制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分のソースを表示

===(1)原始関数===
実変数 <math>t</math> の複素数値関数 <math>f(t)</math> が与えられているとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dF(t)}{dt} = f(t)</math>}}
となる関数 <math>F(t)</math> を <math>f(t)</math> の原始関数という．

<!-- ex:087:start-->
<div id="ex:87">
<strong>例87</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{\alpha}e^{\alpha t}</math>}}
は <math>e^{\alpha t}</math> の原始関数．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:87:end-->

<math>A in \mathbf{C}</math> を任意の定数とするとき，<math>F(t) + A</math> も <math>f(t)</math> の原始関数となる．これを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int f(t)dt := F(t) + A</math>}}
と表す．時には <math>A</math> を省略することがある．

さてこのように定義すると <math>g(t), h(t)</math> を実関数とし，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = g(t) + ih(t)</math>}}
なるとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int f(t)dt = \int g(t)dt + i\int h(t)dt</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Re}\ \int f(t)dt = \int \mathrm{Re}\ f(t)dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Im}\ \int f(t)dt = \int \mathrm{Im}\ f(t)dt</math>}}
が成立する．

事実，<math>f(t)</math> の原始関数の一つを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(t) = G(t)+iH(t)</math>}}
とすると，微分の定義<ref>[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の微分#eq:4.3|式 (4.3) ]]</ref>から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dF}{dt} = \frac{dG}{dt} + i\frac{dH}{dt}</math>}}
であるが，これが，
{{制御と振動の数学/equation|<math>g(t) + ih(t)</math>}}
に等しいのであるから，相等の定義<ref>複素数の相等の定義</ref>から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dG}{dt} = g, \quad \frac{dH}{dt} = h</math>}}
となる．これは <math>G, H</math> が実関数 <math>g, h</math> の原始関数であることを意味するから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>G(t) + a = \int g(t)dt, \quad H(t) + b = \int h(t)dt</math>}}
と書ける．ここに <math>a, b</math> は任意の実定数である．ここで <math>A = a + ib</math> とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(t) + A = \{G(t) + a\} + i\{H(t) + b\}</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int f(t)dt = \int g(t)dt + i\int h(t)dt</math>}}
を得る．

<!-- ex:088:start-->
<div id="ex:88">
<strong>例88</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\int e^{\alpha t}dt = \frac{1}{\alpha}e^{\alpha t} \quad \alpha = a + ib</math>}}
の実部と虚部を等置することにより，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int e^{\alpha t}\cos bt\ dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2}(a\cos bt + b\sin bt)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int e^{\alpha t}\sin bt\ dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2}(a\sin bt - b\cos bt)</math>}}
を得る<ref>
<math>\int e^{\alpha t}dt = \int e^{(a + ib)t}dt</math><br />
<math>=\int e^{at}(\cos bt + i\sin bt)dt</math><br />
また，<br />
<math>\frac{1}{\alpha}e^{\alpha t} = \frac{1}{a+ib}e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math><br />
<math>= \frac{e^{at}}{(a+ib)(a-ib)}(a-ib)(\cos bt + i\sin bt)</math><br />
<math>= \frac{e^{at}}{a^2 + b^2}\left\{ (a\cos bt + b\sin bt) + i(a\sin bt - b\cos bt)\right\}</math><br />
</ref>．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:88:end-->

===(2)定積分===

複素数値関数 <math>f(t) = g(t) + ih(t)</math> の定積分を，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b f(t)dt = \int_a^b g(t)dt + i\int_a^b h(t)dt</math>}}
と定義する．このとき微分積分学の基本公式が成立する．

<div id="fundamental">
<strong>微分積分学の基本公式</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b f'(t)dt = f(b) - f(a)</math>}}

<strong>証明</strong>

実関数に対する基本公式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b g'(t)dt = g(b)-g(a)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b h'(t)dt = h(b)-h(a)</math>}}
は既知であるから，第 2 式に <math>i</math> を掛けて加えればよい．

また定積分に関して次の性質が成立する．

<div id="characteristic">
<strong>複素数値関数の積分の基本的性質</strong>

<div id="characteristic:1">
[Ⅰ] <math>f_1(t), f_2(t)</math> を複素数値関数，<math>c_1, c_2 \in \mathbf{C}</math> とすれば
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b \left\{ c_1f_1(t) + c_2\right\} = c_1\int_a^b f_1(t)dt + c_2\int_a^b f_2(t)dt</math>}}

<div id="characteristic:2">
[Ⅱ] <math>f(t), g(t)</math> を複素数値関数とするとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b f'(t)g(t) = \bigg[ f(t)g(t) \bigg]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)dt</math>}}

<div id="characteristic:3">
[Ⅲ] <math>f(t)</math> を複素数値関数，<math>\varphi(\tau)</math> は実数値関数とする．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b f(t)dt = \int_{\tau_a}^{\tau_b} f[\varphi(\tau)]\varphi'(\tau)d\tau</math>}}
ここに，<math>a = \varphi(\tau_a), b - \varphi(\tau_b)</math>．

<div id="characteristic:4">
[Ⅳ]
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left| \int_a^b f(t)dt\right| \leqq \int_a^b \left| f(t) \right| dt \quad b>a</math>}}
ここに <math>f(t)</math> は複素数値関数

<div id="characteristic:5">
[Ⅴ] <math>f(t)</math> を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty} \left| f(t) \right|dt < \infty</math> ならば <math>\int_0^\infty f(t)dt</math> は存在する．}}


以下に [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:4|Ⅳ]] の証明だけ与えておく．
ほかは，実関数に関する同様な公式を既知とすれば，複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる．


<div id="characteristic:4:proof">
<strong>[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:4|公式Ⅳ]]の証明</strong>

<math>\int_a^b f(t)dt</math> は複素数であるから，その偏角を <math>\theta</math> とおいて，極形式で表すと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b f(t)dt = \left|\int_a^b f(t)dt\right|e^{i\theta}</math>}}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left|\int_a^b f(t)dt\right| = e^{-i\theta}\int_a^b f(t)dt</math>}}
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:1|公式Ⅰ]]を用いて
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\int_a^b e^{-i\theta}f(t)dt</math>}}
定積分の定義により，
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\int_a^b \mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}dt + i\int_a^b \mathrm{Im}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}dt</math>}}
となる．左辺は実数であるから，右辺の第 2 項は <math>0</math> である．また，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\} \leqq \left|e^{-i\theta}f(t)\right|=|f(t)|</math><ref>
<math>|e^{-i\theta}| = |\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)|=1</math><br />
</ref>}}
であるから，実関数に関する公式[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:4|Ⅳ]]を用いると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left|\int_a^b f(t)dt\right| = \int_a^b \mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\leqq \int_a^b |f(t)|dt \quad (b > a)</math>}}
を得る<ref>
<!--
実数に関して公式Ⅳを適用すると <math>\left|\int_a^b \mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}dt\right| \leqq \int_a^b \left|  \mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}\right|dt</math><br />
そして <math>\mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\} \leqq |f(t)|</math><br />
すなわち <math>\int_a^b \left| \mathrm{Re}\ \left\{e^{-i\theta}f(t)\right\}\right|dt \leqq \int_a^b |f(t)|dt</math><br />
-->
</ref>．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- characteristic:4:proof:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]