=eq:4.10}}
となることである．このとき <math>f(t)</math> を指数 <math>\alpha</math> 位の関数ということは前にも述べた．
<math>\alpha</math> を特に意識する必要のないときは，<math>\alpha</math> を省略して呼ぶことにする．

<!-- ex:093:start-->
<div id="ex:93">
<strong>例93</strong><math>\quad</math>

<math>f(t)</math> が指数位の関数であるとき，<math>\mathrm{Re}\ f(t)</math> も <math>\mathrm{Im}\ f(t)</math> も指数位の関数であることを示せ．

<strong>解答例</strong>

<math>f(t) = g(t) + i\ h(t), \quad g(t)</math> と <math>h(t)</math> は実数を定義域とした実数値関数とすると，<br />
:<math>|f(t)| = \sqrt{ \{ g(t) \}^2 + \{ h(t) \}^2 } \leqq Me^{\alpha t}</math><br />
:<math>\therefore \frac{1}{e^{\alpha t}}\sqrt{ \{ g(t) \}^2 + \{ h(t) \}^2 } \leqq M</math><br />
:<math>\sqrt{ \left\{ \frac{g(t)}{e^{\alpha t}}\right\}^2 + \left\{\frac{h(t)}{e^{\alpha t}}\right\}^2 } \leqq M</math><br />
この式が成立するためには <math>\left\{ \frac{g(t)}{e^{\alpha t}}\right\}</math> と <math>\left\{ \frac{h(t)}{e^{\alpha t}}\right\}</math> の両方が有限の値に収束しなければならない．<br />
すなわち，<math>g(t) = \mathrm{Re}\ f(t)</math> と <math>h(t) = \mathrm{Im}\ f(t)</math> の両方が指数位である必要がある．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:93:end-->




<math>f(t)</math> が指数位 <math>\alpha</math> の関数であるとき，<math>\mathrm{Re}\ s > \alpha</math> に対して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\lim_{T\to\infty}\int_0^T f(t)e^{-st}dt = \int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt</math>}}
が存在することは明らかである．事実，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|f(t)e^{-st}| \leqq |f(t)|e^{-\sigma t} \leqq Me^{(\alpha-\sigma)t}</math>}}
で，<math>\sigma > \alpha</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty} e^{-(\sigma-\alpha)t}dt = \frac{1}{\sigma-\alpha} < \infty</math>}}
であるから，複素数値関数の基本的性質[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:5|Ⅴ]]から <math>\mathcal{L}[f]</math> の存在が保証されるのである．




<!-- ex:094:start-->
<div id="ex:94">
<strong>例94</strong><math>\quad</math>

<math>t^ne^{\alpha t} \quad (\alpha \in \mathbf{C})</math> は任意の <math>n</math> に対して指数位の関数である．

事実，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^x > \frac{x^n}{n!} \quad (x > 0)</math>}}
であるから，<math>\beta > \mathrm{Re}\ \alpha, \quad t > 0</math> のとき<ref><math>\beta \in \mathbf{R}</math></ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(\beta-\mathrm{Re}\ \alpha)t} > \frac{[(\beta-\mathrm{Re}\ \alpha)t]^n}{n!}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{n!}{(\beta-\mathrm{Re}\ \alpha)^n}e^{\beta t} > t^ne^{(\mathrm{Re}\ \alpha)\cdot t} = |t^ne^{\alpha t}|</math><ref><math>e^{\alpha t} = e^{(\mathrm{Re}\ \alpha) t}e^{i(\mathrm{Im}\ \alpha) t}</math>，<math>|e^{i(\mathrm{Im})\ \alpha t}| = 1</math> より <math>e^{(\mathrm{Re}\ \alpha) t} = |e^{\alpha t}|</math>
</ref>}}
したがって <math>t^ne^{\alpha t}</math> の Laplace 変換が存在する．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T \frac{t^n}{n!}e^{\alpha t}e^{-st}dt = \bigg[ \frac{-t^n e^{-(s-\alpha)t}} {n!(s-\alpha)} \bigg]_0^T + \frac{1}{s-\alpha}\int_0^T \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t}e^{-st}dt</math><ref>
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8b|式 (2.8b) ]]と同じ考え方である．
</ref>}}
であるから，<math>\mathrm{Re}\ s > \mathrm{Re}\ \alpha</math> ならば，<math>T \to \infty</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}\bigg[\frac{t^n}{n!}e^{\alpha t}\bigg] = \frac{1}{s-\alpha}\mathcal{L}\bigg[\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t}\bigg]</math>}}
これを逐次繰り返すことによって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^n}{n!}e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{(s-\alpha)^{n+1}}</math>}}
を得る．


<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:94:end-->



<!-- lemmma:4.2:start-->
<div id="lemma:4.2">
<strong>補題 4.2</strong><math>\quad</math>
<math>f(t)</math> が指数位の関数ならば <math>\int_0^t f(\tau)d\tau</math> もそうである．

<strong>証明</strong>

複素数値積分の基本的性質[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:4|Ⅳ]]と[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数#eq:4.10|式 (4.10) ]]により，<math>t > 0</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left|\int_0^t f(\tau)d\tau\right| \leqq \int_0^T |f(\tau)|d\tau \leqq M\int_0^t e^{\alpha\tau}d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \frac{M}{\alpha}(e^{\alpha t} - 1) \leqq M_1e^{\alpha t}</math>}}
ここに，<math>M_1 := \frac{M}{\alpha}</math> である．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- lemma:4.2:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]