初等整数論/多項式のソースを表示

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多項式とは、

<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math>

のことである。<math>x</math> のことを「変数」、<math>a_k</math> を「係数」という。一般に係数は範囲が明確に示されることが多い。
係数が属すべき範囲が異なると、多項式の性質も変化する。例えば <math>x^3-2</math> は有理数上ではこれ以上分解することができないが、実数上では <math>(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})</math> と分解され、複素数上では <math>(x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt[3]{2}\omega)(x-\sqrt[3]{2}\omega^2), \omega=(-1+\sqrt{-3})/2</math> と分解される。
そこで、係数が属すべき範囲を一つ固定して、その上で議論する。そして基本的に係数が属すべき範囲は、体（その範囲内で0以外の数で割り算が可能な集合）とする。有理数や実数、複素数はこれにあたるが、整数全体の集合は、 1/2, 1/3, 3/2 のようなものを含まないので、この項での議論には適さない場合がある。
係数がどの範囲の数なのかに従って、「整数係数多項式」、「有理係数多項式」などという。また <math>a_n \neq 0</math> のとき、この方程式を「<math>n</math> 次多項式」という。

さて、式は次の2つに分けることができる。

* どんな値を変数 <math>x, y, z, \cdots</math> に代入しても <math>=</math> で結ばれた左右の値が常に等しくなる式
* ある値について <math>=</math> で結ばれた左右の値が等しくならないことがある式

どの式もこの2つに分けられることが分かるだろう。前者を「（<math>x, y, z \cdots</math>に関する）恒等式」、後者を「方程式」という。恒等式の変数が明らかな場合は略される。

'''例'''

;恒等式
:*<math>0 = 0</math>
:*<math>x^2 = 2x^2 - x^2</math>
:*<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
:*<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1</math> （変数は <math>\theta</math>）

;方程式
:*<math>2x = 0</math>
:*<math>9x^3 - 7x^2 + 2x = 2x^4 - 7x^2 + 8x + 9</math>
:*<math>2x + 9y + 7z = 1</math>
:*<math>\sin 2x = \sin x</math>


さて、多項式に関して[[初等整数論/整除性|整数の場合]]と同じように整除性について組み立てることができる。

== 基本的な定理 ==
今から一般に変数が1つの多項式を扱う。多項式は <math>P(x)</math> で表す。何が変数なのか明らかな場合は <math>P</math> と省略して書く。

2つの多項式が多項式として等しいとは、その係数がすべて一致することをいう。値が等しい場合と紛らわしいので、<math>P(x) \equiv Q(x)</math> という記号をもって、両者が多項式として等しいことを表すことにする。また <math>P \not\equiv Q</math> はそうでない、つまり一致しない係数が存在することをいう。
つまり <math>P(x) \equiv Q(x)</math> とは <math>P(x)-Q(x)</math> の係数がすべて 0 であることを意味し、<math>P \not\equiv Q</math> は <math>P(x)-Q(x)</math> が 0 ではない多項式であることを意味する。

さて、整数と同様の公理を満たすことを確認しなければならない。

<math>P \equiv Q</math> ならば、

* <math>P + R \equiv Q + R</math>
* <math>PR \equiv QR</math>

などである。これらは簡単に示すことができる。ここでは[[初等整数論/公理#乗法の公理|乗法の公理 5]] を多項式でも満たすことを示す。

その前にいくつか他の定理を準備する。

0 ではない多項式の次数、すなわち <math>a_n\neq 0</math> となる最大の <math>n</math> を <math>|A|</math> と表すこととする。（普通は <math>\deg A</math> と書くがここでは省略のためこう書くことにする）

'''定理 i''' <math>|A| > |B|</math> のとき、<math>|A+B| = |A|.</math>

<math>A = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0 \ \ (a_n, b_m \, \neq 0)</math> とするとき、

<math>|A| > |B| \iff n > m</math> なので、

<math>A + B = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + (a_m+b_m)x^m + (a_{m-1}+b_{m-1})x^{m-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)</math>

よって <math>|A+B| = |A|.</math>


'''定理 ii''' <math>A(x) \not\equiv 0, \ B(x) \not\equiv 0</math> ならば、<math>|AB| = |A| + |B|.</math> 特に <math>A(x)B(x)\not\equiv 0.</math>

<math>B = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0 \ \ (b_m \neq 0)</math> とする。

<math>|A| = 0</math> のとき、すなわち <math>A(x) = a</math> のとき、

<math>AB = ab_mx^m + ab_{m-1}x^{m-1} + \cdots + ab_1x + ab_0</math> であり、また <math>ab_m \neq 0</math> より、<math>|AB| = |B| = |A| + |B|.</math>

次に <math>|A| < n</math> のとき正しいとする。

<math>A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x_{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ A'(x) = A(x) - a_nx^n \ \ \ (a_n \neq 0)</math> とする。

<math>AB = a_nx^nB + A'B.</math> このとき <math>|A'| < n</math> より <math>|A'B| = |A'| + |B| < n + m.</math>

<math>a_nx^nB = a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1} + \cdots + a_nb_1x^{n+1} + b_0x^n, \ \ a_nb_m \neq 0</math> より、<math>|a_nx^nB| = n+m.</math>

したがって定理 i より、<math>|AB| = |a_nx^nB + A'B| = n+m.</math>

以上より累積帰納法より、正しいことが証明される。


さていよいよ次の定理を証明する。

'''定理 iii''' <math>A(x)C(x) \equiv B(x)C(x) \wedge C(x) \not\equiv 0 \Rightarrow A(x) \equiv B(x).</math>

<math>A(x)C(x) \equiv B(x)C(x) </math> であるとき <math>C(x)(A(x)-B(x))\equiv 0</math> である。ここで <math>A(x) \not\equiv B(x)</math> であったとすると、<math>C(x) \not\equiv 0</math> と仮定しているから定理 ii より <math>C(x)(A(x)-B(x)) \not\equiv 0</math> となり矛盾。

よって定理は背理法によって証明される。

== 因数 ==
'''定義'''

<math>P(x) \equiv Q(x)R(x)</math> が成り立つとき、<math>P</math> は <math>Q, R</math> を'''因数に持つ'''、<math>P</math> は <math>Q, R</math> で'''割り切れる'''という。記号で <math>Q \, | \, P</math> と書くことにする。

====== 定理 1 ======
<math>R \, | \, P_1, P_2, \cdots , P_n</math> のとき、<math>R \, | \, P_1Q_1 + P_2Q_2 + \cdots P_nQ_n</math>

'''証明'''<br />
仮定より <math>P_1 = RS_1, \, P_2 = RS_2, \cdots , P_n = RS_n</math> とおく。すると、

<math>\begin{align}
P_1Q_1 + P_2Q_2 + \cdots P_nQ_n & = RS_1Q_1 + RS_2Q_2 + \cdots + RS_nQ_n \\
& = R(S_1Q_1 + S_2Q_2 + \cdots + S_nQ_n)
\end{align}</math>

よって定理は証明される。

== 除法の原理 ==
さて、整数の整除についての根幹を成す定理は[[初等整数論/整除性#除法の原理|定理 1.2]] であるが、幸いにも多項式にも同様の定理が成り立つことが言える。

====== 定理 2 ======
任意の多項式 <math>A, B \ (B(x) \not\equiv 0)</math> について、

<math>A = BQ + R</math> で、<math>R</math> の次数が <math>B</math> よりも小さいような組 <math>(Q, R)</math> がただ一つ存在する。また、 <math>A, B</math> の係数が有理数であれば <math>Q, R</math> の係数も有理数であり、<math>A, B</math> の係数が整数で <math>B</math> の最高次の係数が1ならば <math>Q, R</math> の係数も整数である。

また、このとき <math>x=\alpha</math> を <math>B(x)=0</math> の解とすると <math>A(\alpha)=R(\alpha).</math>

'''証明'''<br />
<math>|A| < |B|</math> のとき、

<math>Q = 0, R = A</math> とすれば定理の主張を満たす。


<math>|A| = |B|</math> のとき、

<math>A = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x + b_0</math> とする。このとき、

<math>b_n \neq 0</math> であることから、<math>Q = \frac{a_n}{b_n}B</math> とおくと、

<math>BQ = a_nx^n + \left( \frac{a_nb_{n-1}}{b_n} \right) x^{n-1} + \cdots + \left( \frac{a_nb_1}{b_n} \right) x + \left( \frac{a_nb_0}{b_n} \right).</math> したがって、

<math>A - BQ = \left( a_{n-1} - \frac{a_nb_{n-1}}{b_n} \right) x^{n-1} + \cdots + \left( a_1 - \frac{a_nb_1}{b_n} \right) x + \left( a_0 - \frac{a_nb_0}{b_n} \right)</math> となる。

<math>R = A - BQ</math> とおけば、この式は <math>A = BQ + R</math> と恒等式になり、また明らかに <math>|R| < |A|.</math> よって定理の主張を満たす。


次に <math>|A| > |B|</math> のときであるが、これには数学的帰納法を用いる。

<math>|A| = \alpha, \, |B| = \beta</math> とし、<math>\alpha - \beta = n > 0</math> なので、<math>n</math> に対して数学的帰納法を用いる。

<math>A = a_{\alpha}x^{\alpha} + a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_{\beta}x^{\beta} + b_{\beta - 1}x^{\beta - 1} + \cdots + b_1x + b_0</math>

とおく。

(i) <math>n = 1</math> のとき

<math>B = b_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + b_{\alpha - 2}x^{\alpha - 2} + \cdots + b_1x + b_0</math> となる。

このとき、<math>\left( \frac{ a_{\alpha} }{ b_{\alpha - 1} } x \right) B = a_{\alpha}x^{\alpha} + \left( \frac{ a_{\alpha} b_{\alpha - 1} }{ b_{\alpha - 1} } \right) x^{\alpha - 1} + \cdots +\left(  \frac{ a_{\alpha} b_1 }{ b_{1} } \right) x^2 + \left( \frac{ a_{\alpha} b_0 }{ b_{\alpha - 1} } \right) x</math>

したがって、<math>Q = \frac{ a_{\alpha} }{ b_{\alpha - 1} } x</math> とおけば、

<math>R = A - BQ = \left( a_{\alpha-1} - \frac{a_{\alpha} b_{\alpha - 1} }{ b_{\alpha - 1} } \right) x^{\alpha - 1} + \cdots +\left( a_2 -  \frac{ a_2 b_1 }{ b_{1} } \right) x^2 + \left( a_1 \frac{ a_{\alpha} b_0 }{ b_{\alpha - 1} } \right) x + a_0</math>

となり、よって定理の主張を満たす。


(ii) <math>n = k</math> のとき正しいとする。

さて、<math>A = a_{\alpha}x^{\alpha} + a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_{\beta}x^{\beta} + b_{\beta - 1}x^{\beta - 1} + \cdots + b_1x + b_0</math> とおいて、

<math>\alpha - \beta = k+1</math> だとする。<math>A</math> の最高次を取った多項式

<math>A' = a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0</math> について、<math>|A'| - |B| = k</math> より、帰納法の仮定から

<math>A' = BQ + R \ \ (|R| < |B|) \cdots (1)</math> と書ける。

<math>\left( \frac{a_{\alpha}}{b_{\beta}} x^{\alpha - \beta} \right)B = a_{\alpha}x^{\alpha} + \left( \frac{b_{\beta - 1} a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - 1} + \cdots + \left( \frac{b_1 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta + 1} + \left( \frac{b_0 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta}</math>

したがって、
<math>S = \frac{a_{\alpha}}{b_{\beta}} x^{\alpha - \beta}, \ C = \left( \frac{b_{\beta - 1} a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - 1} + \cdots + \left( \frac{b_1 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta + 1} + \left( \frac{b_0 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta}</math> とおけばこの式は

<math>SB = a_{\alpha}x^{\alpha} + C</math> と書ける。ところで <math>a_{\alpha}x^{\alpha} = A - A'</math> より、

(1) より <math>SB = (A - A') + C \iff A = B(S+Q) + (R-C) \cdots (2)</math>

ここで <math>|C| - |B| = \alpha - 1 - \beta = k</math> より帰納法の仮定から <math>C = BQ' + R' \ \ (|R'| < |B|)</math> と書ける。

<math>\therefore (2) \iff A = B(S+Q) + (R-BQ' - R') \iff A = B(S+Q-Q') + (R - R')</math>

ここで <math>|R| < |B|, \ |R'| < |B|</math> より <math>|R - R'| < |B|.</math>

したがって、<math>k+1</math> のときも定理の主張を満たす。

(i) (ii) より数学的帰納法から証明される。またその構成から、係数に関する主張も従う。


次は除法が一意であることを証明する。仮にある多項式 <math>A</math> が <math>B</math> で割ったときに、二通りに書けたとする。

<math>\begin{align}
A & = BQ + R \ \  & (|R| < |B|) \\
A & = BQ' + R' \ \ & (|R'| < |B|) \\
\end{align}</math>

すると <math>B(Q - Q') + (R - R') = 0 \iff B(Q - Q') = R' - R</math> となる。すなわち <math>R' - R</math> は <math>B</math> を因数に持つことになる。しかし仮定より <math>|R| - |R'| < |B|</math> なので、<math>B</math> に 0以外の0次以上の多項式をかけても次数が <math>B</math> より小さくなることはない。したがって <math>Q - Q' = 0</math> とならざるをえない。これによって <math>R' - R = 0</math> が導かれ、結局 <math>Q = Q', \, R = R'</math> となり、ただ一通りにしか書けないことが証明される。

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さて、長くなってしまったが、これで我々の必要としていた定理が導かれた。

=== 剰余の定理 ===
<math>P(x)</math> を <math>(x - a)</math> という多項式で割ったときの式を、定理 1.2 に従って

<math>P(x) = (x-a)Q(x) + b</math> とする。余りが0次なのは、1次式で割っているからである。

定理 2 より <math>b = P(a)</math> である。実際、<math>P(a) = (a - a)Q(x) + b = b</math> となる。つまり、余りの値が分かるのである。これより、次の定理が従う。


'''定理'''

<math>P(x)</math> を <math>(x - a)</math> で割ったときの余りは <math>P(a)</math>


特に <math>P(a) = 0</math> のとき、<math>P(x) = (x - a)Q(x)</math> と書ける。つまり、'''<math>P(x)</math> は <math>(x-a)</math> を因数に持つ'''。この定理は剰余の定理の特別な場合だが、重要であるため「因数定理」という名前が付いている。

<math>P(a) = 0</math> となる <math>a</math> のことを、多項式 <math>P</math> の零点という。

== 係数比較 ==
多項式に関する定理で重要な定理に次のものがある。

'''定理'''

多項式 <math>A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math> について、

<math>A(x) = 0</math> が恒等式 <math>\iff A(x)\equiv 0\iff a_n = 0 \wedge a_{n-1} = 0 \wedge \cdots \wedge a_1 = 0 \wedge a_0 = 0.</math>

'''証明'''<br />
<math>\Leftarrow</math> は自明だろう。<math>\Rightarrow</math> を <math>n</math> に関する数学的帰納法で証明する。

まず、0次式の場合は自明である。1次式の場合は、<math>A(x) = ax + b</math> に <math>\alpha \neq \beta</math> の2つを代入して

<math>a\alpha + b = 0, \ a\beta + b = 0</math> したがって <math>a(\alpha - \beta) = 0.</math>

ところで <math>\alpha - \beta \neq 0</math> より <math>a = 0</math> よって <math>b = 0.</math>

次に、<math>n-1</math> 次式でこの定理が正しいと仮定し、 <math>n</math> 次式でも正しいことを証明する。<math>A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math> とする。このとき <math>A(x) = 0</math> は恒等式だから異なる <math>n+1</math> 個の値 <math>x_0, x_1, \cdots , x_n</math> を代入しても <math>A(x_0) = \cdots = A(x_n) = 0.</math>

因数定理より、<math>A(x) = (x - x_0)Q(x)</math> と書ける。このとき、<math>Q(x)</math> の最高次の係数は <math>a_n</math> であることは簡単に分かる。また、<math>A(x_1) = (x_1 - x_0)Q(x_1) = 0</math> なのだが、<math>x_1 - x_0 \neq 0</math> より <math>Q(x_1) = 0.</math> 再び因数定理より、

<math>Q(x) = (x - x_1)Q_1(x)</math> と書ける。このときの <math>Q_1</math> の最高次の係数も <math>a_n</math> であることが簡単に分かる。これを代入して <math>A(x) = (x-x_0)(x-x_1)Q_1(x).</math> これを繰り返せば

<math>A(x) = a_n(x-x_0)(x-x_1) \cdots (x-x_{n-1}).</math>

<math>A(x_n) = a_n(x_n-x_0)(x_n-x_1) \cdots (x_n-x_{n-1}) = 0</math> だが、<math>x_n-x_0 \neq 0, x_n-x_1 \neq 0 \cdots x_n - x_{n-1} \neq 0</math> より

<math>a_n = 0</math> となる。したがって <math>A(x) = a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0</math> となる。

以上より数学的帰納法によって証明される。

== 微分 ==

<math>P(x)</math> を多項式とし、<math>\alpha</math> を方程式 <math>P(x)=0</math> の解とする。因数定理より、これは <math>P(x)</math> が <math>x-\alpha</math> を因数に持つことと同値である。<math>\alpha</math> が重解あるいは重根であるとは、<math>P(x)</math> が <math>(x-\alpha)^2</math> を因数に持つことである。同様に<math>\alpha</math> が <math>n</math> 重解あるいは <math>n</math> 重根であるとは、<math>P(x)</math> が <math>(x-\alpha)^n</math> を因数に持つことである。

さて、多項式 <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0</math> に対し、微分 <math>\frac{d}{dx}P(x)</math> あるいは <math>P'(x)</math> を
:<math>(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0)'=\frac{d}{dx}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1</math>
により定める（これは微分積分学における[[解析学基礎/微分１#多項式の微分|多項式関数の微分]]と同様である。ただしここでは、関数ではなく多項式そのものに対する演算として微分を定める。ここでの議論には極限に関する議論を要しない点に注意）。

すると、明らかに次の2つの公式が成り立つ。また逆に次の2つの公式が成り立つように <math>\frac{d}{dx}P(x)</math> を定めれば、一般の多項式について上記の公式が成り立つ。
* <math>\frac{d}{dx}(1)=0, \frac{d}{dx}x=1, \frac{d}{dx}x^2=2x, \ldots, \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1},</math>
* <math>\frac{d}{dx}(aP(x)+bQ(x))=a\frac{d}{dx}P(x)+b\frac{d}{dx}Q(x).</math>

さらに、
* <math>\frac{d}{dx}(P(x)Q(x))=P'(x)Q(x)+P(x) Q'(x)</math>
が成り立つ。
実際、<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0, Q(x)=x^m</math> のとき
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}(P(x)Q(x))& = (a_nx^{m+n}+a_{n-1}x^{m+n-1}+\cdots +a_0x^m)' \\
& =(m+n)a_nx^{m+n-1}+(m+n-1)a_{n-1}x^{m+n-2}+\cdots +ma_0x^{m-1} \\
& =(na_nx^{m+n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{m+n-2}+\cdots +a_1x^m)+m(a_nx^{m+n-1}+a_{n-1}x^{m+n-2}+\cdots +a_0x^{m-1}) \\
& =x^m(na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1)+mx^{m-1}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0) \\
& =x^mP'(x)+mx^{m-1}P(x)
\end{align}</math>
であるから、一般の <math>Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_0</math> についても
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}(P(x)Q(x))& =(b_mP(x)x^m+b_{m-1}P(x)x^{m-1}+\cdots +b_0P(x))' \\
& =b_m(P(x)x^m)'+b_{m-1}(P(x)x^{m-1})'+\cdots +b_0P'(x) \\
& =b_m(x^mP'(x)+mx^{m-1}P(x))+b_{m-1}(x^{m-1}P'(x)+(m-1)x^{m-2}P(x))+\cdots + b_0P'(x) \\
& =P'(x)(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_0)+P(x)(mb_m x^{m-1}+(m-1)b_{m-1}x^{m-2}+\cdots +b_1) \\
& =P'(x)Q(x)+P(x) Q'(x)
\end{align}</math>
が成り立つ。

<math>P(x)</math> が <math>x=\alpha</math> を解に持つとし <math>P(x)=(x-\alpha) Q(x)</math> とおくと
:<math>P'(x)=(x-\alpha) Q'(x)+Q(x)</math>
より <math>P'(\alpha)=Q(\alpha)</math> となる。ここで<math>P(x)</math> が <math>x=\alpha</math> を重解に持つとは、<math>Q(\alpha)=0</math> と同義であるから次のことがわかる。

====== 定理 A ======
<math>P(x)</math> が <math>x=\alpha</math> を重解に持つための必要十分条件は <math>P(\alpha)=P'(\alpha)=0</math> が成り立つことである。


また、より一般に、一般に<math>P(X)</math> が <math>Q(X)</math> で割り切れるとき <math>P(X)=Q(X)P_1(X)</math> とおくと
:<math>P'(X)=Q(X)P_1'(X)+Q'(X)P_1(X)</math>
であるから <math>Q(X) | P_1(X)</math> ならば <math>Q(X) | P'(X)</math> である。よって次のことがわかる。

====== 定理 B ======
<math>P(x)</math> が <math>Q(x)^2</math> を因数に持つならば <math>P(X), P'(X)</math> が共に <math>Q(X)</math> を因数に持つ。


ここでは逆は必ずしも成り立たない。たとえば <math>X^4, (X^4)'=4X^3</math> は共に <math>X^3</math> で割り切れるが <math>X^4</math> は <math>X^6</math> で割り切れないのは明らかである。


== 公約多項式・公倍多項式 ==
多項式 <math>A, B, \cdots</math> について、それら全ての因数である多項式を「公倍多項式」という。0次の多項式（定数項）は自明に約数である。

また多項式 <math>A, B, \cdots</math> 全てを因数に持つ多項式を「公約多項式」という。

多項式に関する公約・公倍は整数のときと同じ定義・記号を使う。最大公約・最小公倍多項式は次数が最大・小のものをいう。ただし 0 は最小公倍多項式に含めないものとする。このとき定数項に注意しなければならないが、ここでは公約・公倍多項式の最高次が 1 になるようにする、また多項式に定数をかけることで同じになるものは同じとみなす、というルールを取り決めることにする。（最高次の係数が 1 な多項式を「モニック」という。）

適当な定数 <math>c</math> が存在して <math>A = cB</math> と書けるとき、これを <math>A \simeq B</math> と表すこととする。

さて、多項式 <math>A, B</math> の最大公約多項式が <math>1</math> であるとき、この2つの多項式は「'''互いに素'''」である、という。

整数の場合と同様に、多項式 <math>A, B</math> の最大公約多項式を <math>\gcd (A, B)</math>, 最小公倍多項式を <math>\textrm{LCM} (A, B)</math> とかく。
たとえば、方程式 <math>P(x)=0</math> が重解 <math>x=\alpha</math> を持つならば、 <math>x-\alpha</math> は <math>P, P'</math> の公約多項式だから <math>\gcd(P, P')>1</math> でなければならない（複素数上ならば代数学の基本定理より逆が成り立つが、他の体で考えているときは逆は成り立つとは限らない。公約多項式が解を持つとは限らないからである）。

ここでも整数の時と同じように理論を組み立てられる。

====== 定理 3 ======
2つ以上の多項式の公倍多項式は最小公倍多項式を因数に持つ。

'''証明'''<br />
多項式を <math>A, B, \cdots</math> とおく。これらを全てかけたもの <math>AB \cdots</math> は公倍多項式なので、公倍多項式は存在する。そのうちで最小のものも存在するはずである。

さて、最小公倍多項式を <math>L</math> とし、<math>M</math> を任意の公倍多項式とおく。除法の原理に基づいて

<math>M = LQ + R \ \ (|R| < |L|)</math> とおく。このとき、<math>R = M - LQ.</math>

<math>M, L</math> ともに <math>A, B, \cdots</math> を因数に持つ。したがって定理 1 より <math>R</math> も <math>A, B, \cdots</math> を因数に持つ。ゆえに <math>R</math> は公倍多項式となるが、<math>R \neq 0</math> とすると <math>L</math> の最小性に反する。したがって <math>R = 0.</math>

したがって、<math>M = LQ.</math> よって定理は証明された。

====== 定理 4 ======
2つ以上の多項式の最大公約多項式は公約多項式を因数に持つ。

'''証明'''<br />
多項式を <math>A, B, \cdots</math> とおく。1 は明らかに公約多項式なので、公約多項式は存在し、そのうち最大のものが存在するはずである。

さて、最大公約多項式を <math>M</math> とし、<math>D</math> を任意の公約多項式とおく。<math>L = lcm(M, D)</math> とする。

仮定より <math>A</math> は <math>M, D</math> の公倍多項式。よって、定理 3 より <math>A</math> は <math>L</math> を因数に持つ。どうようの理由で <math>B, \cdots</math> も <math>L</math> を因数に持つ。したがって <math>L</math> は <math>A, B, \cdots</math> の公約多項式。<math>M</math> は最大のものなので <math>|L| \leqq |M| \cdots (1).</math>

ところで <math>L</math> は <math>M</math> を因数に持つので <math>L = MK.</math>

定理 ii より <math>|L| = |M| + |K|.</math>

これと (1) によって <math>|L| = |M|</math> となり、<math>K</math> は定数項。ゆえに <math>L</math> は <math>D</math> を因数に持つので <math>L = kM = DE</math> より <math>M = \frac{1}{k}DE.</math>

したがって <math>M</math> は <math>D</math> を因数に持つことが分かった。

====== 定理 5 ======
<math>\gcd(A, B) = G, \, \textrm{LCM}(A, B) = L</math> とすれば <math>AB \simeq GL.</math> 

'''証明'''<br />
仮定より <math>L = A'B = AB'</math> とおける。<math>AB</math> は公倍多項式なので、定理 3 より <math>AB = DL \cdots (1)</math> とおける。

先ほどの式を代入して <math>AB = DA'B = DAB' \Rightarrow A = DA', \, B = DB'.</math> よって、<math>D</math> は <math>A, B</math> の公約多項式。定理 4 より <math>G = DE \cdots (2)</math> とおく。このときもちろん <math>E(x) \neq 0.</math>

<math>G \, | \, A, B \iff DE \, | \, DA', DB'</math> となる。ここで、<math>DA'=DEA'', DB'=DEB''</math> とおくと定理 iii より <math>A'=EA'', B'=EB''</math> であるから最初の式に代入すると

<math>L = EA''B = EB''A</math> を得る。ここで <math>|E| > 0</math> とすれば、<math>A''B = B''A</math> が公倍多項式となり、<math>L</math> の最小性に反する。従って <math>E</math> は定数項となり、<math>E = e</math> とおけば (2) より <math>G = eD.</math> (1) より

<math>AB = \frac{1}{e}DL \Rightarrow AB \simeq DL.</math>

====== 定理 6 ======
<math>A, B</math> が互いに素であるとき、<math>A \, | \, BC \Rightarrow A \, | \, C</math>

'''証明'''<br />
<math>\gcd(A, B) = 1</math> なので定理 5 より <math>\textrm{LCM}[A, B] = AB.</math>

仮定より <math>BC</math> は <math>A, B</math> の公倍多項式。定理 3 より <math>\textrm{LCM}[A, B] \, | \, BC \iff AB \, | \, BC.</math>
よって定理 iii より <math>A \, | \, C.</math>


これにより、多項式においても、整除性に関して、整数の場合と同様の基本的事実が成り立つことがわかった。これを用いて、多項式上で、因数分解の一意性が成り立つことを次に見る。

なお、定理 4 の帰結として次の定理が成り立つ。

====== 定理 C ======
<math>P(x)</math> が平方因数 <math>Q(x)^2</math> を持つならば  <math>Q(x)</math> は <math>\gcd(P, P')</math> の因数である。特に方程式 <math>P(x)=0</math> が重解 <math>x=\alpha</math> を持つならば、 <math>x-\alpha</math> は <math>\gcd(P, P')</math> の因数である。

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注意 : 係数比較の定理は、有理数や実数上、あるいは代数体上では正しいが、有限体上ではかならずしも正しくない。すなわち有限体上では値がつねに 0 であるが、多項式として 0 ではないものが存在する。そのため、一般に多項式と、多項式の表す関数（多項式関数）は区別しなければならない。

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[[Category:初等整数論|たこうしき]]