制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理のソースを表示

線形定常常微分方程式
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^nx}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + a_2\frac{d^{n-2}x}{dt^{n-2}} + \cdots + a_{n-1}\frac{dx}{dt} + a_nx = 0</math>|tag=(4.13)|label=eq:4.13}}
の解の <math>t \to \infty</math> における振舞を調べるのが目的である．ここでは係数は実数としておく．

[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]には <math>x = 0</math> という解がある．
これを零解という．零解は時間の経過には無関係に一定値を取り続ける．そのような解を[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の平衡点と呼ぶことがある．<math>a_n \ne 0</math> ならば[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の平衡点は零解だけである<ref>
<math>p(D)x = 0</math>…①で <br />
<math>p(D)x = \{ q(D) + a_n \}x</math> とおく．<br />
今，<math>x \equiv C</math> が①の解であるとき，<br />
<math>\{ q(D) + a_n \} C = 0</math><br />
<math>q(D)x = 0</math> より <math>a_nC = 0</math><br />
<math>a_n \ne 0</math> より <math>C = 0</math>．
</ref>．
さて，零解以外の任意の解 <math>x(t)</math> が，零解に近づくかどうか，その条件はなにかというのが我々の問題である．

<div id="def_stabirity">
<strong>安定の定義</strong>

(i) [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の解 <math>x(t)</math> が
{{制御と振動の数学/equation|<math>\lim_{t\to\infty} x(t) = 0</math>}}
となるとき，<math>x(t)</math> は安定な解であるという．すべての解が安定な解となるとき，
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の零解は安定である，
あるいは微分方程式 [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|(4.13) ]]は安定であるという．


(ii)
{{制御と振動の数学/equation|<math>\lim_{t\to\infty}|x(t)| = \infty</math>}}
となる解を不安定な解という．このような解が少なくとも一つ存在すれば，
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]は不安定であるという．


(iii)
(i) でも (ii) でもないとき，すなわち <math>t\to\infty</math> で発散する解は存在しない．しかしすべての解が <math>0</math> に漸近するわけではないとき，
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]は安定限界であるという．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- def_stabirity:end-->


<!-- ex:095:start-->
<div id="ex:95">
<strong>例95</strong><math>\quad</math>

(i) <math>e^{-t}, t^3e^{-2t}\cos t \quad</math> （安定な解）

(ii) <math>t, e^{2t}, t\sin t \quad</math> （不安定な解）

(iii) <math>1, \sin t \quad</math> （安定限界となる解）

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:95:end-->

さて[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の特性方程式を <math>p(s)</math> とし，
<math>\alpha</math> をその根とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}, \quad \alpha = a + ib</math>}}
なる根がある．
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} = e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Re }=a < 0 \implies e^{\alpha t} \to 0 \quad (t \to \infty)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Re }=a > 0 \implies |e^{\alpha t}| \to \infty (t \to \infty)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Re }=a = 0 \implies e^{\alpha t} = \cos bt + i\sin bt</math>}}
となる．上から <math>e^{\alpha t}</math> は安定，不安定，安定限界であることが分かる．一般の解は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>t^ke^{\alpha t}</math>}}
のような解の 1 次結合から成り立っている．したがって，この解の安定，不安定を調べればよい．
{{制御と振動の数学/equation|<math>|t^ke^{\alpha t}| = |t|^k e^{at}</math>}}
であるから <math>a > 0</math> なら，この解は <math>t \to \infty</math> とともに発散する．また <math>a < 0</math> なら，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a < c < 0</math>}}
なる負の実数 <math>c</math> が存在し，この <math>c</math> に対して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(c-a)t} \geqq \frac{ \{ |c-a| |t| \}^k}{k!} \quad (t>0)</math><ref>.
</ref>|tag=(4.13b)|lagel=eq:4.13b}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{k!}{|c-a|^k}e^{ct} \geqq |t|^ke^{at}</math>}}
となる．よって <math>c<0</math> に留意すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|t^ke^{at}| = |t|^ke^{at} \to 0 \quad (t\to\infty)</math>}}
を得る．それゆえ，次の結果が得られた．


<div id="theorem:4.1">
<strong>定理 4.1（安定定理）</strong>
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|式 (4.13) ]]の特性方程式 <math>p(s)</math> の根 <math>\alpha_i</math> の実数部の最大なるものを <math>a^{*}</math> とする．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a^{*} := \underset{i}{\mathrm{max}}\ \mathrm{Re}\ \alpha_i, \quad a^{*} = \mathrm{Re}\ a^{*}</math>}}
とするとき，微分方程式[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13| (4.13) ]]は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a^{*} < 0</math> なら，安定}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>a^{*} > 0</math> なら不安定}}
である．また，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a^{*} = 0</math>}}
ならば，
{{制御と振動の数学/equation|(i) <math>a^{*}</math> が <math>p(s)</math> の単根のとき，安定限界}}
{{制御と振動の数学/equation|(ii) <math>a^{*}</math> が <math>p(s)</math> の重根のとき，不安定}}
である．

<strong>証明</strong>

前半の安定・不安定の部分の証明はすでに与えた．後半の単根の場合も終わっている．
重根の場合は，<math>\alpha^* = a^* + ib^*</math> とすると<ref>
さらに <math>a^* = 0</math><br />
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|t^ke^{\alpha^* t}| = |t^k e^{ib^*t}|</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=|t|^k \quad (k \geqq 1)</math>}}
であるから，この解は発散する．よって不安定である．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:4.1:end-->


この定理から，安定・不安定の判別は，<math>p(s)</math> の根の，複素平面 (<math>s</math> 平面）上における配置によって決まることが分かる．

<strong>安定</strong><math>\quad</math> 根がすべて左半面にあるとき

<strong>不安定</strong><math>\quad</math> 少なくとも 1 根が右半面に存在するか，あるいは右半面には存在しないが，虚軸上に重根があるとき

<strong>安定限界</strong><math>\quad</math> 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき

とまとめることができる．




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]